Всем привет.

Я только приступаю к изучению ЦОС. Заметил такой факт- в теоремме написано, что частота дискретизации должны быть по крайней мере в 2 раза выше частоты спектра сигнала. Открываю матлаб, набираю там скриптик, где частота дискретизации ровно в 2 раза выше частоты сигнала



Получаю следующий график. Вопрос- почему сигнала практически нет? (10^-14)

Ну и где удвоенная частота?

потому что функцию неправильно задаете.

y = sin (2 * pi * F * t / Fd).

Странно, нам на лекциях давали именно так...

Записи аналогичны, просто нагляднее действительно так:
t = 0:100;
Fd = 8000;
F = 4000;
x = sin(2*pi*F * t / Fd);
plot(x);

А нули получаются из-за того, что вы всегда в 0 функции попадаете. Добавьте смещение по фазе:

x = sin(2*pi*F * t / Fd + 0.1);

PS: в теореме строгое неравенство.

Вообще-то в теореме Котельникова неравенство строгое. Т.е. в 2 раза больше нельзя, а в 2.001 - можно. Причина строгого неравенства в том, что для исключения наложения спектров в случае равенства пришлось бы применить идеальный фильтр, которого не бывает. Даже цифрового.

Да видимо в этом и причина. Спасибо.

Да, суть в этом. При теоретической достаточности отсчетов 6800Гц в телефонии берут 8000.

Теорема Котельникова работает, точка! Как то давно в студеньчестве проверяли.
Тогда были доступны 6 порядков после запятой. При отношении 1,999999 не получили. При 2,000001 получили.
Но вот вопрос к студентам, а что же будет при ровном значении 2,000000?
Американцы проверяли при 9 порядках, теорема работает.
Но похоже новые поколения будут таже покушаться на эту теорему.

Хорошая шутка!.. :-)))))))))))))))))

Шо, опять???!!! Была обширная тема в оффтопике про теорему Котельникова и ограниченность ее применения. Жаль не ищется поиском она что-то.
Суть ограничения теоремы в том, что там действительно неравенство строгое. Потому, что время в пределе при стремлении частоты сигнала к удвоенной частоте дискретизации стремится к бесконечности. То бишь, для восстановления частоты F при частоте дискретизации 2*F требуется бесконечно большое время.

для абсолютно точного восстановления сигнала по любому потребуется бесконечно большое время.
но если спектр ограничен до Fs/2 , то с заданной точностью восстановить сигнал можно тем быстрее чем больше зазор

Угу. А еще требуется, чтобы исходный сигнал был бесконечный во времени и бесконечное количество дискретных отсчетов

ну тада и 2TΩ ≤1 до кучи

Теорема работает, но автор, очевидно, использует её неправильную формулировку. Потому что восстановить амплитуду синусоиды с частотой, равной половине дискретизации и произвольной фазой, по ровно двум отсчетам на период, невозможно очевидно.

Можно восстановить если сигнал комплексный.

Пишите сразу в нобелевский комитет.

Не пройдет. Нобелевский комитет математикой не занимается.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%...%BE%D0%B2%D0%B0 :


Всё строго и чётко. Восстановить можно при частоте строго большей.
Синус, дискретизированной с частотой равной его собственной частоте является просто рядом нулей. Естессно, если не добавлять сдвиг фазы.
Чем ближе подбирается полоса сигнала к частоте дискретизации, тем больше времени надо на переходные процессы при включении/выключении. Хорошее и простое объяснение: чем ближе полосу сигнала к частоте дискретизации вы хотите, тем более крутую переходную область у фильтра вам надо, тем длиннее его импульсная характеристика.

В этом случае они тоже откажутся от застарелых убеждений.

...сам номинант не может выдвигать свою кандидатуру на нобелевку... По правилам. На себя эту роль возлагает обычно одна из общественных организаций.

Не, не откажутся. Ходят злостные слухи, что какая- то прелестная математичка наставила Нобелю в свое время рога. Вот он и.... Короче, обидел математику в своем завещании.

...не, не так... Жена Нобеля наставила ему рога с математеГом ... Но "Котельников" и к физике и физико-химии близко примыкает, намного ближе чем думают некоторые...

Хочу возразить всем, кто считает что в теореме Котельникова должно быть строгое неравенство.
1. Немного странно, но насколько мне известно, ни Котельников ни Шеннон свои первоначальные формулировки теоремы с равенством так и не скорректировали.
2. Теорема Котельникова для сигналов со спектром, содержащим ненулевые комплексные значения на F=1/2*Fs, работает. Возьмите отсчеты функции Котельникова с произвольным некратным 1/Fs смещением по времени (что дает отличный от нуля комплексный спректр в точках +-1/2*Fs) и подставьте в ряд Котельникова - после недолгих преобразований получите равномерно сходящийся ряд (сумма которого приведена в "Интегралы и ряды" Прудникова), суммой ряда будет исходная смещенная по времени функция Котельникова.
3. Очевидно, что дискретизация синуса частоты Fs/2 ведет к потере информации. Также очевидно, что такая потеря возникает из-за наложения спектров при дискретизации. К такому же эффекту приводит и дискретизация косинуса частоты Fs/2 - энергия отсчетов косинуса частоты Fs/2 ровно вдвое больше энергии отсчетов косинуса частоты, например, Fs/4. А если так, то ни синус частоты Fs/2 ни косинус частоты Fs/2 под условия теоремы не попадают. Почему - предлагаю подумать самостоятельно.

