IMHO гораздо проще (ну в смысле я хотел упростить). Берем компаратор с гистерезисом, превышающим ожидаемые шумы так, чтобы с достаточной вероятностью на его выходе не было дребезга на фронтах, преобразуем результат с выхода фильтра после умножителя в прямоугольник, то есть делаем 1-битный АЦП, имеющий дискретизацию по уровню, но непрерывный по времени, и анализируем его выход, изменение частоты следования фронтов на нем. Я исходил именно из этого, говоря про ЧМ выходного сигнала из-за этих составляющих, убрав шумы вообще из рассмотрения влияния этих компонентов.

А дальнейший делитель это цифровая схема, работающая на фронтах, понятно, она довнесет свой шум, но это вопрос третий, характер ЧМ он не изменит

UPD
Сумбурно получилось, сорри. Хотел сказать, что рассматривая компаратор без шумов и сигнал без шумов, получим ЧМ. Добавив шумы, придется вводить гистерезис, чтобы делитель потом работал корректно.

Ого! Вот это размах – и фаз. детекторы, и умножители, и делители и т.д. С делителями может получиться весьма актуально. Например, в синтезаторах можно получить довольно низкие шумы на высоких частотах и пооктавно (или уже) сносить вниз (расширяя полосу частот), пока не упираемся в шумы делителей. А дальше надо что-то делать. Регенеративные, к сожалению, работают в очень узкой полосе. Вот тут может и пригодиться некоррелированное сложение. Сможем ли мы построить практическую схему суммирования (см. ниже), чтобы продавить собственные шумы цифровых делителей (типа Hittite, например) на 3 дБ? Будет ли сказываться несинфазность сигналов (например, при включении/запуске делителей)?



Ну, это не моё, это классика . Перетаскиваю картинку с другой темы, чтобы была под рукой:

Здесь ОСХО привязываются к одному сигналу в узкой полосе (скажем, 10 Гц) с помощью ФАПЧ. На отстройках выше 10 Гц получим умножение частоты с ухудшением шумов по закону 10logN, т.е. будем выигрывать 3 дБ на октаву относительно обычного 20logN умножения одного источника.


Делитель, наверное, будет излишним. Современные OCXO позволяют получить шумы -170…-180 дБн/Гц на высоких отстройках, что уже ниже шумов цифровых делителей (да и регенеративных тоже). Т.е. как раз очень даже неплохо уйти вверх от таких величин, чтобы потом можно было с этими шумами работать (при проектировании синтезатора, например). А так, да, в идеале делитель вернёт частоту на место с 20logN улучшением шумов (т.е. получаем наши 10logN).


Очень эффектное кино!


Не понял по поводу 20logN в делителях. Местоположение палок, действительно, может довольно интересно “преремещаться” (мы с Вами когда-то уже беседовали на эту тему). Интересно, но это особо сильно в книжках не разжёвывается, так что потом приходится набивать на этом шишки.

Не прав был, исправляюсь - после деления спуры уменьшаются на 20logN. Прошу считать вышесказанное в части амплитуд спур недействительным. Такие казусы случаются у меня периодически, в данном конкретном случае - из-за отсутствия устоявшегося алгоритма моделирования процессов с переменной частотой дискретизации. Абсолютно такая же ошибка была и при рассмотрении схемы усреднения частот на основе АЦП. Буду признателен тому, кто подскажет как проще и эффективней ввести временную девиацию периода тактирования, допустим на примере делителя частоты, имеющего в спектре ПСС. У меня сейчас модель получается очень громоздкой: аналогично дискретизации амплитуды, я ввожу дискретизацию периода, грубо говоря вместо того, чтобы моделировать 1000 отсчетов, разбиваю период еще на 2^p частей, и получаю массив данных размером 1000*2^p.


В одной из тем задавал вопрос: а не надо ли подстраивать фазу (частоту) в регенеративных делителях в октавном диапазоне?


Проблема синфазности в данном случае действительно актуальна. Если найду, то выложу статью, где получен превосходный результат по сложению 8 ЦАП. Предлагаю подумать над вопросом: почему сами производители не делают суммирование тех же делителей внутри микросхемы, синхронизировать то легче? Фазовые детекторы, как мы знаем, или, рвутся в ногу со временем.

А зачем для анализа деления на два суммы нескольких синусов вводить дискретизацию по времени вообще? Это все аналитически выводится на раз в линейном времени, а переход в дискретное время, во первых, катастрофически усложняет расчет, а во вторых, вводит новые составляющие, которых не будет в реальном "железном" делителе, работающем в линейном времени.

И по спектру судить о том, на сколько вредна та или иная модуляция в плане кратковременной стабильности, судить вообще нельзя... Для этого надо разбираться только во временнОй области, а не в частотной.

В аналитическом виде решается узкий круг задач, неплохо иметь более универсальное средство. По истечении времени, многие формулы, аксиомы и теоремы растерял, процентов 30 осталось. Хорошо, давайте попробуем. Есть сумма двух синусоид, допустим в 10 раз отличающихся по амплитуде. Нужно пропустить эту смесь через компаратор и подать на T-триггер, так? Допустим, аналитически я найду моменты времени, соответствующие пересечению исследуемой функции с порогом (можно взять равным 0). Дальше как, преобразование Фурье в аналитическом виде делать? Не так уж тривиально получается на первый взгляд. Или Вы предлагаете на регенеративных делителях потренироваться?

