Вот файлы (размеры примерно 0.5МБ каждый).

Во всех программная имитация отсчетов идеального 16-ти разрядного АЦП, несущая 500Гц, частота дискретизации 1600Гц, на нижней панели показан только прямой спектр:
1. Только несущая - http://hjk73q.narod.ru/S1.jpg
2. АМ несущей с частотой 100Гц, амплитуда несущей 32000 ЕМР, амплитуда модулирующего синуса 8000 ЕМР - http://hjk73q.narod.ru/S2.jpg
3. АМ несущей с частотой 100Гц, амплитуда несущей 32000 ЕМР, амплитуда модулирующего синуса 80 ЕМР (в 100 раз меньше сигнала из п.2) - http://hjk73q.narod.ru/S3.jpg

Осциллограммы п.1 и п.3 визуально практически не отличаются, но в первом ДПФ модуляцию «не видит», а во втором «видит».

Вы и сами можете поиграться с этой программой - http://insys.ru/download/freeware/isvi.zip

Зная Вашу непризнь к теории, не хотел встревать в Вашу беседу, но придется для пояснения некоторых нюансов теории К-Ш.
1. Сравнение полосы пропускания с периодом дискретизации.
Для полосы пропускания используется круговая частота w=2*PI*f,
PI=3.14...,
f- полоса пропускания (это там, где амплитуда выходного сигнала падает в корень из 2 или 3 дцб).
Для периода дискретизации T - это сам период дискрезации.
2. Условие К-Ш выглядит так
T/2 < 1/w,
т.е.
T < 1/( PI * f )
PS. Это общепринятое заблуждение из-за частного случая
для импульсов со скважностью 2, а если взять синус то все встает на свои места. В чем Вы сами и убедились.

А как Вы себе это представляете? Вот есть сигнал синус Fs/2. Есть стабильные временные метки для "снятия" показаний от АЦП. И вот дельта-сигма оцифровывает нормальный качественный синус. Затем во входном сигнале происходит перестройка (задержка) фазы на 90 град., после чего снова идёт чистый синус Fs/2 и что должен после этого выдавать дельта-сигма? Если у него всё-таки на выходе будет чистый синус с такой же амплитудой (как и до сдвига фазы), то он будет врать фазу. Если у него амплитуда уменьшится, то он будет фазу правильную выдавать, но врать амплитуду. Короче, ИМХО оцифровка всегда вносит искажения на частоты даже в два раза меньше чем обещал Котельников. И программно их не восстановить даже близко. Это я только хотел всяким "теоретикам" указать, что бы не врали черезчур часто.
ДПФ будет давать неискажённые свойства сигнала (разумеется пропорционально амплитудной сетке) с частотой вплоть до Fs/2 ?

Сообщение отредактировал GetSmart - Mar 3 2008, 13:28

Тут всё просто - дельта-сигна АЦП оцифровывают входной сигнал на частоте в десятки раз большей, чем выходная частота дискретизации. Выходная частота следования отсчетов - результат децимации входной.


Заблуждаться - Ваше законное право


ДПФ будет давать неискажённые свойства вплоть до Fs (без деления на 2), но только не совсем сигнала, а последовательности отсчетов, полученной из исходного сигнала дискретизацией. При некоторых условиях и ухищрениях ДПФ такой последовательности будет немного напоминать спектр исходного сигнала.



Я прошу прощения, в пояснениях к выложенным ранее картинкам допустил ошибку - частота дискретизации там не 1600Гц, а примерно 1596 (сейчас точно не скажу).

Сначала Вы говорите "сигнала ДО дискретизации", потом "...но только не совсем сигнала, а последовательности отсчетов...". Это что, игра слов такая для "запудривания мозгов" Я конечно понимаю, что на входе ДПФ является набор чисел, но конечный результат ДПФ описывает реальный сигнал (когда он удовлетворяюет условию Котельникова) или всё-таки он описывает уже цифровой сигнал со всеми его нелинейными искажениями (будем считать что АЦП идеальный)? Это я к тому, что Вы сами признали, что в реальной практике Fs задирают намного выше чем в 2 раза и причины на то есть веские.

