Здравствуйте. Сейчас понял то, что не понимаю какой-то важной части в проектировании фильтра с помощью окон.

1. В книжке, по которой я изучал основы ЦОС, говорится, что существует непрерывная система с передаточной функцией Ф(jw) и весовой функцией, связанной с передаточной преобразованием Фурье, h. Существует также дискретная система с передаточной функцией W и импульсной характеристикой h*. Далее даётся понятие эквивалентной импульсной характеристики.
Уместно ли называть h весовой функцией? Я понимаю h как функцию зависимости амплитуды от времени. Как правильно называть h аналоговой системы?

2. Каким образом окна влияют на систему? Это главный вопрос в моей голове.
Понимаю, что перемножаются импульсные характеристики, в результате число отсчётов импульсной характеристики ограничивается.
h2[n]=h1[n]*окно[n], причём число отсчётов h1 бесконечно, а число отсчётов h2 конечно.
h1 - это импульсная характеристика чего? Фильтра, который хотят превратить из идеального в физический КИХ-фильтр?
h2 - это импульсная характеристика чего?

3. Каким образом влияют на результат боковые лепестки фазовой характеристики окна?

Спасибо.

Доброго времени суток. Я полагаю, Вы имеете в виду синтез цифровых фильтров методом весовых функций?
1. Я думаю, здесь речь идет о импульсной характеристике, а не о весовой функции, поскольку с частотной характеристикой через преобразование Фурье связана именно импульсная характеристика.
2. Окно это и есть весовая функция w[n], с помощью которой происходит аппроксимация частотной характеристики фильтра. От ее вида зависят параметры синтезируемого фильтра. h2[n] = h1[n]*w[n]. h1[n] - импульсная характеристика идеального фильтра бесконечной длительности, h2[n] - импульсная характеристика синтезируемого фильтра, получаемая усечением импульсной характеристики h1[n] с заданными весами w[n].
3. Полагаю, здесь идет речь о частотной характеристике окна? Частотная характеристика синтезируемого фильтра есть свертка частотной характеристики идеального фильтра с частотной характеристикой окна. Уровень боковых лепестков АЧХ окна определяет подавление фильтра в полосе задерживания и неравномерность АЧХ в полосе пропускания. Ширина главного лепестка АЧХ окна определяет ширину переходной полосы фильтра, следовательно, крутизну спада АЧХ в области частоты среза.

To PetrovichKR

1,2 спасибо, понял.
3 да, я про частотную характеристику (frequency response).
"Снижение уровня боковых лепестков будет уменьшать смещение спектральной оценки, однако это дается ценой расширения главного лепестка спектра окна, что, естественно, приводит к ухудшению разрешения. Следовательно и здесь должен выбираться какой-то компромисс между шириной главного лепестка и уровнем боковых лепестков."
Тут ещё два вопроса:
1. Почему существует смещение спектральной оценки? Понимаю, что это может быть из-за боковых лепестков. Связано ли это с эффектом Гиббса?
2. Почему увеличение главного лепестка плохо сказывается на фильтре? Он начинает пропускать больше ненужной информации из других областей частот?

1. Это напрямую связано с эффектом Гиббса. Бесконечная импульсная характеристика идеального фильтра усекается. Наличие боковых лепестков АЧХ окна приводит осцилляциям АЧХ фильтра.
2. Увеличение ширины главного лепестка АЧХ окна, при той же длительности импульсной характеристики приводит к "размазыванию" АЧХ фильтра - крутизна АЧХ в области частоты среза уменьшается (расширяется переходная полоса). Чтобы сохранить крутизну АЧХ, необходимо увеличивать длительность импульсной характеристики фильтра.

1. С целью уменьшения эффекта Гиббса в окнах применяются спадающие края, часто до нуля. Это должно частично удалять смещение оценки. Но эффект Гиббса имеет место для любой кусочно-гладкой функции, причём с одинаковыми параметрами (http://www.nsu.ru/education/funcan/node50.html). Не понимаю, почему происходит уменьшение смещения.

2. Что плохого в увеличении длительности импульсной характеристики фильтра?

Спасибо Вам.