А дальше ничего и не надо уже. Это и есть искомое решение задачи - из полученной формулы, описывающей эти моменты времени, все сразу и видно будет - там будет основная частота, и прочие слагаемые, показывающие ее модуляции.

Неужели так просто? И то, что я потом буду брать только каждый N-ый фронт не повлияет на частоту ПСС? А амплитуда ПСС в зависимости от коэффициента деления? Что-то мне кажется с кусочно-непрерывной функцией в аналитическом виде посложнее будет.

Так преобразуйте формулу последовательности времен фронтов, полученную для всех фронтов, в формулу для последовательности из каждого N-ного фронта, все равно получите там основную частоту и какие-то другие слагаемые, показывающие модуляции, по крайней мере четко видно будет, как зависит время между фронтами от номера фронта, и за какое время частота уйдет на какое значение. Это все, грубо говоря, в пределах школьной тригонометрии.

Прошу прощения, сильно отстал, если не сложно помогите осилить.

P.S. На днях принесли задачу из школьного курса 7 класса: найти решение уравнения x^2-x-12=0 , но без дискриминанта, мол не проходили еще. Посидел полчаса, вспомнил вывод формулы (фактически дискриминант нашел) - не правильно говорят, так нельзя, надо раскладывать на множители. Но хоть "убейте" меня не пойму, как можно без подгона или знания ответа разложить. А если корни уравнения не целые? (варианты из Википедии - не подходят)

ну с квадратным уравнением на том уровне - решается как-то так:
1) представим -x как (3x-4x) (чтобы 3*-4=-12 и 3+(-4) = -1), получится x^2+3x-4x-12, затем из первых двух вынести x, из вторых двух -4, получится x(x+3)-4(x+3)=(x-4)(x+3)

а с синусами, если придет вдохновение и лишнее время, мож тоже решу... А вообще маткад есть для таких дел, быстро и со вкусом Я сейчас тут в недрах ПЛИСов копаюсь...

Для Chenakin:

Если частота 2*f0+delta_f выходе получившейся системы с двумя генераторами устраивает, то делитель можно исключить.



Подобная задача решается в системах связи для символьной синхронизации. Обычно решается так:

1. Есть сигнал S, который надо оценить в момент времени, попадающий между отсчетами. И есть второй сигнал s1, например синусоидальный с медленно меняющейся частотой, который при s1=0 и ds1/dt >0 формирует сигнал для оценки S. Оба сигнала s1 и S оцифрованы с постоянной частотой отсчетов 1/T.

2. Отсчеты s1 и S поступают в л.з.

3. если s1(nT) <=0 и s1(nT+T) > 0
то по 4-м отсчетам s1 делаем полиномиальную интерполяцию (3 степень) и, решаем кубическое уравнение, находим значение mu, такое, что s1_interp(nT+mu) =0

4. так же делаем полиномиальную интерполяцию для отсчетов S из лз. Оцениваем значение S_interp(nT+mu)

Для ускорения вычислений посмотрите структуру Farrow interpolator.

Понятно, что S и s1 должны быть гладкими и дифференцируемыми, чтобы их можно было интерполировать. Собственные шумы такой модели тоже хорошо оцениваются, чтобы потом учесть их влияние на конечный результат.

По поводу кв. уравнения:
Решение мат. задачи - нахождение полного множества, удовлетворяющего условию, или доказательство того, что это множество пустое.
При этом метод нахождения множества вторичен, и не особо интересен.
Так что находим 2 корня подбором. Данная задача законно решена. А для общего случая, как вы правильно заметили, есть другие методы

Это не кубической сплайн интерполяцией называется? О чем-то подобном думал, но есть предложение заменить полином на ряд Фурье, правильнее сказать аппроксимацией этим рядом. Ведь при моделировании от нас не требуется реальное время и есть сразу все N отсчетов (двумерных координат), с рядом Фурье меньше вероятность появления в спектре лишних составляющих, в отличие от полинома. Попробую сегодня.

Это называется построением полинома третьей степени по 4-м точкам методом Лагранжа (или кого-то еще). В какой-то степени это может считаться сплайном, но у вас нет задачи сделать кусочно-полиномиальную интерполяцию всего массива отсчетов, а нужно лишь найти полиномиальное приближение сигнала между парой соседних отсчетов s1(nT) s1(nT + T), при известных s1(nT - T) s1(nT) s1(nT + T) s1(nT + 2T)

Про ряд Фурье и двумерные координаты поясните, пожалуйста. Вроде задача нормально решается во временной области. Шумы будут зависеть от отношения частоты отсчетов 1/T к частотам S и s1. Для оптимизации вычислительных затрат и хороших шумовых показателей при моделировании можно сделать адаптивное сэмплирование: увеличивать частоту отсчетов для s1 и S в области [nT..nT+T] если s1(nT) <=0 и s1(nT+T) > 0

ну и дальше вся эта суета с интерполяторами уже на новой высокой частоте отсчетов

Не буду вдаваться в подробности, написал более простую модель - регенеративного делителя. Двигаемся дальше по теме.

Так и не двигаемся никуда. Стоим и смотрим на красивую картинку, из которой совершенно непонятно, за какое время наша частота выйдет за пределы допустимого для этого заданного времени ухода.