Мы опять на разном языке говорим? Пусть они оцифровывают хоть на гигагерцовой. Речь идёт только о информации, которую они выдают во вне с частотой дискретизации Fs, в два раза большей частоты синуса на входе. Я ведь только утверждаю, что сама идея "снимать" показания сигнала Fs/2 с частотой Fs уже несёт в себе большие невосполнимые потери.

А теперь снова прочтите этот мой пост, но с учётом того, что я имел ввиду вывод данных из дельта-сигма АЦП уже с учётом децимации:
Вы всё ещё так считаете?

Сообщение отредактировал GetSmart - Mar 3 2008, 14:22

Никакой игры слов. ДПФ точно описывает только цифровую последовательность (сигнал) и ничего более. Для того, чтобы ДПФ стал "немного напоминать" спектр сигнала до дискретизации, надо еще очень "попотеть". Поэтому "немногому напоминанию" и делаются оценки исходного спектра. Впрочем, ДПФ можно делать не только для этого.
Только не совсем понял, что Вас смущает.

По поводу дельта-сигма АЦП и сигнала на Fs/2 - правильно советовали мне подумать! Если внутри такого АЦП децимировать точно до Fs, то потери будут. Приношу свои извинения за ту фразу, которую Вы выделили - неправильно я там сказал.

Ещё одно "откровенное" признание теоретиков
Я тут недавно со Stanislavом спорил по поводу подобного "сокрытия улик".

Значит выяснили: ДПФ - это спектр уже цифрового сигнала, то есть дважды дискретизированного (по t и U). И в нём должны быть видны искажения процесса дискретизации. Я попытался ручками нарисовать сигнал искажённый временной дискретизацией и понял, что классической АМ там нет. Но кое-что всё же есть. Это кое-что связано с амплитудными искажениями, а не с частотно-амплитудными.

А с ЦАПом Вы всё ещё уверены? Он тоже может выдавать чистый синус Fs/2 с дискретизацией ЦАПа Fs, даже если я введу сдвиг фазы в где-то в синусе на 90 градусов?

Всё это как бы верно, только вот уровень помех и даже искажения амплитудной дискретизации несопоставимо малы с уровнем искажений временной дискретизации сигналов от Fs/2 до Fs/10 и даже меньшего синуса. В данном случае временная дискретизация даёт искажения в амплитудной области, а не в частотной. К частотной я претензий не имею
И даже цифровой фильтр можно сделать если не идеальным, то почти идеальным (на 99.99999%), но он не спасёт ситуацию когда на его входе присутствует сильно искажённый цифровой сигнал (ввиду "незаконной" интерпретации т.Котельникова на практике).

А поподробней можно?

Что меня серьёзно беспокоит, так это отсутствие внятного определения искажений при идеальной дискретизации аналог-->цифра. Разумеется, дело тут ещё и от фильтра зависит т.к. "цыферки" - это некий виртуальный сигнал и его можно интерполировать по-разным алгоритмам. Но есть такие ситуации(непротиворечащие всяким теоремам, хотя по-моему непредсказуемый сигнал с ограниченным сверху спектром уже противоречит этой теореме), в которых проявляется нарушение применимости данных теорем на практике. Поэтому если у теоремы нет правила применимости её на практике, то её вообще лучше не употреблять (а лучше бить того, кто её приводит аргументом). С другой стороны, если убрать из определения теоремы слово полное, то как бы и нет нарушения. Другими словами - "хоть какую-то часть частот вплоть до fs/2 можно будет потом восстановить" и то хорошо

А это не откровение.
Мне много приходилось общаться с людьми, которые утверждали, наример, что умножать отсчеты сигнала на отсчеты комплексной экспоненты Fs/4 страшно плохо, ибо попрет комбинаторика. Ничего, садились и спокойно разбирались.



А ДПФ еще и дискретизация по частоте



Давайте так. Есть отсчеты некого сигнала - периодически повторяющаяся четверка 1,1,-1,-1. Как Вы определяете амплитуду этого сигнала?