И уже никогда этого не сделают.

3. Авторы возражали в практическом смысле - что восстановить сигнал в действительности не получится, поскольку потребуется и бесконечное время и идеальные прямоугольные фильтры. И они не поспеют за real-time.
Вы же ссылаетесь на математическую формулировку, что какой-то там бесконечный ряд не сходится (или сходится) равномерно

А почему если дискретизация косинуса частоты Fs/2 - энергия отсчетов косинуса частоты Fs/2 ровно вдвое больше энергии отсчетов косинуса частоты, например, Fs/4 - то они под условие теоремы не попадают?
Или это просто так сказано, для красоты и ничего из этого не следует? Энергия косинуса частоты, например, Fs/4 или ещё лучше Fs/3 тоже зависит от фазы дискретизации и с физической энергией не совпадает. Да и в условиях теоремы о них не сказано ничего, как не напрягайся.

+1
Хотя местами далее не совсем согласен с Вами.

Комплексные отсчеты сигнала способны восстановить гармонику Fs/2, хотя бы по той простой причине что в спектре эта гармоника будет стоять только на одном краю (в отличие от вещественного сигнала) . А стало быть спектр получается чисто периодический и без алиасинга на краях. Математика просто обязана сработать, потому что главное в ней ( в теореме) - строгая периодичность спектров. С комплексными отсчетами она соблюдается.

Вы какую полосу частот для комплексного сигнала рассматриваете, от нуля до Fs или от -Fs/2 до Fs/2? Потому что в первом случае Fs/2 не обладает никакой особенностью, а во втором ваш восстановленный комплексный сигнал будет в какую сторону вращаться, влево или вправо? Но Котельников, вроде бы, ничего про комплексные сигналы и не писал.

По поводу "теорема работает" тоже не могу согласиться.
Речь идёт про Теорему I http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf Попробуйте представить с помощью указанного в формулировке теоремы ряда функцию sin(pi*Fs*t)

Я ссылаюсь на математическую формулировку, ибо речь шла о ней (формулировке теоремы). Практический смысл только упоминался иногда. Согласитесь, что практического смысла и сам ряд Котельникова не имеет, ибо в общем случае он бесконечный.



Имелась в виду энергия отсчетов косинуса частоты Fs/4 и косинуса частоты Fs/2 на интервале, где укладывается целое число периодов обеих частот. А привел только по тому, что удвоение энергии есть результат спектральных наложений при дискретизации косинуса частоты Fs/2. При дискретизации косинуса частоты Fs/4 или Fs/3 спектральных наложений нет. Физическая энергия здесь вообще не причем.

Энергию для чистой гармоники сравнивать вообще нельзя, так как она бесконечна. А вот мощность неизбежно совпадает, так как базис Котельникова ортонормирован.

Не соглашусь.
Ряд Котельникова имеет практический физический смысл повсеместно. Там, где с нужной точностью можно приблизить сигнал конечной суммой членов ряда. Бесконечности вообще имеют практический смысл только в смысле предельного перехода, да и то хорошо бы всегда знать как любое епсилон зависит от того N,что когда-то найдётся)) Иначе бесконечности полностью бесполезны



Это зависит смотря на каком интервале, как объяснил автор.
Практически зависит во всех трёх ваших предложениях)) Не отвлекайте

Я говорил про комплексность спектра дискретизируемой функции, но не про комплексность дискретизируемой функции.
Про периодичность спектра - это отдельная тема. Но даже в рамках модели, которая периодизирует спектр при дискретизации, в точках +-Fs/2 ничего страшного не будет - значения ДВПФ от отсчетов косинуса в точках +-Fs/2 будут стремиться к бесконечности в 2 раза быстрее, чем ДВПФ от отсчетов косинуса в точках +-Fs/4 или +-Fs/3. Но ряд Котельникова эту двойку съест и чистый неудвоенный по амплитуде косинус выдаст.

Сигнал с конечным носителем во времени неограничен по частоте.

Спасибо, вашими заботами

Вы невнимательно читаете то, что я написал. А я написал, что sin(pi*Fs*t) НЕ удовлетворяет условиям теоремы.


Попробуйте посчитать мощность:
1,-1,1,-1
и
1,0,-1,0
Первые - отсчеты на Fs/2, вторые на Fs/4.

Мне кажется, вы заговариваетесь. Начнем с того, что если говорить про "спектр" как про энергетический спектр, то он действителен неизбежно. А если говорить про преобразование Фурье, то оно действительно только для четных действительных функций. Можете сформулировать свои утверждения четко?

В такой трактовке и я с Вами соглашусь - имеет, конечно. Но сами бесконечности интересны только для теоретических выкладок.

