Думаю они просто не рассматривали функций с бесконечной спектральной плотностью на +-Fh. А с конечной плотностью значение в точке не имеет значения - вклад в точке бесконечно мал, если на пальцах.В большинстве источников, чтобы не морочить людям голову строго пишут - строго меньше

Вот и получается, что если положить, что не за пределами, а только в точках, то поимеем дело с неким неопознанным объектом в виде числа дельта-функция(0). Ну и невыполнения интеграла от дельта-функции = 1.



Пишут. И, вероятно, они правы. Но при этом тень на Котельникова с Шенноном ложиться, а это не хорошо.

Теперь гораздо лучше, но теперь очевидно и легко доказуемо, что ваше утверждение ошибочно. ПФ чистого синуса с частотой Fh в смысле обобщенных функций есть обобщенная функция с точечным носителем D={-Fh,+Fh}, и на всём остальном открытом множестве R-D равно нулю в смысле определения, данного на стр. 23 в книге Владимирова "обобщенные функции в математической физике" 1976 года издания. D является подмножеством отрезка [-Fh,Fh], поэтому на R-[-Fh,Fh] ПФ от рассматриваемого синуса (а равно и косинуса) равно нулю, что заканчивает опровержение вашего утверждения.

В процессе предельного перехода к дельта-функции вылазят, а в конечном положении - нет
Значит, если допускать обобщенные функции условие (1) должно быть строгое
А если условие (1) нестрогое нужно придумывать ещё и какое-то условие (2)

Это какие же две различные положительные частоты накладываются там друг на друга, позвольте поинтересоваться?

Хвосты колокольчика, стремящегося к дельта-функции накладываются.
Если вернуться к реальной физической модели чистого синуса нет, не бывает. Это такой спектральный узенький колокольчик, который всё сильнее сжимается, превращаясь в дельта-функцию только посредством идеализма

У меня нет никакого "колокольчика". Обобщенная функция - это линейный непрерывный функционал на пространстве пробных функций, и точка!
Если вернуться к "реальной физической модели", функций с ограниченным спектром нет.

Это другой вопрос. Как и функций бесконечных во времени.
Обычно говорят, что можно немного отбросить и будет как надо))
Для любого "немного" когда-то найдется такое дельта и N

Нет, это тот же самый вопрос, что и про "спектр синуса".

При работе с объктами типа дельта-функции Дирака (лучше бы с ней вообще не работать) эту самую функцию нужно всегда определять очень четко. Иначе обязательно попадется въедливый математик, который "закопает" все выводы, и будет прав.
Все спецы по анализу 3 (функциональный анализ), с которыми довелось общаться на эту тему, рассказывают про эту дельту разное - нету у них единого мнения. И в основном весь сыр-бор из-за возможности или невозможности интегрировать её в конечных пределах. Но все в один голос говорят, что если её определить через предел (в ЦОС лучше всего синка), то всё становится на свои места. И тут, как мне кажется, тот самый случай.
Посчитаем спектр радиоимпульса ограниченной длительности с частотой заполнения Fs/2, посчитаем интеграл от спектра в пределах -inf, -Fs/2. Интеграл имеет место быть и конечен. Равен (при правильной нормировке синка) примерно 1/2*1/2. При этом интеграл в приделах -inf,0 равен примерно 1/2. Загоним длительность импульса в бесконечносмть - получим предел первого интеграла точно 1/4, а второго точно 1/2. Вот и всё - половина площади того, что мы называем дельта-функция в спектре синуса или косинуса Fs/2, лежит левее Fs/2, а вторая половина правее Fs/2.
По крайней мере такой подход в данном вопросе всё ставит на свои места.




ГДЕ у Владимирова написано, что носитель обобщенной функции есть точечное множество?

"от спектра" в каком именно смысле?




Не всякой обобщенной функции, но некоторого класса обобщенных функций с точечным носителем, которые, в соответствии с написанным у Владимирова на страницу 49, однозначно представимы в виде суммы некоторого счетного количества дельта-функций и их производных с некоторыми константными коэффициентами. А где написано у Владимирова определение равенства нулю обощенной функции на открытом множестве я написал чуть выше.

В прямом - интеграл от спектра по частоте в указанных пределах.


