Можно восстановить если сигнал комплексный.

Пишите сразу в нобелевский комитет.

Не пройдет. Нобелевский комитет математикой не занимается.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%...%BE%D0%B2%D0%B0 :


Всё строго и чётко. Восстановить можно при частоте строго большей.
Синус, дискретизированной с частотой равной его собственной частоте является просто рядом нулей. Естессно, если не добавлять сдвиг фазы.
Чем ближе подбирается полоса сигнала к частоте дискретизации, тем больше времени надо на переходные процессы при включении/выключении. Хорошее и простое объяснение: чем ближе полосу сигнала к частоте дискретизации вы хотите, тем более крутую переходную область у фильтра вам надо, тем длиннее его импульсная характеристика.

В этом случае они тоже откажутся от застарелых убеждений.

...сам номинант не может выдвигать свою кандидатуру на нобелевку... По правилам. На себя эту роль возлагает обычно одна из общественных организаций.

Не, не откажутся. Ходят злостные слухи, что какая- то прелестная математичка наставила Нобелю в свое время рога. Вот он и.... Короче, обидел математику в своем завещании.

...не, не так... Жена Нобеля наставила ему рога с математеГом ... Но "Котельников" и к физике и физико-химии близко примыкает, намного ближе чем думают некоторые...

Хочу возразить всем, кто считает что в теореме Котельникова должно быть строгое неравенство.
1. Немного странно, но насколько мне известно, ни Котельников ни Шеннон свои первоначальные формулировки теоремы с равенством так и не скорректировали.
2. Теорема Котельникова для сигналов со спектром, содержащим ненулевые комплексные значения на F=1/2*Fs, работает. Возьмите отсчеты функции Котельникова с произвольным некратным 1/Fs смещением по времени (что дает отличный от нуля комплексный спректр в точках +-1/2*Fs) и подставьте в ряд Котельникова - после недолгих преобразований получите равномерно сходящийся ряд (сумма которого приведена в "Интегралы и ряды" Прудникова), суммой ряда будет исходная смещенная по времени функция Котельникова.
3. Очевидно, что дискретизация синуса частоты Fs/2 ведет к потере информации. Также очевидно, что такая потеря возникает из-за наложения спектров при дискретизации. К такому же эффекту приводит и дискретизация косинуса частоты Fs/2 - энергия отсчетов косинуса частоты Fs/2 ровно вдвое больше энергии отсчетов косинуса частоты, например, Fs/4. А если так, то ни синус частоты Fs/2 ни косинус частоты Fs/2 под условия теоремы не попадают. Почему - предлагаю подумать самостоятельно.

Сообщение отредактировал 729 - Oct 4 2010, 10:15

И уже никогда этого не сделают.

3. Авторы возражали в практическом смысле - что восстановить сигнал в действительности не получится, поскольку потребуется и бесконечное время и идеальные прямоугольные фильтры. И они не поспеют за real-time.
Вы же ссылаетесь на математическую формулировку, что какой-то там бесконечный ряд не сходится (или сходится) равномерно

А почему если дискретизация косинуса частоты Fs/2 - энергия отсчетов косинуса частоты Fs/2 ровно вдвое больше энергии отсчетов косинуса частоты, например, Fs/4 - то они под условие теоремы не попадают?
Или это просто так сказано, для красоты и ничего из этого не следует? Энергия косинуса частоты, например, Fs/4 или ещё лучше Fs/3 тоже зависит от фазы дискретизации и с физической энергией не совпадает. Да и в условиях теоремы о них не сказано ничего, как не напрягайся.

+1
Хотя местами далее не совсем согласен с Вами.

Комплексные отсчеты сигнала способны восстановить гармонику Fs/2, хотя бы по той простой причине что в спектре эта гармоника будет стоять только на одном краю (в отличие от вещественного сигнала) . А стало быть спектр получается чисто периодический и без алиасинга на краях. Математика просто обязана сработать, потому что главное в ней ( в теореме) - строгая периодичность спектров. С комплексными отсчетами она соблюдается.

Вы какую полосу частот для комплексного сигнала рассматриваете, от нуля до Fs или от -Fs/2 до Fs/2? Потому что в первом случае Fs/2 не обладает никакой особенностью, а во втором ваш восстановленный комплексный сигнал будет в какую сторону вращаться, влево или вправо? Но Котельников, вроде бы, ничего про комплексные сигналы и не писал.

По поводу "теорема работает" тоже не могу согласиться.
Речь идёт про Теорему I http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf Попробуйте представить с помощью указанного в формулировке теоремы ряда функцию sin(pi*Fs*t)

Я ссылаюсь на математическую формулировку, ибо речь шла о ней (формулировке теоремы). Практический смысл только упоминался иногда. Согласитесь, что практического смысла и сам ряд Котельникова не имеет, ибо в общем случае он бесконечный.



Имелась в виду энергия отсчетов косинуса частоты Fs/4 и косинуса частоты Fs/2 на интервале, где укладывается целое число периодов обеих частот. А привел только по тому, что удвоение энергии есть результат спектральных наложений при дискретизации косинуса частоты Fs/2. При дискретизации косинуса частоты Fs/4 или Fs/3 спектральных наложений нет. Физическая энергия здесь вообще не причем.

Энергию для чистой гармоники сравнивать вообще нельзя, так как она бесконечна. А вот мощность неизбежно совпадает, так как базис Котельникова ортонормирован.