Здравствуйте. Сейчас понял то, что не понимаю какой-то важной части в проектировании фильтра с помощью окон.

1. В книжке, по которой я изучал основы ЦОС, говорится, что существует непрерывная система с передаточной функцией Ф(jw) и весовой функцией, связанной с передаточной преобразованием Фурье, h. Существует также дискретная система с передаточной функцией W и импульсной характеристикой h*. Далее даётся понятие эквивалентной импульсной характеристики.
Уместно ли называть h весовой функцией? Я понимаю h как функцию зависимости амплитуды от времени. Как правильно называть h аналоговой системы?

2. Каким образом окна влияют на систему? Это главный вопрос в моей голове.
Понимаю, что перемножаются импульсные характеристики, в результате число отсчётов импульсной характеристики ограничивается.
h2[n]=h1[n]*окно[n], причём число отсчётов h1 бесконечно, а число отсчётов h2 конечно.
h1 - это импульсная характеристика чего? Фильтра, который хотят превратить из идеального в физический КИХ-фильтр?
h2 - это импульсная характеристика чего?

3. Каким образом влияют на результат боковые лепестки фазовой характеристики окна?

Спасибо.

Доброго времени суток. Я полагаю, Вы имеете в виду синтез цифровых фильтров методом весовых функций?
1. Я думаю, здесь речь идет о импульсной характеристике, а не о весовой функции, поскольку с частотной характеристикой через преобразование Фурье связана именно импульсная характеристика.
2. Окно это и есть весовая функция w[n], с помощью которой происходит аппроксимация частотной характеристики фильтра. От ее вида зависят параметры синтезируемого фильтра. h2[n] = h1[n]*w[n]. h1[n] - импульсная характеристика идеального фильтра бесконечной длительности, h2[n] - импульсная характеристика синтезируемого фильтра, получаемая усечением импульсной характеристики h1[n] с заданными весами w[n].
3. Полагаю, здесь идет речь о частотной характеристике окна? Частотная характеристика синтезируемого фильтра есть свертка частотной характеристики идеального фильтра с частотной характеристикой окна. Уровень боковых лепестков АЧХ окна определяет подавление фильтра в полосе задерживания и неравномерность АЧХ в полосе пропускания. Ширина главного лепестка АЧХ окна определяет ширину переходной полосы фильтра, следовательно, крутизну спада АЧХ в области частоты среза.

To PetrovichKR

1,2 спасибо, понял.
3 да, я про частотную характеристику (frequency response).
"Снижение уровня боковых лепестков будет уменьшать смещение спектральной оценки, однако это дается ценой расширения главного лепестка спектра окна, что, естественно, приводит к ухудшению разрешения. Следовательно и здесь должен выбираться какой-то компромисс между шириной главного лепестка и уровнем боковых лепестков."
Тут ещё два вопроса:
1. Почему существует смещение спектральной оценки? Понимаю, что это может быть из-за боковых лепестков. Связано ли это с эффектом Гиббса?
2. Почему увеличение главного лепестка плохо сказывается на фильтре? Он начинает пропускать больше ненужной информации из других областей частот?

1. Это напрямую связано с эффектом Гиббса. Бесконечная импульсная характеристика идеального фильтра усекается. Наличие боковых лепестков АЧХ окна приводит осцилляциям АЧХ фильтра.
2. Увеличение ширины главного лепестка АЧХ окна, при той же длительности импульсной характеристики приводит к "размазыванию" АЧХ фильтра - крутизна АЧХ в области частоты среза уменьшается (расширяется переходная полоса). Чтобы сохранить крутизну АЧХ, необходимо увеличивать длительность импульсной характеристики фильтра.

1. С целью уменьшения эффекта Гиббса в окнах применяются спадающие края, часто до нуля. Это должно частично удалять смещение оценки. Но эффект Гиббса имеет место для любой кусочно-гладкой функции, причём с одинаковыми параметрами (http://www.nsu.ru/education/funcan/node50.html). Не понимаю, почему происходит уменьшение смещения.

2. Что плохого в увеличении длительности импульсной характеристики фильтра?

Спасибо Вам.

Сообщение отредактировал yapopovko - Mar 20 2010, 18:23

1. Потому что при выборе прямоугольной весовой функции, эффект Гиббса будет проявляться в полной мере. Как сказано в той статье, амплитуда частичной суммы будет на 18% превышать амплитуду самой функции. Это является следствием, что спектр прямоугольной весовой функции представляет собой функцию sin(x)/x, у которой уровень боковых лепестков составляет -13,6 дБ от максимума. Этот уровень определяет амплитуду той частичной суммы. Если же взять треугольную весовую функцию, то ее спектр представляет квадрат от sin(x)/x, уровень боковых лепестков -26 дБ. Следовательно, амплитуда частичной суммы будет меньше. Но за это мы платим расширением главного лепестка спектра весовой функции.
2. Длительность импульсной характеристики КИХ-фильтра, представленная в количестве отсчетов - это его порядок. Порядок фильтра определяет количество арифметических опрераций над отсчетами и объем сигнальной памяти при реализации фильтра. Чем длиннее будет импульсная характеристика, тем большая нагрузка будет ложиться на аппаратные ресурсы.