У Вас еще до ЦАПа нету синуса со сдвигом 90 градусов, потеряли Вы его в АЦП. И сделать действительные отсчеты такого синуса Вы не можете, просто нули будут.
А всё остальное с Fs/2 ЦАП превратит в меандр соответствующей амплитуды.


Пока Вы не ввели понятие амплитуды отсчетов синуса, мы дальше не продвинимся.
А теорему Котельникова Вы зря пинаете - она на практике не выполняется никогда. Только и всего
А пример, как поступают на практике, я Вам уже описал. Есть и другие способы.


Тут долго надо рассказывать. Если интересно, то стукните мне в личку.


С амплитудно-частотными Вы уже, вроде бы, разобрались. Давайте попробуем с амплитудными разобраться. Но для этого нужно определить то, что я уже написал выше.


Ох... Не Вы первый, наверно и не последний...
Слово "полное" в теореме убрать, конечно, можно. Но восстановление там действительно можно сделать "полное", считать только шибко долго придется... сегодня. А завтра, глядишь, и побыстрее будет.
Правило применимости любой теоремы простое - не можете выполнить её условия точно, то получайте ошибки (помехи и прочее). Но уровень (или вред) таких ошибок можно всегда оценить и найти компромисс.
А то по Вашим словам получается, что надо вообще запретить, например, классическую теорию вероятности и всё, что за ней. Да и многое другое

Тут надо рассуждать не так. Во-первых, я могу оперировать в цифровом виде с сигналами как хочу, например могу программно синтезировать сигналы с нужной мне частотой, при этом соблюдая главное правило ТК (т.Котельникова) - ограничение частоты сверху. В памяти они могут храниться с какой угодно дискретизацией - это как будет угодно товарищу Котельникову. А вот наружу я буду выводить сигналы со строго оговоренной в ТК минимальной временной дискретизацией. Так вот, как Вы думаете, я смогу получить при этом на выходе ЦАП полное соответствие сигнала снаружи сигналу "внутри", то есть цифровому? Причём я не оговариваю принцип работы ЦАП, фильтра снаружи и прочие "мелочи". В принципе, это возможно для непредсказуемого (или даже для непериодического) сигнала ограниченного сверху? И давайте конструктивно "придираться" - если нельзя полностью, то какой наихудший вариант качества восстановленного сигнала?

Предчуствую ответ из серии "деталек слишком много поставить придётся, может миллиард, а может и поболее" Примерно как предыдущий "считать только шибко долго придется... сегодня. А завтра, глядишь, и побыстрее будет".

Цитирую т.Котельникова:Самое интересное, что в теореме не указано условие хоть какой-то периодичности сигналов.
Мне очень интересно, какое из условий в своих намерениях я не выполняю?

Я вот думаю, это будет не одному мне интересно.

ЗЫ. Теория вероятности - хорошая. Я в неё верю Точнее в сам принцип. Хотя может быть некоторые и её истолковывают некорректно. Но с этим я как-нибудь потом разберусь

ЗЗЫ. Про амплитуду напишу позже.

Сообщение отредактировал GetSmart - Mar 4 2008, 02:51

Браво, 729!
Приятно читать Ваши корректные и спокойные ответы по теме. Кстати, 729 - это номер группы?

Пожулуйста приведите определение теоремы Котельникова. А то оригинал (Котельников В.А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи. - ВЭК,1933) наверно только в Ленинской библиотеке в каком нибудь спецфонде. Современные же авторы, похоже, формулируют теорему заново своими словами. Вот и GetSmart решил пойти по их пути.


Наиболее похожее на правду нашёл в http://grigam.narod.ru/inform/inf6.htm:
"Любую функцию F(t) состоящую из частот от 0 до f1 , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел следующих друг за другом через 1/2f1 сек ..."

Собственно вопрос о том содержит ли функция F(t) частоту f1 или нет. Здравый смысл подсказывает, что нет (и у Котельникова написано "до f1").

Пример:
F(t)=sin(2*Pi*f1*t).
F(0)=0
F(1/(2*f1))=sin(Pi)=0
F(n/(2*f1))=sin(n*Pi)=0
тоесть для такой функции получаем последовательность, состоящую из одних нулей. Очевидно, что по такой последовательности исходный сигнал не восстановить.