1. Потому что при выборе прямоугольной весовой функции, эффект Гиббса будет проявляться в полной мере. Как сказано в той статье, амплитуда частичной суммы будет на 18% превышать амплитуду самой функции. Это является следствием, что спектр прямоугольной весовой функции представляет собой функцию sin(x)/x, у которой уровень боковых лепестков составляет -13,6 дБ от максимума. Этот уровень определяет амплитуду той частичной суммы. Если же взять треугольную весовую функцию, то ее спектр представляет квадрат от sin(x)/x, уровень боковых лепестков -26 дБ. Следовательно, амплитуда частичной суммы будет меньше. Но за это мы платим расширением главного лепестка спектра весовой функции.
2. Длительность импульсной характеристики КИХ-фильтра, представленная в количестве отсчетов - это его порядок. Порядок фильтра определяет количество арифметических опрераций над отсчетами и объем сигнальной памяти при реализации фильтра. Чем длиннее будет импульсная характеристика, тем большая нагрузка будет ложиться на аппаратные ресурсы.

Понял.

А как могут влиять боковые лепестки на передачу сигнала? Я понял, что это зона подавления, она начинается тогда, когда главный лепесток переступает грань в 3 дБ. Может ли их форма/спадание/частота/чередование малого лепестка и большого (например, окно Bartlett-Hanning) влиять на зону пропускания (думаю, что не может)? Могут ли перечисленные параметры пропускать или создавать проблемы в зоне подавления?

1. Не обязательно зона подавления. В зоне пропускания нормируется неравномерность коэффициента передачи, например, 1 дБ. В зоне подавления нормируется максимальный коэффициент передачи, например, -30 дБ. В промежуточной (переходной) зоне не нормируется ничего (как правило). В ней может быть первый боковой лепесток, а может не быть.
2. Боковые лепестки влияют не на передачу полезного сигнала, а на подавление мешающих

To V_G:

1. Не понимаю что такое "неравномерность коэффициента передачи". Поясните, пожалуйста. Также интересует метод определения границы полосы задерживания. Если для полосы пропускания понятно, что это максимальный уровень главного лепестка - 3 дБ, то для полосы задерживания ничего подобного не находил.
2. Понял, спасибо. Каким образом вышеперечисленные параметры (частота появления лепестков/чередование малого и большого лепестков) могут помочь/помешать подавлению сигнала?

Речь о частотной характеристике и о неравномерности коэффициента передачи по частоте. Если вы строите, например, анализатор спектра, то вам важно, чтобы неравномерность в полосе пропускания не влияла бы на точность измерения пиков спектра. -3 дБ - наследие аналоговой техники. При цифровой обработке, как правило, оперируют меньшими цифрами.
По полосе задержания - вы как разработчик должны определить требования к подавлению помех и мешающих сигналов, учитывая при этом, что полосы пропускания и задержания вплотную друг к другу подойти не смогут. Пример из техники аналоговой узкополосной связи. При шаге каналов 25 кГц ширина спектра излучения передатчика на должна превышать 16 кГц (отстройка о центральной 8 кГц). При этом полосу пропускания вы делаете 10 кГц (отстройка от центральной 5 кГц). При этом необходимо задерживать сигналы, отстроенные от центральной частоты на 25-8=17 кГц как минимум, лучше 15, еще лучше 12.5.

Никаким (на мой взгляд, в теорию не вникал). Главное - максимальный уровень любого из боковых лепестков в полосе задержания.

1. Как назначать границы при цифровой обработке сигнала?
2. Почему в примере необходимо задерживать сигналы, отстроенные от центральной частоты на 25-8=17 кГц, а не на 25-16=9кГц? Если шаг каналов = 25, то при рассмотрении этого "промежутка" (не знаю, как выразиться) будет два интервала полосы пропускания, по 8 кГц каждый.
3. Всё-таки боковые лепестки, независимо от уровня самого большого лепестка, как-то должны влиять на сигнал/шум - можно посмотреть хотя бы на эту страницу: http://www.mathworks.com/access/helpdesk/h...nuttallwin.html

1. Границы при цифровой обработке назначаются, исходя из конкретной задачи. Я привел пример задачи частотной селекции.
2. На соседнем канале, отстроенном от вашей центральной на 25 кГц, работает передатчик с шириной спектра 16 кГц. В вашу сторону заползает 8 кГц и в противоположную - 8. Давить надо все, что дальше от вашей центральной на 25-8 кГц. Нарисуйте спектр на бумажке и все поймете.
3. На сигнал/шум, конечно, лепестки влияют. Точнее не лепестки, а мощность шума, попадающая в эти лепестки (считай площадь).

Если мыслить логически в соответствии с п. 3, то чем больше площадь лепестков, тем хуже. Но окно Nuttall было разработано на базе окна Blackman-Harris, причём у первого площадь лепестков явно больше, но они находятся примерно на одном уровне, нет спада. А главный лепесток в обоих случаях одинаков.

