Ну если сходится 2.62, то почему бы не сходится и следующим формулам:-)

И это не совсем понятно. Можно немного поподробнее.

Подробнее? Что такое взаимно ортогональные подпространства? И что такое в них проекции? Извините, нет, это обычная линейная алгебра, вроде бы...



Да, не заметил, что в этих формулах разные спектры
Какое отношение 2.63 имеет к дискретному сигналу?

Да бог ее знает. Его, дискретный сигнал, там зачем-то слева написали. Типа равенство. Равен он правой части, говорят. А справа какая-то ужасная штука записана с огромным числом букв...Зачем, к чему ее там записали - нет указаний:-(

Вот и я об этом. Пользуем непонятно что не задумываясь о последствиях без четкого обосноания.

Вот! Золотые слова! А то взяли и лишили дискретный сигнал верхних частот и при чем совершенно не заслуженно. Запросто так... Что он Вам плохого сделал?:-))


Вот ведь память, совсем плохая стала... Еще ведь что-то написать хотел. Про ряд Фурье, разложение периодических сигналов в означенный ряд... Ну, я думаю, Вы и сами догадаетесь. Обидно ведь у синуса оставлять тока один период. Тем более, что лежат в основе синуса женские прелести, а их мало не бывает. Да, не бывает.

Так нету верхних частот у дискретного сигнала! "частота 1 мегагерц" у сигнала с дискретным временем с частотой дискретизации 1 килогерц - это бессмыслица. На то сигнал и дискретный, что у него нет промежуточных значений.

Формулы 2.63-2.64 описывают получение спектра дискретого сигнала, полученного в процессе дискретизации из непрерывного. Некорректно тупо расширять формулу 2.65 на омеги вне диапазона плюс/минус pi.

Нет, это не то обоснование, это у Вас как у Мирабеллы, невозможные трудности с передачей 1 Гц в 1 МГц, или наоборот:-))) У Вас даже хуже, Мирабелла все же на действительно умопомрачительные трудности опиралась. Дайте мне любой дискретный сигнал, котороый сможете сформировать и я обнаружу в нем приборами, заметьте приборами, частоты выше Найквиста :-))


Ну Вы меня совсем удивляете:-) Частота Найквиста и относится к понятию дискретизации, как же без нее?:-)))

Для начала что такое взаимно ортогональные подпространства? Про проекции можно попозже.
Что бы было понятно, о чем Вы говорите, давайте общаться принятыми хоть каким-то автором терминами. Либо определите это понятие по-своему, но, пожалуйста, озвучте его.



Вы в каком пространстве (кстати, о пространствах) имеете в виду дискретный во времени сигнал?

Два подпространства линейного пространства со скалярным произведением взаимно ортогональны если любая пара векторов из двух различных подпространств ортогональны - их скалярное произведение равно нулю. Несколько подпространств взаимно ортогональны если любые два взаимно ортогональны.



В пространстве l2 - квадратично суммируемых действительных функций над Z. Сигналы с бесконечной энергией сейчас рассматривать не хочу.

Так меня этот вопрос заинтересовал, не забыл ли я уже чего и не путаю ли, как это делают правильные пацаны, то бишь, математики, что я даже залез в бережно хранящийся у меня со школьных времен учебник матанализа Кудрявцева, третий том, страница 9. Вижу там Определение 3 - "пусть функция f абсолютно интегрируема на отрезке [-pi, pi]..." Говорю себе стоп. Точно на отрезке? Воистину на отрезке. А как же тогда осуществляется переход к разложению в ряд периодических функций? Тривиально. Если ряд сходится равномерно на отрезке [-pi,pi] - мы его берем и периодически продолжаем. Не можем продолжить периодически из-за того, что f(-pi) != f(pi) - ну так продолжим тогда полуинтервал [-pi,pi). Потом все равно "достаточно хорошими" будут названы только функции, у которых f(-pi) = f(pi). Ну если мы научились периодически продолжать сумму тригонометрического ряда - то и можем сказать, что и в ряд Фурье можем расскладывать не функции, определенные на отрезке, а еще и периодические функции. Ну а как же быть со свойствами разложения по Фурье-базису, такими, как равенство Парсеваля, так любимое в цифровой обработке сигналов? А никак. То есть для оригинального определения разложения в ряд Фурье непрерывной на отрезке [-pi,pi] функции оно доказывается, а по поводу периодических продолжений - так лучше промолчать, и ежу понятно, в чем тут дело.

В общем, Вы, конечно, можете пытаться продолжить периодически спектр за частоты Найквиста после его вычисления, все равно, хозяин-барин, как хочет - так и продолжает. Но вот никак не могу назвать этот дополнительный шаг "естественным"

Замечательно. Вы слово "ряд" не забывайте:-) Функция, непрерывная на отрезке, раскладывается чаще всего, по каким-то необъяснимым причинам, в интеграл, который конечно тоже можно назвать рядом, но уж шибко частым. Да. Очень частым. Пожалуйста, не беспокойте Пасеваля, его равенство выполняется, честное слово. Хоть с синусом, хоть с дискреным сигналом :-)



Ну что все-таки за память, просто кошмар... Хотел поправиться, и забыл. Да ведь что забыл! Неудачно я о женских прелестях выразился, совсем неудачно. Их МНОГО не бывает, а я чего сказанул? Мало не бывает... Тьфу. Самому противно. Женщины мне этого не простят. Позор на мою седую голову. Пойду забудусь сном.

Равенства Парсевала выполняется? Для периодически продолженной функции? И как же? Для одного периода, читай, исходного отрезка, который продолжали периодически? Ню-ню...

Ну а интегралы-то тут при чем? И Вы, конечно, не забыли, говоря про женские прелести, что синус - это очень плохая функция, требовательная, классического Фурье для нее не существует - все приходится обобщать, когда женских прелестей становится чрезмерно?

Да хоть ню-ню, хоть nu-nu:-)) Нет никакого периодического продолжения, а есть просто спектр дискретного сигнала. Вы из него берете период - я беру весь.:-) Интегралы при том, что если Вы берете отрезок, за пределами которого нет ни шиша, то преобразование Фурье от того, что на отрезке, это уже не ряд, не набор дискретных отсчетов. А если хотите получить набор дискр. отсчетов, то этот отрезок не сам по себе, а период какой-то ф-ии. А с неправильным синусом - ну так Фурье для кучи всего приходится обобщать да и раскладывает Фурье по неправильному и несуществующему базису:-)
Вы, кстати, как относитесь к моему предложению обнаружить прибором, в виде контура колебательного, частоты выше Найквиста у дискретного сигнала? :-)) А к женским прелестям я, что делать - слаб человек, неравнодушен, ох неравнодушен!

Пиф-паф!

По поводу выделенного мною - вспомните для начала теорию классического тригонометрического ряда, хотя-бы по приведенной мною ранее ссылке. Это одно из немногих явно сформулированных Вами утверждений прямо противоречит теории. Потом, если захотите, сможем продолжить.

По поводу обнаружения частот у дискретного сигнала при помощи непрерывного колебательного контура - чуть не упал под стул от смеха.

Good luck!