Полагаю, что вы имели ввиду следующую книгу:
Романюк Ю.А. Основы цифровой обработки сигналов. В 3-х ч.
Ч.1. Свойства и преобразования дискретных сигналов:
Учебное пособие. – М.: МФТИ, 2005. – 332 с.
ISBN 5-7417-0144-2 (Ч. 1)

В этой книге тоже нет определения теоремы Котельникова. А в разделе "2.3. Теорема Котельникова" чётко написано "Рассмотрим сначала сигналы, которые характеризуются тем, что их ПФ существует на всём интервале частот (-бесконечность, +бесконечность), но отлично от нуля только на конечном интервале [-f, f] (рис. 2.3.1). ".
И далее "Отсюда вывод: если сигнал имеет спектр, ограниченный интервалом [-fв, fв] и шаг дискретизации дельтаt=1/(2*fв), то коэффициенты Фурье cк разложения сигнала по функциям отсчётов фик(t) являются выборками сигнала x(k*дельтаt) и для x(t) имеет место представление рядом Котельникова"

Получается, что x(t)=sin(2*Pi*fв*t) попадает в интервал и удовлетворяет условиям. Только как это согласовать с примером, который я привёл чуть выше?

Это наверное бабушка надвое сказала Тока без обид. Просто мысли вслух.

Клянусь Я не со злым умыслом. У меня и в мыслях не было, что всякие писатели или математики будут по-разному её толковать. Я взял из реальной книжки со своей полки "Радиотехнические цепи и сигналы".
Я вот тоже искал эту книжку в инете и нашёл только бумажную. А мне надо чтобы "скачать".

Здравый смысл как раз подсказывает - может да, а может и нет Но этот вопрос технично умалчивают в книгах и дискуссиях, т.к. он как ниточка - стоит потянуть и...

Значит это у меня не глюки

Просто ещё несколько мыслей вслух. Я подходил к этой проблеме немного с другой стороны, чем большинство. Очевидно, что на частотах, близких к предельной (Fs/2) часть информации теряется. Поэтому её надо восстанавливать. Откуда? Только из соседних значений. Сколько нужно соседних значений? При повторяемости сигнала - определённое количество. Повторяемость сама уже огромная информация. При неповторяемости - неопределённое. А скорее всего - никакое, т.к. сигнал полному восстановлению не подлежит!

В частности ситуация с синусом Fs/2. Имеем мы на выходе АЦП этот синус, и что? Где гарантия, что это его реальная амплитуда? Может он будет бесконечно долго сдвинут по фазе относительно измерения и на самом деле его амплитуда в 100 раз больше. Информации об этом нет и нет никакой гарантии, что данные с АЦП верны. То есть при Fв=Fs/2 100% информации теряется, а точнее искажается.

Люди на самом деле говорят на разных языках и не понимают этого. Математики это говорили на одном языке, а электронщики это толкуют на своём. И при этом думают, что "вот тут есть умные дяди, и они доказали, что здесь всё в порядке с арифметикой. поэтому не беспокойтесь о результате. просто поверьте наслово. как в заповедь".

Если именно это написал Котельников, то хорошо. Я, например, не вижу в этом определении указания на то, что числа - это данные, полученные от АЦП. Или, другими словами, дискретные значения амплитуды, взятые через равные промежутки времени. Такое ощущение, что это опять игра слов.

Сообщение отредактировал GetSmart - Mar 4 2008, 13:18

В общем случае это невозможно. Наихудший вариант восстановления – на выходе ЦАПа одни нули – сигнал потерян полностью.
Пример непериодического сигнала с ограниченным спектром: sin(2 pi F t)+sin(2 pi sqrt(F) t), где sqrt(F) – корень квадратный из F.


Вот немного отредактированный текст работы Котельникова - http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf
По тексту в формулировках теорем 1 и 2 Котельников заводит Fs/2 в полосу сигнала.
Современные трактовки теоремы Fs/2 выводят за полосу сигнала.


Вы вводите Fs/2 в полосу дискретизируемого сигнала.