Понял.

А как могут влиять боковые лепестки на передачу сигнала? Я понял, что это зона подавления, она начинается тогда, когда главный лепесток переступает грань в 3 дБ. Может ли их форма/спадание/частота/чередование малого лепестка и большого (например, окно Bartlett-Hanning) влиять на зону пропускания (думаю, что не может)? Могут ли перечисленные параметры пропускать или создавать проблемы в зоне подавления?

1. Не обязательно зона подавления. В зоне пропускания нормируется неравномерность коэффициента передачи, например, 1 дБ. В зоне подавления нормируется максимальный коэффициент передачи, например, -30 дБ. В промежуточной (переходной) зоне не нормируется ничего (как правило). В ней может быть первый боковой лепесток, а может не быть.
2. Боковые лепестки влияют не на передачу полезного сигнала, а на подавление мешающих

To V_G:

1. Не понимаю что такое "неравномерность коэффициента передачи". Поясните, пожалуйста. Также интересует метод определения границы полосы задерживания. Если для полосы пропускания понятно, что это максимальный уровень главного лепестка - 3 дБ, то для полосы задерживания ничего подобного не находил.
2. Понял, спасибо. Каким образом вышеперечисленные параметры (частота появления лепестков/чередование малого и большого лепестков) могут помочь/помешать подавлению сигнала?

Речь о частотной характеристике и о неравномерности коэффициента передачи по частоте. Если вы строите, например, анализатор спектра, то вам важно, чтобы неравномерность в полосе пропускания не влияла бы на точность измерения пиков спектра. -3 дБ - наследие аналоговой техники. При цифровой обработке, как правило, оперируют меньшими цифрами.
По полосе задержания - вы как разработчик должны определить требования к подавлению помех и мешающих сигналов, учитывая при этом, что полосы пропускания и задержания вплотную друг к другу подойти не смогут. Пример из техники аналоговой узкополосной связи. При шаге каналов 25 кГц ширина спектра излучения передатчика на должна превышать 16 кГц (отстройка о центральной 8 кГц). При этом полосу пропускания вы делаете 10 кГц (отстройка от центральной 5 кГц). При этом необходимо задерживать сигналы, отстроенные от центральной частоты на 25-8=17 кГц как минимум, лучше 15, еще лучше 12.5.

Никаким (на мой взгляд, в теорию не вникал). Главное - максимальный уровень любого из боковых лепестков в полосе задержания.

1. Как назначать границы при цифровой обработке сигнала?
2. Почему в примере необходимо задерживать сигналы, отстроенные от центральной частоты на 25-8=17 кГц, а не на 25-16=9кГц? Если шаг каналов = 25, то при рассмотрении этого "промежутка" (не знаю, как выразиться) будет два интервала полосы пропускания, по 8 кГц каждый.
3. Всё-таки боковые лепестки, независимо от уровня самого большого лепестка, как-то должны влиять на сигнал/шум - можно посмотреть хотя бы на эту страницу: http://www.mathworks.com/access/helpdesk/h...nuttallwin.html

1. Границы при цифровой обработке назначаются, исходя из конкретной задачи. Я привел пример задачи частотной селекции.
2. На соседнем канале, отстроенном от вашей центральной на 25 кГц, работает передатчик с шириной спектра 16 кГц. В вашу сторону заползает 8 кГц и в противоположную - 8. Давить надо все, что дальше от вашей центральной на 25-8 кГц. Нарисуйте спектр на бумажке и все поймете.
3. На сигнал/шум, конечно, лепестки влияют. Точнее не лепестки, а мощность шума, попадающая в эти лепестки (считай площадь).

Если мыслить логически в соответствии с п. 3, то чем больше площадь лепестков, тем хуже. Но окно Nuttall было разработано на базе окна Blackman-Harris, причём у первого площадь лепестков явно больше, но они находятся примерно на одном уровне, нет спада. А главный лепесток в обоих случаях одинаков.

Кстати, как правильно перевести "w = nuttallwin(L) returns a minimum, L-point, 4-term Blackman-Harris window in the column vector w" интересует "4-term Blackman-Harris window" ссылка: http://www.mathworks.com/access/helpdesk/h...nuttallwin.html

Про перевод: Окно Блэкмана-Харриса четвертого порядка. Смотрите в той же статье ниже Algoritm. Там формула этой весовой функции, состоящая из четырех членов.
Окно Nutall, как я понимаю, просто оптимизировано по площади боковых лепествов.

У меня такое ощущение, что за эти два дня я узнал очень много полезной информации. Спасибо вам всем!

Появилось ещё два интересующих меня вопроса:
1. Можно ли взять окно для обработки сигнала как фильтр без умножения импульсной характеристики окна на импульсную характеристику идеального фильтра? Ведь если идеальным фильтром является подобие прямоугольного окна, с нулевой переходной полосой, то зачем умножать их импульсные характеристики, если в результате получается всё равно импульсная характеристика окна, которое нас интересует.
2. Если умножать импульсные характеристики фильтров, то их порядки должны быть одинаковыми. Так ли это? Есть ли какие-либо другие ограничения и подводные камни кроме эффекта Гиббса?