Интересно было бы взглянуть как эта задача решается при помощи интервальных вычислений

Попробую к следующим выходным.

Для сравнения будет оценка трансформированной погрешности при традиционном вычислении по полиному и интервальная оценка при интревальном вычислении полинома. Пример был выбран для наглядности, поэтому результаты этого сравнения мне пока неизвестны .

Таймаут до 7 ноября

расчет неопределнности, кстати, очень грамотно прописан (руководствуюсь переводом белорусов), четко прописан алгоритм расчета на основании модели и составленного уравнения измерения
действительно это границы от действительного значения, в которых лежит полученный результат с допустимой вероятностью

Наверное вы имеете в виду Ефремов Н.Ю. "Оценка неопределенности в измерениях"? Укажите источник, любопытно.

Вы говорите о погрешноси, а она бывает разная-"жидкая и газообразная", т.е. абсолютная, относительная, относительная приведенная, основная, дополнительная.И она всегда оговаривается. Как это все в одно слово -неопределенност увязать. Как быть с понятием "точность" измерения.?

ИМХО погрешность как и неопределенность является мерой точности (или неточности) измерений. Если далее говорить о погрешности, то она вообще-то одна - это разность между результатом измерения физ. величины и ее истинным значением. Для удобства оценки погрешности принято УСЛОВНО!разделять ее на составляющие (систематическую и случайную, статическую и динамическую, аддитивную и мультипликативную, основную и дополнительную и т.д), которые удобно оценивать по отдельности, а затем их суммировать по соответствующим правилам для оценки результирующей погрешности. А "абсолютная, относительная и приведенная" это всего лишь формы представления численного значения оценки погрешности. Если сравнивать погрешность и неопределенность то ИМХО это два разных (в большей или меньшей степени) подхода к оценке одного и того же явления- неточности измерений, причем каждый достаточно развит научно и обладает своими преимуществами и недостатками...

все верно, он самый

Пока без численных примеров (пока ).

Для примера термокоррекция сигналов датчика давления (задача измерения описана в предыдущих моих постингах) осуществляется с помощью полиномиальной функции двух переменных

Естественно, используется схема Горнера


Коды каналов измерения имеют погрешности +-DELTA(Cp) и +-DELTA(Ct). Для оценки погрешности результата P (DELTA(P)) можно использовать правила приближенных вычислений
1) Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.
2) Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.
(Данилина Н.И и др. Численные методы. Учебник для техникумов. 1976, эти правила и в других учебниках по численным методам есть)
Можно оценивать погрешность DELTA(P) и как погрешность косвенного измерения (известным способом через частные производные).

Другой подход - при использовании багажа знаний интервальных вычислений. Способы оценки тоже могут быть различны. Не сомневаюсь, что какие-то из способов дадут такую же оценку выходного интервала, как и при традиционном расчете. Но существуют (мягко скажем) способы, которые дадут более узкий интервал выходной величины P (т.е. ее оценки погрешности), т.е. ближе к реальному измеренному значению .
Еще Но
Во 1) - используется математический аппарат, специально предназначенный для вычисления интервальных оценок
во 2) - алгоритмы оценки погрешности хорошо стыкуются с алгоритмами вычисления. Т.е. выполняются параллельно (в нашем случае алгоритму Горнера) и быстро (на каждой итерации цикла по схеме Горнера рассчитывается и очередная оценка элементарного линейного полинома).
в 3) - возможен предварительный анализ распростанения (Error Propagation) ошибок вычисления.
Здесь нету у меня пока численного примера . Зато выкладываю на эту тему (именно на эту) статью "Greedy Algoritms for Optimizing Multivariate Horner Schemes" (виртуальное спасибо Вадику Крайновичу, известному всем математику за его сайт с полнотекстовыми статьями). В статье, в частности, анализируется по какому из способов лучше осуществлять интервальную оценку вычисления многомерного полинома по схеме Горнера.

P.S. Может кто-нибудь поделится этим источником
Ефремова Н.Ю. "Оценка неопределенности в измерениях"?

А то у меня выбор только из русскоязычных книг математиков и англояз. статей Крайновича.

Реальное измеренное значение, наверное, не одно? и наверняка есть разброс (неопределенность)?
А каким образом определяется действительная (истинная ширина) интервала? т.е. на основании чего принимается решение какой из результатов вычислений ("традиционными" или "интервальными" методами) ближе к истине?

Да, выяснилось, что мой "багаж" знаний в области интервальных вычислений не велик , что посоветуете почитать (на русском языке)?