Очень вкратце. Сигнал после дискретизации представлен взвешенной суммой дельта-функций. Спектр сигнала до дискретизации получается непрерывным преобразованием Фурье (НПФ) этой суммы на интервале частот –Fs/2…+Fs/2. НПФ от дискретизированного по времени сигнала на всей частотной оси называется ДВПФ. Если взять формулу ДВПФ на интервале частот –Fs/2…+Fs/2, то она имеет следующие отличия от ДПФ:
1. Область определения по частоте у ДВПФ непрерывна на интервале, у ДПФ – счетное множество на интервале.
2. В расчете ДВПФ присутствуют все отсчеты сигнала, в ДПФ только конечное их число.
Даже если число точек ДПФ будет равно числу отсчетов сигнала (имеется в виду весь сигнал за время существования), то п.1 это не снимет. Последствия – «чистые палки» в ДПФ появляются только для очень ограниченного числа частот в спектре исходного сигнала. Остальные частоты «раскладываются» через это ограниченное число частот, то есть ДПФ при любом N может показать наличие того, чего в исходном спектре и в помине нет.
Ну а далее следуют ритуальные танцы с бубном (временными окнами) вокруг ограниченного ДПФ числа точек и некратности частот. И вообще, ДПФ, как преобразование, к спектральному анализу отношения не имеет. ДПФ - это анализ гармонический.



Нет, это из Швейка


Да, именно эту.
У меня есть в электронном виде одна из рабочих "редакций" первого тома. Но отличия от книги очень незначительные.
Если нужно, могу переслать по почте.
Есть она и в интернете, но ссылка не гуглится и сейчас, почему-то, просто не окрывается.

Добавил позже - там весь сервер сечас висит.



Тут совесть автора чиста - говорит он про интервал частот, а не отрезок. Возможно, что это получилось "автоматом".

Сообщение отредактировал 729 - Mar 4 2008, 16:06

Тема прелесть
В смысле, очень познавательна и интересна.
Видно, как здравомыслящие практики общаются с знающими теоретиками

Я даже не удержался, и решил написать, чего не делал ... очень давно.
Образ мысли у меня очень близок к таковому у топикстартера. Видимо это потому, что я тоже практик, желающий во всем разобраться.

Теперь по теме. Как практик (не без любви к теории), я убежден, что за достаточное число отсчетов можно с любой точностью измерить постоянное напряжение на входе компаратора, если к нему подмешивать любой периодический или шумовой сигнал достаточной амплитуды. Это к началу темы , так сказать. Конечно с оглядкой на невозможность бесконечных величин, пробои и пр. , что следует из практики.

Что касается теоремы Котельникова. Я очень наглядно понял, читая эту ветку, что практики (и я в том числе) ждут от нее АБСОЛЮТНО другого, чем думают о ней теоретики, извините за резкость.
Как практик, я понимаю, что _любой_ аналоговый сигнал, невозможно описать с помощью конечного числа отсчетов (дискрет). Любой, это значит, произвольной формы. Всякому конечному множеству отсчетов может соответствовать бесконечное число исходных форм сигнала. Как только произошло квантование с небесконечной частотой отсчетов, полного восстановления сигнала быть уже не может.
Это понятно, но речь не об этом.
Котельников, как теоретик, задал некие условия описывающие возможность восстановления исходного сигнала. Только вот к какому множеству форм сигнала это применимо? Я вот подозреваю, что это применимо только к бесконечному, но ОГРАНИЧЕННОМУ подмножеству сигналов, которые могут соответсвовать (могут быть восстановлены из) любой комбинации любых дискретных отсчетов, любой длины. Про это как то нам, практикам, возможно, забывают сказать, а мы потом мучаемся =).
Если вспомнить, что отсчетам могут соответствовать РАЗНЫЕ (с точки зрения практиков) исходные аналоговые сигналы, то (ногами не пинайте, я акын, что вижу про то и пою =) ограниченность теоремы как то сразу становится видна. К ней, наверно, уже тьма дополнений понаписано - тут смотреть, тут не смотреть, а тут пирожки заворачивали.
Просьба, на пальцах, обьясните , может я в корне не прав?