Так а в чём же тогда конструктивный вклад ваших постов в обсуждаемую тему?




Про Fs/2 речь не шла.

Под спектром всегда понимал спектральную функцию, но не модули и прочие производные от неё.
Утверждение простое. Спектр sin(pi*Fs*t)/(pi*Fs*t) - функции Котельникова - действителен. Спектр смещенной на тау функции Котельникова - sin(pi*Fs*(t-тау))/(pi*Fs*(t-тау)) уже комплексный в точках +-Fs/2, если тау не равно k*1/Fs.
Вы это утверждение имели в виду?



В том, что:
1 Равенство в теореме есть и оно работает.
2 Что синус и косинус Fs/2 условиям теоремы не удовлетворяют.


Ну вот... Извиняюсь. Я встрял в Ваш с fontp диалог.

Эту?
http://www.answers.com/topic/spectral-function

Я, например, привык под спектром понимать спектр стационарного случайного процесса. Называть "спектром" просто результат преобразование Фурье, наверное, не вполне корректно.



Так речь в теме шла про строгое неравенство в части границ частотного диапазона. Ваше второе утверждение и означает, что это неравенство строгое. А первое утверждение про какое-то другое равенство-неравенство, наверное.

Ссылку на текст работы Котельникова я привел выше. Давайте отталкиваться от него.

Нет, вполне.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/599002
Спектр это разложение сигнала по любому ортонормированому базису. А то что Вы не вполне корректно называете спектром принято называть спектром мощности. Извиняюсь, что встрял в Ваш диалог)) Тем более что спектр мощности вообще не имеет отношения к делу
Человек говорит, что sin fs/2 нарушает другие условия теоремы при строгой формулировке.

Давайте для определённости считать спектром просто непрерывное преобразование Фурье.


Моё утверждение просто до безобразия.
1. Если спектр функции отличен от нуля вне отрезка [-Fh,Fh] (точки +-Fh в этот отрезок входят), то частота дискретизации Fs>=1/(2Fh).
2. Функции синус и косинус Fs/2 дискретизируются со спектральными наложениями, следовательно спектры этих функций за отрезок [-Fh,Fh] "вылазят".

Я вас могу отправить к "Справочнику по математике для научных работников и инженеров" Корнов за определением понятия "спектральная функция"? Кстати, коэффициенты разложения по базису - это последовательность, а не функция в обычном смысле.



Про это все говорят, как оказалось.
А, впрочем, каким же именно "другим условиям теоремы" в оригинальной формулировке Теоремы I в работе Котельникова, ссылку на которую я привел выше, они противоречат?



Прежде всего, ваше утверждение нечеткое до безобразия.

В чем же?

В том что непонятно, что вы хотите сказать. Чётко сформулированные математическим языком утверждения я обычно понимаю.

1. Если спектр отличен от нуля только внутри отрезка [-Fh,Fh]
и кроме того
2. Выполняются ещё какие-то условия, по сходимости например или что не содержит дискретных(сингулярных) компонент спектра на Fh
(они же не "вылазят" из [-Fh,Fh] они вылазят только из (-Fh,Fh] т.е под условие 1 не попадают)

то сигнал можно представить в каком то смысле интерполяционной формулой Уиттекера-Найквиста-Котельникова-теоремы отсчетов

Вообще-то так как она сформулирована у Котельникова там строго должно быть (-Fh, Fh)
Никаких других условий 2 вроде не было в оригинале, по ссылке, что приведена Олдрингом -
"состоящую из частот от 0 до f1".

Куда уж четче. Попробую еще раз.
1. Если спектральная плотность (в терминологии Харкевича) или спектр (в терминологии Шеннона) некоторой функции (имеющей непрерывное ПФ) отличны от нуля на отрезке частот [-Fh,Fh], то ряд Котельникова по мгновенным значениям функции, взятым с частотой Fs большей или равной 2Fh, сходится равномерно к самой функции.
2. Спектры функций (в смысле ПФ обобщенных функций по Колмогорову с Фоминым) синус Fh и косинус Fh отличны от нуля за пределами отрезка частот [-Fh,Fh], поэтому их дискретизация с частотой 2Fh приводит к спектральным наложениям. И если косинус Fh рядом Котельникова восстанавливается точно, то синус Fh не восстанавливается вообще, ибо дискретизируется в нули.
Так понятней?

К наложениям приводят.
Но разве они за пределами [-Fh,Fh] ? Они лежат на -+Fh (т.е. внутри замкнутого интервала), в смысле обобщенных функций-сингулярностей
Другое дело что их спектральная плотность бесконечна

Действительно ошибся. Спасибо, что поправили.



Там и нет более никаких условий, кроме того, что у дискретизируемой функции должен каким-то образом определен спектр (у Котельникова - это интеграл Фурье, у Шеннона - это ПФ по комплексным экспонентам). Но Котельников с Шенноном поставили знак равенства при том, что спектр может быть отличным от нуля в +-Fh, то есть в f1.

С этого места можно подробнее? Каким образом спектры этих функций становятся отличны от 0 вообще при f != +- Fh?