Кстати, как правильно перевести "w = nuttallwin(L) returns a minimum, L-point, 4-term Blackman-Harris window in the column vector w" интересует "4-term Blackman-Harris window" ссылка: http://www.mathworks.com/access/helpdesk/h...nuttallwin.html

Про перевод: Окно Блэкмана-Харриса четвертого порядка. Смотрите в той же статье ниже Algoritm. Там формула этой весовой функции, состоящая из четырех членов.
Окно Nutall, как я понимаю, просто оптимизировано по площади боковых лепествов.

У меня такое ощущение, что за эти два дня я узнал очень много полезной информации. Спасибо вам всем!

Появилось ещё два интересующих меня вопроса:
1. Можно ли взять окно для обработки сигнала как фильтр без умножения импульсной характеристики окна на импульсную характеристику идеального фильтра? Ведь если идеальным фильтром является подобие прямоугольного окна, с нулевой переходной полосой, то зачем умножать их импульсные характеристики, если в результате получается всё равно импульсная характеристика окна, которое нас интересует.
2. Если умножать импульсные характеристики фильтров, то их порядки должны быть одинаковыми. Так ли это? Есть ли какие-либо другие ограничения и подводные камни кроме эффекта Гиббса?

1. У идеального фильтра импульсная характеристика бесконечна и существует для отрицательныйх значений n, то есть для отрицательных времен. Прямоугольный вид имеет АЧХ этого фильтра. Такой фильтр физически нереализуем. Окно же накладываетя во временной области, для того чтобы сделать фильтр физически реализуемым.
2. Если здесь имеется в виду перемножение весовой функции на импульсную характеристику идеального фильтра, то у них по определению разные порядки (длительности импульсной характеристики). Просто мы полагаем весовую функцию и равной нулю за пределами ее границ. Кроме эффекта Гиббса существует достаточно много особенностей, которые необходимо учитывать при проектировании фильтра. Например, ограниченная разрядность сигнальной памяти, арифметических действий, АЦП. Это оказывает влияние на характеристики фильтра.

1. Да, вспомнил благодаря вам. Спасибо, торможу по полной программе :-)
2. Понял, спасибо. Разрядность сигнальной памяти, арифметических действий и АЦП в пределах одной системы одинакова? Какие ещё бывают особенности?

Разрядности в пределах системы не обязательно могут быть одинаковыми. Всё зависит от конкретной задачи. В пределах фильтра, как правило, одинаковые.
Из осбенностей еще можно отметить, что линейная ФЧХ будет только у фильтров с симметричной импульсной характеристикой. Про устойчивость говорить не имеет смысла, поскольку нерекурсивный фильтр всегда устойчив, у него отсутствуют полюса в передаточной функции. Ну и есть множество особенностей реализации таких фильтров. Способ понижения объема вычислений на один отчет сигнала с помощью быстрого преобразования Фурье например. В этих вопросах я сам пока не особо разбираюсь, процесс изучения ЦОС только начался

Вообще-то импульсные характеристики не перемножают, перемножают частотные. А перемножение в частотной области эквивалентно свертке во временной.
Если говорить о перемножениях во временной области, то о перемножении выборки сигнала на оконную функцию. И то это преобразование нелинейное, поэтому к выбору оконной функции так осторожно подходят.

Как частотные, почему частотные? Вот пример с сайта разработчиков Матлаба:

Multiplication by a window in the time domain causes a convolution or smoothing in the frequency domain. Apply a length 51 Hamming window to the filter and display the result using FVTool:

b = 0.4*sinc(0.4*(-25:25)); % не совсем понимаю, что происходит в этой строке
b = b.*hamming(51)'; % перемножение идёт по временной области, вектор окна точно во временной области
fvtool(b,1)

http://www.mathworks.com/access/helpdesk/h...al/f4-9659.html

Ох, совсем запутался. Почему преобразование нелинейное? Потому что окно имеет сложную, не прямоугольную и часто даже не треугольную форму?

Точно, но перемножаются не две импульсные характеристики, а собственно сигнал на оконную функцию. Или импульсная характеристика на оконную функцию.

Формируется усеченная импульсная характеристика идеального ФНЧ

Перемножение с константой - операция линейная (масштабирование). Перемножение с функцией - нелинейная. Перемножение во временной области вызывает появление новых спектральных составляющих. Перемножение на непрямоугольную оконную функцию расширяет центральный лепесток. Линейное преобразование новых спектральных составляющих не породит, оно может только усилить или задавить существующие.

