Так не сумируйте по бесконечности если у вас там отсчёты нулевые. Что не сработает? Это буквально ответ на ваш вопрос, причём это по определению так. Видимо вы подразумеваете что-то другое, так сформулируйте это.

Сообщение отредактировал petrov - Jan 22 2009, 11:01

Повторяю в десятый раз. Скоро мне надоест повторять и я напишу например на делфе программу для демонстрации сего математического косяка.

Имеется функция - два синуса. Для наглядности пусть у них частоты будут очень разные, допустим 999.55 и 1.333 Гц. Обе амплитудой 10 у.е. Берём выборку 10 сек. Делаем дискретизацию частотой 10 КГц. Всё. Требуется по дискретным выборкам определить точно спектр обоих частот. А ещё точнее спектр всего, что присутствует в дискретизированном сигнале. Вдруг там что-то новое появилось

Меня больше интересует что имел ввиду 729-ый. Он обычно слов на ветер не бросает.

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 22 2009, 11:16

Ещё раз не ломитесь в окрытые двери, преобразование Фурье это и есть спектр по определению. Вы же понимаете что если перемножить во времени синус и прямоугольное окно, то это уже будет радиоимпульс с соответствующим широким синковским спектром и соответсвенно спектры двух радиоимпульсов будут перекрываться, только дискретизация и котельников тут не при чём.

синусы ортогональны на некотором периоде а-b если интеграл от их произведения равен 0 . Для 999.5 Гц и 1.5 Гц интервал равен 0.001002004008..... сек и кратный ему. На этих интервалах можете разделять свои синусы точно.



Чей косяк? - нету косяка , да и ТК тут ни причём.


Нужен спектр? - пользуйтесь

Но если получите непрерывную функцию без ярко выраженных экстремумов - на ТК не кивайте. Хотите близко к линейчатому спектр - забудьте о любых частотах и интервалах дискретизации. Принцип OFDM например.

Пожалуйста, пусть спектры перекрываются. Это не проблема. Точнее проблема не в этом. Меня интересует только пик дельта-функций на спектре. И его "дрожание" во времени. Этот косяк можете объяснить?

Наверное, не "спектр обоих частот", а "величины обеих частот".
Если известно, что функция - сумма 2-х синусов с известными амплитудами, то есть ещё только 4 неизвестных параметра: 2 фазы и 2 частоты. Их можно восстановить по 4-м выборкам: выписываем 4 уравнения с 4 неизвестными и решаем, как учили в средней школе. Главное, чтобы выборки не оказались "вырожденными".


Если там что-то новое появилось, то задача теряет смысл.
Получается, что исходная функция - это сумма двух синусов плюс "что-то новое". Определить частоты этих синусов. А что, если "что-то новое" - это ещё синусы? Как узнать, которые из них "те два", а которые - нет? Абсурд? Абсурд.

А теперь посчитайте точные интервалы для двух модулированных синусоид. Потом для трёх и четырёх.
Контрольный вопрос: Если заранее неизвестны частоты синусов (а иначе зачем их понадобилось измерять), то каким методом подобрать интервал отсчётов? (да ещё и частоту дискретизации! т.к. в интервале содержится целое число отсчётов)

PS. Говорите минимальный интервал равен 0.001002004008 сек. Это как на таком интервале измерить частоту 1.5 Гц? Что-то новенькое.

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 22 2009, 11:52

Нету никаких дельтафункций в спектре вашей суммы. Сформулируйте хорошо вопрос чтобы на него можно было ответить.

1. Когда синусоида ограничена во времени, то уже можно говорить о спектре, как правильно заметил petrov. Спектр такой синусоиды будет похож на дельта-функцию. Но главной характеристикой является местоположение её "пика". Он должен находиться на точной частоте синусоиды.
2. Какие конкретно нужны номера 4-ёх выборок из 100000 присутствующих в наличии?
3. Какие конкретно 4 уравнения?

Имелось ввиду "что-то новое" появилось в процессе дискретизации. Ну например если дисретизировать синус 999.5 Гц частотой 1000 Гц. Получим как бы ниоткуда взявшуюся частоту 0.5 Гц. Но этот случай конечно же не вписывается в ТК, так как частота сигнала явно выше половины частоты дискретизации. Ну а если такой же косяк возникает не только из-за частот, которые выше, но и из-за некратных частот, которые внутри "ограниченного спектра" -Fв/2..+Fв/2 ?