Я спрашивал о том как состыковать кучу разных погрешностей с одним понятием "неопределенность". А в каких единицах определяется точность показаний7

На что я пыталься ответить , что погрешность как и неопределенность есть одна. То, что вы упоминаете как "куча разных погрешностей" это есть составляющие ОДНОЙ погрешности измерения , ИМХО то же можно сказать и о неопределенности: ее тоже можно УСЛОВНО разделить на различные составляющие и при желании провести аналогию между составляющими погрешности и неопределенности...

Я имела в виду конечно же истинное значение измерямой величины ("Погрешность средств измерений - разность между показанием средства измерений и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины" - "Основные термины в области метрологии". Москва, Издательство стандартов, 1989.) Там и другие определения даются (погрешность результата измерений, отличия действительного значения от истинного и т.п.). Этот справочник фактически переложение ГОСТ 16263. ГСИ. Метрология. Термины и определения.
Будем считать, у истинного значения неопределенности нет (а то вообще можно запутаться). После преобразований (первичного, передача по линии связи, А/Ц) из-за погрешностей этих преобразований появляются неопределенности в измерительных данных (или, по другому, коды измерительных каналов АЦП имеют некоторую погрешность, интервал неопределенности). Применяя далее, какой-то алгоритм для получения (оценки) истинного значения измеряемой величины, интервал заведомо расширяется за счет вычислительных погрешностей. Правильно подобрав алгоритм вычисления, можно сузить этот интервал (хорошо бы к входному для алгоритмической части системы ). Конечно же, интервальные оценки могут применяться и для суммирования погрешностей hardware-части системы (измерительного канала), но это я пока не рассматриваю (не так актуально в наших задачах).
Интервал неопределенности на входе алгоритм пока - это традиционные границы погрешности измерит. канала.

На основании чего принимается решение какой из результатов вычислений ("традиционными" или "интервальными" методами) ближе к истине? Например, такой переход к точечному представлению -середина интервала. Хотя, это тоже спорный момент.
А дальше вычисление разности между измеренным и истинным значением.

Еще один аспект - потребителю измерительных данных может быть полезно и интервальное представление его измеряемой величины, т.к. он сразу наблюдает и возможные отклонения из-за погрешностей применяемых средств измерений. Особенно, если этот потребитель - исследователь (испытания и исследования новой продукции). Если же измерительные данные потребляются в какой то системе управления (все, что угодно - АСУТП, ...), то интервальное представление выгодно в решающих (принимающих решение) программных процедурах за счет большего выбора стратегий.
Опять же спорных моментов (или подводных камней) - все равно много.

Для пополнения "багажа"
1. Алефельд Г. Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. - 360 с.
2. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.
Есть - на http://lib.mexmat.ru.
Более современные (там же)
3. Добронец Б.С. Интервальная математика. Учебное издание. Красноярский госуниверситет, 2004 г. -218 с.
4. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. Институт вычислительных технологий СО РАН. 2007 г.

3, 4 - учебные курсы для студентов
В печатном виде есть еще конспекты лекций Г.Г. Меньшикова (Санкт-Петербургский госуниверситет, каф. Математ. теории микропроцессорных систем управления).

Среди англоязычных - сайт Vladik Kreinovich (http://www.cs.utep.edu/vladik/).

Хм, спасибо за информацию, но я уже лет 15 как в курсе...


Да, пожалуй спорный: а если распределение внутри интервала не симметричное?... Такой способ получения точечной оценки наиболее применим для ограниченных, симметричных распределений случайной величины (равномерного, трапециедального, арксинусоидального и т.д., ИМХО которые в природе встречаются относительно редко) при использовании статистических методов.
Кстати, тут (на мой взгляд) вылезает проблема использования интервальных методов: имеем интервал "нахождения" измеряемой величины, но толком не знаем ее точечной оценки. Каким образом этот вопрос решается при помощи интервальных вычислений?


Да, здесь полностью согласен и поддерживаю. Это будет значительно экономить время при обработке результатов экспериментов...

Спасибо за источники, попытаюсь разыскать...

Да я не сомневалась , просто исправляла свой предыдущий пост, где не было жестких определений.



Конечно же, эта проблема заслуживает дальнейших исследований. Возможно она должна решаться при совместном использовании вероятностных и интервальных методов (а может уже и решается). Ведь первый переход от точечного представления измерительных кодов к интервалам - тоже, в какой-то мере, на основе вероятностных методов.


1-4 - у меня есть в электронном виде, могу выслать на e-mail.