В фильтре никакого нелинейного преобразования нет. Иначе это бы был уже не фильтр, а какой-нибудь смеситель или детектор. Выходной сигнал есть свертка входного с импульсной характеристикой фильтра, что соответствует умножению спектра входного сигнала на частотную характеристику фильтра. Нелинейная операция умножения на оконную функцию используется только в процессе синтеза фильтра. Но никакого преобразования сигнала там нет, поскольку нет самого сигнала. Так просто находится импульсная характеристика синтезируемого фильтра.
К выбору оконной функции осторожно подходят потому, что необходимо получить оптимальный фильтр, например, по длине импульсной характеристики, или по значениям затухания в полосе подавления и неравномерности АЧХ в полосе пропускания, либо по простоте реализации. Поэтому существует такое множество весовых (оконных) функций, оптимальных по разным критериям.

Появилось ещё несколько вопросов:

Зачем применяется по оси ординат (сайт http://www.mathworks.com/access/helpdesk/h...al/f4-9659.html ) амплитуда в квадрате? Почему её иногда применять удобнее, чем амплитуду в дБ? Зачем иногда применяют Zero Phase?

Результат действия команд:
b = 0.4*sinc(0.4*(-25:25));
fvtool(b)

В издании IEEE "Fredric J. Harris, On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform. 1978", pp 172-204 (конкретно на 175-й странице, ссылка: http://web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf ), говорится:

We observe that the amplitude of the harmonic estimate at a given frequency is biased by the accumulated broad-band noise included in the bandwith of the window. In this sense, the window behaves as a filter, gathering contributions for its estimate over its bandwidth. For the harmonic detection problem, we desire to minimize this accumulated noise signal, and we accomplish this with small-bandwidth windows.

Собственно вопрос: что за накопленный шум, присутствующий в самих окнах? Эта характеристика применяется сейчас или осталась в 70-х?



Что такое Peak Power Gain, Peak Signal Gain, какой у них физический смысл?

Zero Phase, или в более общем случае, фильтры с линейной фазовой характеристикой применяют для видеосигналов. Кроме того, если ФНЧ имеет линейную фазовую характеристику, из него легко сделать ФВЧ (вычитанием из дельта-функции ИХ ФНЧ), а также полосовой и режекторный фильтры

Если использовать окно в качестве фильтра, то Gain - это коэффициент усиления фильтра. Как правило, окна нормируются так, чтобы максимальное значение во временной области равнялось единице, при этом gain больше единицы. Исключение составляют задачи оценки амплитуды, где удобнее нормировать на gain, чтобы сразу получить значение амплитуды (обычно flat-top окна так нормируют).
А Power Gain видимо отдельно упомянут потому, что значения спектра являются комплексными величинами, поэтому с энергиями проще работать чем с амплитудами.

При оценке амплитуды гармоники к энергии полезного сигнала (т.е. к точке в центре окна W(0) ) добавляется энергия "шума", ослабленного окном. Шумом является все, что не является нужной гармоникой, в т.ч. и "лепестки" от самой этой гармоники. Идеальная нереализуемая характеристика окна = дельта-функция в частотной области. Чем шире частотная характеристика окна - тем оно хуже. Есть несколько характеристик "ширины" окна, в т.ч и ENBW. Новых характеристик с тех пор вроде не придумали.

Формула с интегралом оценивает, сколько энергии наберет окно из белого шума, т.е. дает одну из возможных характеристик ширины. Сама по себе такая оценка не имеет смысла (идеальным получается нулевое окно), поэтому в качестве меры ширины нормируют эту величину на коэффициент усиления окна.

1.

Т.е. чем шире полоса пропускания и положе переходная полоса АЧХ окна?

2.
Из книги Харриса про использование окон:
"Эквивалентная шумовая полоса окна – это ширина полосы пропускания прямоугольного окна с тем же максимальным усилением по мощности, который накапливает ту же мощность шума, что и данное окно."

Накапливает = пропускает?
Что значит "с тем же максимальным усилением по мощности"? Окно должно быть "той же высоты" во временной области, я правильно понял?

3.
Также из Харриса:
"Важным фактором, влияющим на обнаружимость слабых сигналов, является паразитная амплитудная модуляция спектра (scalloping loss),или эффект «частокола» (picket-fence effect)."
Хотелось бы подробнее узнать об этом эффекте.