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 22 2009, 11:46

Непохожи они на дельтаимпульсы, это обычные синки, дельтаимпульсы будут после предельного прехода, стремления временного окна к бесконечности.



Ничего нового не появляется, только наложения спектров синков, в том числе и из-за сворачивания частотной оси по мудулю частоты дискретизации.

Критерий выбора интервалов отсчета по ТК ничего общего не имеет с Вашим контрольным вопросом.
Общего универсального ответа на Ваш вопрос , пмсм, не существует.

Вы так спрашиваете потому что знаете ответ?

Я имел в виду то же, что и petrov. Это можно назвать и АЧХой фильтра, можно назвать ДВПФом на интервале -Fd/2...Fd/2, это же есть непрерывное ПФ от функции, представленной рядом Котельникова.
Но вообще, это есть то, с чего Котельников в теореме и начал, - он разложил в ряд Фурье спектр сигнала на неком интервале, а потом доказал, что если спектр сигнала равен нулю вне этого итервала, то коэффициенты Фурье равны временным отсчетам функции, умноженным на интервал дискретизации. Временной ряд Котельникова есть обратное ПФ от спектра, разложенного в ряд.


Отфильтруйте хотя бы этот сигнал каким-нибудь ФНЧ, лучше идеальным. Только потом можно будет говорить о его спектре, расчитанном по его отсчетам. И, пожалуйста, поясните, что же Вы хотите там увидеть? Пики на этих частотах? Они там будут, не сомневайтесь.

Хорошо. Алгоритм такой. По ранее приведённому сигналу строим спектр. По предложенному методу фурье (свёртки с синусом) строим спектр с шагом 0.001 Гц. Это в 100 раз точнее взятого интервала в 10 сек. Будет ли этот спектр соответствовать реальным синусоидам? Ну то есть какая по-вашему будет частота у двух вершин на этом спектре?


1. Давайте ограничимся "ограниченным спектром" и не будем больше говорить о "сворачивании".
2. Как методом Фурье определяется коэффициент C0 (постоянка) ?


Выделенное = тавталогия. Все, кто клюнул - лохи
1. Ни одна синусоида (кроме идеально кратных) на ограниченном интервале не имеет ограниченный спектр, то есть вне этого интервала он всегда будет.
2. В связи с этим измерение характеристик синусоидальных сигналов по дискретным отсчётам является противозаконной операцией. Аминь.
3. Меня очень интересует, какие сигналы имеют ограниченный спектр на произвольно взятом интервале и какое отношение они имеют к реальным сигналам, с которыми работает электронная аппаратура?


А где я Вам найду идеальный фильтр если я не знаю частоту? Представьте что это голос человека. В нём много разных заранее неизвестных гармоник. Не говорите ерунды. Два синуса я привёл к примеру. В идеале синусов много, пусть будет 5. Про аналоговый идеальный фильтр я спорить не буду, так как он работает не с дискретными сигналами, а с непрерывными. А вот аналогово-цифровой фильтр, который работает в ключевом режиме здесь тоже не поможет. Я говорю о том, что в непрерывном сигнале любые синусы в принципе ортогональны (это более верно, чем верна ТК). А в ограниченном множестве дискретных отсчётов есть ограниченное множество ортогональных синусов. Остальные неортогональны.

Сообщение отредактировал GetSmart - Jan 22 2009, 12:30

Этот спектр будет соответствовать спектру двух радиоимпульсов с соответствующими наложениями и искажениями максимумов пиков.



Это все не абсолютно интегрируемые функции.
В учебниках посмотрите, либо через умножение во времени на функцию с параметром, которое даёт возможность вычислить преобразование Фурье, затем вычисление предела. Либо через обобщённые функции.

1. Соответствующими чему?
2. Предсказуемыми искажениями? Если предсказуемыми, то можно было бы откорректировать неправильно посчитанное значение частоты через допустим ДПФ.
3. Повторяю вопрос. Каким методом "выцепить" из этого дискретизированного сигнала частоты 999.55 и 1.333 Гц с хорошей точностью, не зависящей от момента взятия отсчётов из непрерывного сигнала?