Всем привет.

Народ, кто-нибудь встречал более-менее универсальные методы аналитической аппроксимации функций 3-х аргументов?

Мне надо аналитически описать распределение пространственного заряда, причем пока никакой симметрии не наблюдается.

Кто-нибудь встречал что-то вроде рядов для функций нескольких аргументов?

Видимо, использование гугля вызывает непреодолимые трудности.

В гугле есть много интересного и познавательного. Еще есть волшебный пакет Matlab, в хелпах которого многое подробно описано.

Наиболее универсальный метод - это разложение функции в ряд по степеням аргументов типа трехмерного ряда Тейлора. Порядок разложения определяется требуемой точностью приближения. Коэффициенты разложения рассчитываются по разному - от непосредственного аналитического рассчета коэффициентов (если приближается известная функция трех переменных) до определения коэффициентов методом наименьших квадратов.

Приближение функции единым рядом во всей интересующей области может оказаться неэффективным. Тогда функция приближается кусочно-полиномиальным способом, в окрестности заданных значений. Частный случай - приближение трехмерных поверхностей плоскостями, приходящими через три точки аппроксимационной сетки.

Полиномиальное приближение можно обобщить, используя вместо трехмерных полиномов пространственные функции другого вида - сферические, и т.д. С этим - к любому институтскому учебнику по уравнениям математической физики. Если Вам нужно описать распределение заряда, то (если повезет) там вы найдете готовое решение Вашей задачи в виде сходящегося функционального ряда, у которого нужно просто обрезать лишние члены.

Ну вот, напишеш коротко - пошлют к Гуглу, напишеш длинно - читать не будут

Ряд Тейлора, как Вы сами признаете, аппроксимирует поверхность только в окресности точки.

О численных методах рассказывать не надо, я как раз их разбавляю аналитикой.

Шаровые и сферические функции - в тему, но они описывают слишком узкий класс решений вида
U(r,teta,fi) = R®*U(teta)*J(fi). Такая форма решения означает, например, что максимум R® не зависит от углов. То есть, это будет именно симметричный шаровой слой. По этой же причине не проходит сумма или произведение рядов.

В курсах ММФ строятся решения диф. уравнений, причем практически все - методом Фурье, то есть все специальные функции - это функции одного аргумента. Мне нужно найти аналитическую апрроксимацию (пусть с 200-300 коэффициентами) для достаточно широкого класса функций 3-х аргументов. Пока я нигде не нашел обсуждение этого вопроса.

Итого, возвращаюсь к исходному вопросу: кто нибудь видел монографии или статьи, посвещенные вопросу _аналитической_ аппроксимации функций трех аргументов. Наверняка ведь искали функции, описывающие "блин", "сигару", "гантельку" и т.п. пространственные образования.

Странные Вы задаете вопросы. Вот, к примеру, можете ответить на Ваш вопрос применительно к функции одной действительной переменной?
Я не знаю универсального ответа, как аппроксимировать произвольную функцию...

В отношении функции одной переменной ответ дан, кажется Фурье, уже не вспомню с кем из математиков он спорил, но один из них выделял функции "свобоно проведенные рукой" и функции заданные формулой. Фурье доказал, что всякую проведенную "от руки" функцию можно сколь угодно точно описать аналитически с помощью ряда Фурье.


Как раз в тех областях где нет универсального ответа и ведуться исследовательские работы. Общих методов решения д.у. тоже нет, а книг - море.

Так чем мой вопрос странный? Вот ответ Ваш точно "странный".

Ну, раз Вы дали такой ответ, то Ваш путь - трехмерное преобразование Фурье.

Так и используйте трехмерное преобразование Фурье, по аналогии

Блин. Не бывает трехмерного Фурье. По аналогии с Тейлором? Заменяем переменную x вектором x. Получаем многомерного Тейлора, поскольку степень вектора - определена, а теперь скажите мне что такое синус от вектора?

Можно конечно устроить произведение рядов, но опять-же когда один из сомножетилей в максимуме, выростет вся функция не зависимо от других аргументов. Короче, нужна книга.

Честно скажу, не сталкивался с 3-хмерным, только с 2-х мерным. Может синус от вектора брать методом, аналогичным двумерному:-)

Бывает, бывает... Посмотрите для начала эти книги

1) Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М., "Энергия", 1967.
2) Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Математические методы прикладной электродинамики. М., "Сов. радио", 1970

По молодости были моими настольными книгами. Там как раз используется трёхмерное обобщенное преобразование Фурье по волновой переменной каппа. И функция Грина в трёхмерном пространстве.

Ну вот, наконец-то в книги ткнули. Спасибо!

К стати, в другой конференции посоветовали посмотреть кванты, там они большой опыт накопили в описании пространственного распределения волновых функций.