Хотел бы тоже поблагодарить 729 за предельную корректность в непростом общении со мной. Может мой стиль общения и не идеальный, но цель у меня благородная

Всё гораздо строже, чем Вы подумали. Котельников "заявил" (а в массы это ушло в искажённом виде, упрощённом так сказать), что любой сигнал с ограниченным сверху спектром (а не вообще любой сигнал) можно абсолютно точно представить в виде набора чисел с временными метками, равными удвоенной частоте верхей частоты сигнала. "На листке бумаги" действительно можно выполнить что-то похожее с "некоторой" точностью, когда уже известны кое-какие свойства сигнала. Но есть несколько НО:
Примечание: Речь пока идёт только о теории, основанной на дискретных значениях амлитуд, взятых через равные промежутки времени.

1. Для точного восстановления верхних частот (для Fs/2 даже в теории, для ближайших к Fs/2 уже на практике) требуется чтобы временные метки строго соответствовали фазе 90 градусов в полосе сигнала Fs/2. Что уже противоречит случайности появления аналогового сигнала на входе устройства при его дискретизации. Только не надо думать, что уменьшив верхнюю допустимую частоту на 1% мы скачком получаем 100% точность. Точность меняется очень плавно. Ни какими фильтрами и уловками не восстановить одновременное состояние частоты и амплитуды непредсказуемого (но ограниченного по частоте) сигнала на входе. Дело тут не в кол-ве вычислений, а в самом принципе. Когда частота сигнала близка к Fs/2, то зона выявления информации фаза+амплитуда уширяется очень сильно, что требует информации от соседних отсчётов, что в свою очередь требует чтобы сигнал был стабилен, что в свою очередь требует уменьшения кол-ва информации в сигнале, что в итоге приводит к отбрасыванию части информации в непредсказуемом сигнале. Отсюда и потери.

2. Вся теория основана на понятии ортогональных базисов множества спектральных компонент сигнала на бесконечном отрезке времени. Но проблема в том, что ортогональность может задаваться только "принудительно" целым числом взятых отсчётов (времядискретных значений амплитуды). В реальном сигнале же никто не обещает наличие дискретных частот, связанных с Fs. Именно на этом основано утверждение о "бесконечном" приближении сигнала к оригиналу за бесконечный промежуток времени. Поясню для тех, кто не заметил тут "игру слов": Вот тогда мы будем иметь всю информацию о сигнале на всём промежутке времени, вот тогда мы и сможем представить его в виде N чисел. То есть апосля, а не в рилтайме. Именно непредсказуемость сигнала в рилтайме (или просто начальной фазы) вносит до 100% ошибок на верхних частотах.
ЗЫ:Я не забыл про это Но боюсь эта оговорка не принципиальна. Просто "техничное" умалчивание всех ограничений теоремы при её описании в книжках вводит в заблуждение 99% читателей этой книжки. Что очень некорректно для автора.


Если честно, то она мне не нужна. Считайте, что её нет.

Сообщение отредактировал GetSmart - Mar 5 2008, 01:05

Вы ведь пошутили, да?
В "моей" литературе (книжке) написано:
То есть модуль спектра ограничен только сверху, поэтому бесконечный (во времени) предел синуса не противоречит условиям Котельникова.

А хотите, я тоже придумаю "оправдание" для ограниченной применимости этой теоремы на практике? - Всё дело в том, что любая непредсказуемость в сигнале несёт в себе (якобы) спектральные составляющие высших частот (намнооого выше частоты дискретизации), из чего следует что теорема верна, но не обязана выполняться для непредсказуемого сигнала в таком виде, в каком она написана. И спектральные составляющие тем выше, чем больше уже имеющихся "в памяти" отсчётов. И именно в памяти, т.к. начало измерения на практике всегда есть. А вот у математиков нет этого начала и они привыкли оперировать всей информацией которая им нужна сразу и причём мгновенно. Я бы даже рекомендовал в подобных книжках под всеми теоремами в примечаниях указывать степень ограниченности используемых сигналов. А то пишут "произвольный сигнал", но не оговаривают, что заранее известный произвольный сигнал.