Проблема следующая. В даташите на модуль написано,что он работает от 5В или 3В. Подключаю процессор на 5В, соответственно, и модуль на 5В индикация есть все нормально. Подключаю процессор и модуль на 3В индикации нет, но инициализация проходит. В чем может быть проблема?

Думаю, это не совсем так. Скорее всего, существуют 2 версии индикатора - для 5В и 3В - ИМХО. По крайней мере, такой вывод можно сделать из даташита. Я бы попробовал написать в службу поддержки. Для этого зайти сюда и щелкнуть по кнопке Contact Us. В любом случае их ответ все прояснит.

А может быть просто напряжение контраста не хватает?