Обязательно ли в проектировании с помощью весовых функций в качестве фильтра, импульсная характеристика которого перемножается на импульсную характеристику окна, выбирать БИХ-фильтр? Зачем иногда выбирают КИХ-фильтр, как в следующем примере?



b = 0.4*sinc(0.4*(-25:25)):



Спроектированный фильтр:

Нет, в частотной (см рис. 7).


http://www.mennen.org/misc/dsa.pdf начиная со слайда 18.

И снова вопросы.

1.
Выбрал хороший БИХ-фильтр в Матлабе, экспортировал в Workspace, получил его импульсную характеристику h1.





Теперь пытаюсь перемножить его импульсную характеристику на отсчёты самого окна, чтобы получить вектор коэффициентов числителя КИХ-фильтра.



С прямоугольным окном всё получается из-за того, что прямоугольное окно аналогично отсутствию окна.
Но с окном Блэкмана получается непонятно что:



Что я делаю не так?

2.
При проектировании КИХ-фильтра с помощью окон (путём взвешивания) необходимо в качестве взвешиваемого фильтра выбирать идеальный фильтр или это условие необязательно и можно выбрать в качестве такого фильтра хороший фильтр?

Попробуйте умножить импульсную характеристику не на весь вектор окна Блэкмана, а только на его вторую половину. Дело в том, что Вы умножаете нессимметричную импульсную характеристику на симметричное окно. Синтез фильтра заключается в взвешивании импульсной характеристики весовой функцией окна как для положительных, так и для отрицательных времен. Поэтому все весовые функции симметричны. Для того, чтобы сделать фильтр физически реализуемым, импульсную характеристику смещают на N/2 в область положительных времен, где N - ширина окна, затем переможают на окно. Прямое перемножение импульсной характеристики на весовую функцию, без смещения, недопустимо, в чем Вы, очевидно, убедились сами.


Может и можно брать любой фильтр, но, как правило, берется идеальный фильтр. Нет смысла проектировать КИХ-фильтр, например из БИХ-фильтра, поскольку сам БИХ-фильтр тоже спроектирован путем аппроксимации частотной характеристики идеального фильтра, например, степенным рядом. В вашем примере использовалась аппроксимация Чебышева инверсная.

Спасибо, понял. В итоге взял sinc (http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/signal/sinc.html).

Вы не могли бы пояснить ещё раз, как вычисляется сигнал на выходе фильтра? Я понял, что спектр сигнала умножается на АЧХ или, что то же самое, вычисляется свёртка входного сигнала и импульсной характеристики. При умножении спектра на АЧХ получается новый сигнал или спектр нового сигнала?

Ну вообще для КИХ-фильтра вычисляется временная свёртка входного сигнала с его импульсной характеристикой. Структура фильтра реализует именно эту операцию. При этом спектр выходного сигнала есть произведение спектра входного сигнала на частотную характеристику фильтра, причем комплексный спектр (амплитудный + фазовый спектр) и комплексная частотная характеристика (АЧХ + ФЧХ). При умножении спектра на частотную характеристику получается спектр нового сигнала.
Также есть фильтры которые реализуют не вычисление временной свертки, а умножение частотной характеристики фильтра на спектр входного сигнала - алгоритм цифровой фильтрации на основе частотной выборки. В таком фильтре сначала прямым преобразованием Фурье вычисляется спекктр входного сигнала, затем он домножается на частотную характеристику фильтра, затем обратным преобразованием Фурье вычисляется выходной сигнал. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье позволяют упростить реализацию таких фильтров. По аппаратным затратам они не уступают классическим КИХ-фильтрам.

Я взял входной сигнал, профильтровал разными КИХ-фильтрами нижних частот и вот, что у меня получилось:

>> t=0:50;
>> x=cos(50*t); % входной сигнал
>> yblack=filter(bblack,1,x);
>> yrect=filter(brect,1,x);
>> x=0:50;
>> plot(x,cos(50*x),x,yrect,x,yblack)



Почему отфильтровалось именно так? Не понимаю.

Синяя косинусоида - вход, красным и зелёным цветом отображены выходы двух разных фильтров.

Потому что в фильтрах в начальный момент времени идет переходной процесс. Предполагается что сигнал возник в нулевой момент времени, до этого его уровень был равен нулю. Длительность переходного процесса в КИХ-фильтре равна половине длины его импульсной характеристики. Ну и после завершения переходного процесса видно, что фильтр задерживает входной сигнал.

Всем привет. Я закончил проект, результаты проектирования и сравнение окон выставлены в Сети.

http://windowing-matlab.narod.ru

Спасибо всем, кто помог разобраться!