Без нагрузки при
Uвх = 3 В, Iпотребления = 30 мкА
Uвх = 1,2 В, Iпотребления = 100 мкА

При нагрузке, которая потребляет 80 мА
Uвх = 3 В, Iпотребления всего устройства = 80 мА
Uвх = 1,2 В, Iпотребления всего устройства = 260 мА, Iпотребления нагрузки = 80 мА

Напряжение на выходе держит стабильно 3,3 В.

Проверял и от ИП и от батарейки.

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Схема собрана на макетке. Почти на весу. Может это как-то оказывает влияние.
На входе и выходе поставил танталовые ёмкости по 10 мкФ и в параллель им по 0,1 мкФ керамику. В делителе R1 = 2 МОм, R2 = 360 кОм.

Чем может объясняться такой резкий рост тока при уменьшении входного напряжения?

Законом сохранения энергии.
Чтобы получить одну и ту же выходную мощность, при понижении входного напряжения нужно увеличить ток.

Всё похоже на то, забыл я это закон
А то и индуктивность пытался подобрать и ёмкости все на одну керамику заменил. Работает так же

Жаль. А то были бы первым изобретателем вечного двигателя.