Есть f(1) , f(4), f(16), f(64). Рассчитать нелинейность функци f(x) x от 1 до 64. В %.

Не помню как не линейность считается и все тут

Ваш приказ выполнен. Докладываю:
Похоже, Вы забыли, что такое интерполяция... Автор недвусмысленно заявил, именно в 5-ом посте, что ЕГО функция определена на множестве 4 целых чисел.

[quote name='Stanislav' date='Jan 16 2008, 11:56' post='350729']
М-да?
А что Вы понимаете под точностью, в таком случАе?

Точность, в таком случае будет зависеть от того сколько f(n+1)-f(n) ,будет в нашем дельта.
На мой взгляд дельта для обработки должны быть такими:
1.Ras1=f(64)-f(16);
2.Ras2=Ras1+f(16)-f(4);
3.Ras3=Ras1+Ras2+f(4)-f(1).

Отнюдь, помню. Вам же рекомендую освежить.
Функция задана множеством своих значений в 4-х опорных точках. Если речь идёт о именно о нелинейности, функция обязана быть определена и непрерывна на отрезке, по моему разумению. Границы отрезка даны - [1, 64]. По-моему, здесь всё ясно. Интерполяционная задача заключается в нахождении многочлена степени (не более) 3, имеющего значения в узловых точках, равные опорным значениям функции.
В противном случае, дайте своё определение нелинейности. А также свою постановку задачи интерполяции.

Ничего подобного он не писал. Более того, он сообщил, что ему нужно найти её значения на всём данном отрезке. Как именно это нужно делать - собственно, и суть вопроса.

Сообщение отредактировал Stanislav - Jan 16 2008, 09:39

Второй приказ выполнен. Освежите и Вы... Вот тут очень доступно написано. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%...%86%D0%B8%D1%8F
Ваши разумения про непрерывность и о том, что функция должна... наивны.... Автор писал, что имеется только 4 значения. Его функция определена на конечном множестве и не может быть непрерывной. И ни про какую интерполяцию не спрашивал. Это Вы придумали. Но неправильно. А спрашивал автор про аппроксимацию ЕГО функции линейной функцией, которая может рассматриваться также определенной только на этом множестве 4 чисел. И она тоже не обязана никому быть непрерывной. И не надо это тоже никому.
А надо автору определиться с метрикой, сначала..., которая и может рассматриваться как мера нелинейности. Только она (метрика) ведь может быть разной... от вкуса зависит...
А определение (степени) нелинейности можно давать самое разное... Вот можно через метрику. А Вы разве свое дали? Или есть общепринятый термин? Перечитайте пятый пост... Внимательно...

Правильно, потому что под нелинейностью понимается отклонение от линейного закона (первая степень). При этом используются только 2 точки.
А если говорить о точности апросиксимации, а не о нелинейности, то можно для 4 точек использовать полином 3 степени (все 4 точки используются).

Приводящий википедию в качестве аргумента, должен хотя бы разобраться в том, что там написано, дабы не прослыть невеждой.
Раскрываем, к примеру, Семендяева с Бронштейном (М. Наука, 1981).
На странице 663 (п.7.1.2.6. Интерполяция), читаем определение:

"Пусть на сегменте [a,b] заданы n+1 опорных (узловых) точек, a<=x0<x1<x2<...<xn<=b. Пусть, кроме того, заданы n+1 действительных чисел yj (о=0,1,...,n) (например, как значения функции f(x) в узловых точках. Тогда имеем следующую задачу интерполяции.
Найти многочлен In(x) степени не больше n такой, что In(xj)=yj для 0<=j<=n."

Интересно, что здесь может быть непонятного, и что в моих постах противоречит данному определению?

Пожалуйста, не нужно о наивности, когда идёт речь идёт об элементарной математической грамотности.

Tanya, не нужно домыслов. Где автор об этом писал?
Повторяю ещё раз: можно говорить только о нелинейности непрерывной на отрезке [1,64] функции, о чём и написал автор в посте №1. Которую можно найти, в частности, путём решения интерполяционной задачи.

Ничего я не придумывал. Просто предложил как один из подходов.
Автор же, как мне кажется, ещё не определился с тем, что же ему на самом деле нужно.

Правильно. См. в справочники.

Игде спрашивал?
Может, прочитав мой пост №2, Вы скажете, что аппроксимацию я тоже "придумал"?
Я об этом тоже спрашивал. Если хотите - предложите свою метрику. Потому, как с определением нелинейности дискретных функций мне встречаться не приходилось.

Думаю, автор темы будет Вам чрезвычайно признателен. Только, упаси бог, никаких "выдумок".
Прочитал. И что же там не понятого мной содержится?
Вам же порекомендую прочитать ещё раз пост №1.

Лично мне определение из поста №4 нравится - нелинейность определяется как "мера неравномерности" при равномерном приближении функции полиномом 1-й степени на отрезке.
Для практических целей (например, чтобы выразить нелинейность датчика безотносительно его чувствительности) полученную таким образом нелинейность можно нормировать на величину диапазона измеряемых величин. После этого её можно выразить в относительных единицах (%), что гораздо удобнее.
В данной задаче нелинейность можно нормировать модулем разности |F(64) - F(1)|, где F(x) - аппроксимирующая линейная функция. Вырожденный случай F(64)=F(1) при этом не рассматриваем.

Ничего не понятно.
Функция задана на множестве из 4-х чисел. Как Вы собираетесь разлагать её в ряд Тейлора?

Вах-вах...
С помощью интерполяции или аппроксимации мы, грубо говоря, находим недостающие значения функции на отрезке. Которые потом используем для вычисления нелинейности.
Какой способ лучше - решать автору.

Вариантов несколько:
- по крайним точка
- через одну
- по минимизации суммы среднеквадратичных отклонений и т.д. и т.п.
Речь идет о том, достаточно 2 точки для определения прямой, а если их 4, то появляются варианты.


Согласен.

Попробуйте просто посчитать углы наклона от точки к точке из a*x + b.
Т. е.
А1 для f(1) - f(4)
А2 для f(16) - f(4)
А3 f(16) - f(4)
А4 для f(64) - f(16)


Как посчитать угол наклона по отрезку надеюсь помните.
Посчитайте Amin/Amax (или наоборот)
Для идеальной прямой это будет 1 (100%).
Для реальной число которое будет "как-то" характеризовать эту нелинейность.

Ну а если есть время и желание, можно обосновывать насколько эта мера адекватна...

Внимательнее читайте посты 1 и 5. В первом автор очень приблизительно выразил свои желания. В 5 он высказался вполне определенно, хотя и нестрого в математическом смысле.
Ну у Бронштейна тоже внимательнее. Внимательнее читайте последнее уравнение из Вашего с Бронштейном текста. Автору НЕ НУЖНО, чтобы Ваша интерполирующая функция попадала во все Его точки (экспериментальные)!
Ему не нужно знать ничего ни про какие "недостающие" значения. Их, вообще, в Природе не существует, если не брать во внимание процессы в мозгах. Ему хочется простого - найти количественный критерий степени разброса точек от ПРЯМОЙ, (которая может вообще не проходить ни через одну из точек) которую он хочет провести для минимизации вот этого самого критерия, который только он сам и должен сконструировать.
Про непрерывность автор ничего не писал ни в одном из двух своих постов, это только Вы.
Ну, а если Вам пока не приходилось встречаться с определением для функции, заданной на конечном множестве, то значит ли это, что Вы знаете определение для функции, заданной на отрезке?
Если да, то напишите. Если Вы про пост номер 4, то его можно легко переформулировать для дискретной функции, более того, к предложенной Вами интерполяции оно не имеет никакого отношения и плохо подходит для приложения к данной задаче.
Я могу дать тоже свое определение. Собственно, уже неявно писала выше... Только почему нельзя никаких "выдумок"? Математика ВСЯ выдумана.
Вот только по поводу невежды (а может и невежи) и грамотности полностью согласная с Вами.

Непонятно из-за чего сыр бор на пустом месте. Задачу можно решить лишь в тех рамках, в которых она задана. Остальное от лукавого. А тут и ряды, и интерполяция
"Я хочу знать насколько дискретная функция четырех значений похожа на прямую." Куда тут дальше... Один крокодил зеленый другой налево...

Уважаемые коллеги!
Полагаю, что в случае, когда интересны лишь дискретные значения функции, определение налинейности может быть естественным образом уточнено, например так

"Нелинейностью функции f(x) на дискретном множестве значений аргумента Х называют max|f(x)-L(x)|, где L(x)-прямая наилучшего равномерного приближения функции f(x) на множестве Х"
На практике это означает, что при построении прямой L(x) будут приниматься во внимание лишь ее значения из таблицы аргументов. Именно с таким расчетом был выбран шаг сканирования по аргументу в приведенном мною ранее примере.

IMHO, Это самое лучшее решение.
Разве что дополнить как max|(f(x)-L(x))/L(x)|
Т. е. в относительных.

Я примерно так и сделал уже.

Нет, не все так просто.
Вот утрированный примерчик.
Пусть функция задана такой табличкой (x,y)=(0, 0) (1, 1) (99, 0) (100, 1)
Насколько эта функция нелинейна?
В такой постановке однозначный ответ дать нельзя.
Вот если точность (доверительный интервал) 0.001 - пусть будет одинаковая для всех точек, то это страшно нелинейная функция, а если точность 10, то очень даже линейная. А цитируемая оценка этого не учитывает.
Для интересующихся. В классической книге Химмельблау "Анализ процессов статистическими методами" МИР, 1973, глава "Линейные модели с одной переменной" занимает почти сотню страниц. Куда и отсылаю. Там очень подробно - с примерами.

Постановка задачи.
Дано: N отсчетов
Найти: насколько дискретная функция четырех значений похожа на прямую.
Решение:
Пусть Z[i] - i - тая из N точек. Если зависит от одного параметра, то она лежит на одном векторе параметра i и всегда прямая.
Если зависит от двух параметров, то запишем ее так Zi[Xi;Yi], где i меняется от 1 до N.
Вспомним, что линия определяется двумя точками и назовем выражение:
Lj=((Xi+1)-(Xi))/((Yi+1)-(Yi)) - линейностью по параметру Y, где j меняется от 1 до N-1.
Если все Lj равны, то это прямая. Вспомним, что дифференциал это в некоторой степени разность, тогда
D= ((|(Lj) - (Lj+1)|) + ... + (|(Ln-2) - (Ln-1)|))/(N-2) можно назвать дифференциальной нелинейностью по параметру Y.
Вспомнив, что интеграл от линейной функции есть квадратичная зависимость напишем:
I = sqrt{(|(Lj) - (Lj+1)|)* (|(Lj) - (Lj+1)|) + ... + (|(Ln-2) - (Ln-1)|))*(|(Ln-2) - (Ln-1)|))}/(N-2)
и назовем это интегральной нелинейностью по параметру Y.
Если точка определяется несколькими параметрами, то можно определить нелинейность по каждому из параметров.