Это там, где (у меня издание Владимирова другое - 1979г.) в ряд Фурье раскладывается периодическая последовательность дельта-функций? Но не вижу там точечности носителя дельта-функции, а вижу как раз обратное - дельта-функция разрывов не имеет.

У меня раздел называется "обобщенные функции с точечным носителем". Последний раздел параграфа 2 "дифференцирование обощенных функций". ПФ обощенных функций начинается у меня с гравы 2, страница 100.



От ПФ по частоте? И при этом только с одной стороны? Он же комплексным в общем случае будет?

Сейчас буду искать.


Да и не важно, а важно, что нулю он не будет равен.

Всё равно не понимаю. А сходимость при этом доказуема? Или вы предлагаете устремить края радиоимпульса в бесконечность строго симметрично?

Именно так. Сходится в точках +-Fs/2 будет к бесконечности, собственно, как и все дельта последовательности.

Но из доказанной у Владимирова теоремы о разложении функции с точечным носителем в сумму с дельта-функцией совсем не следует, что носитель дельты точечный.

То есть в терминах матанализа, расходиться?
Ну и мне очень не нравится требование симметричности устремления в бесконечность. Потому что если устремлять несимметрично - интегралы будут умножаться на какие-то фазовые множители, то есть рассматриваемый предел на самом деле не существует.



Верно, только намекает на то, что носитель дельта-функции есть точечное множество. На самом деле то, что носитель дельта-функции есть одна нулевая точка, легко доказывается из определения носителя обощенной функции, так как у любой другой точки есть окрестность, в которой дельта-функция равна нулю.

Щас спою... Не, не так. Щас скажу...
Котельников в этом споре неправ. Дело не в том, что входит или выходит за диапазон +-F. Дело в том, что частоты +F и -F уже "сливаются" вместе в одну. И уже это для сигнала недопустимо. А насколько у синусов узкий спектр вообще к делу не относится. Формально sin(F) имеет спектр нулевой ширины. Я бы сказал псевдо-нулевой. Точка. Собсно несколько лет назад об этом на форуме уже перетирали ("Ошибка в теореме Котельникова").

Другими словами, операция "ограничения спектра" сигнала уже сливает вместе частоты +F и -F. Поэтому, тот, кто говорит о том, что частоты +F и -F допустимы во входном сигнале, тот неправ. И дело совсем не в бесконечности по времени, то есть не в практической стороне дела, а в математической.

я для себя случай представления гармоники сигнала с частотой fs/2 посредствам отсчетов с частотой fs определил следующим образом. Идеальный ФНЧ на частоте fs/2 имеет разрыв. Поэтому на частоте fs/2 к-т передачи идеального фнч не определен, он может принять любое значение от 0 до 1 в зависимости от фазы гармоники на частоте fs/2. Поэтому на fs/2 возникает неопределенность и каждый кто начинает экспериментировать с рядом Котельникова рано или поздно продискретизирует синус в нулях и косинус в еденицах. Но если возьмете случайную начальную фазу, то увидете что сигнал на выходе фнч будет от 0 до 1 амплитуды. Это НЕ ОШИБКА теоремы Котельникова. Для представления сигнала необходимо чтобы частота дискретизации была БОЛЬШЕ удвоенной верхней частоты. Почитайте Финк "сигналы помехи ошибки" там целая глава написана про теорему Котельникова, а также про работы Агеева и как ее надо и не надо интерперетировать. Есть еще очень хорошая книга Хургин Я.И., Яковлев В.П.. Финитные функции в физике и технике.

Спор вроде о том, что в формулировке нет СТРОГОГО меньше. А есть НЕ БОЛЬШЕ.
Вы тут уже перевираете формулировку.
729 тоже неправ.
ФНЧ вообще в этом вопросе никому не поможет.
Ограничение спектра чем-то похоже на сворачивание оси частоты на спектре в круг/трубку. При этом частоты +F и -F уже занимают одну и ту же позицию. Кроме этого появляются alias-ы на частотах внутри +-F, которые были выше |F|. Короче, будь то синус, реальный сигнал, спектр сигнала/синуса (не важно какой ширины), ширина дельта функции, и прочее, всё это не имеет вообще никакого значения к вопросу о строгости определения.

Для простоты можно вообще взять не радиомпульс, а просто симметричный импульс единичной амплитуды и длительности тау. Тогда, если спектр импульса отнормирован так, что площадь его в бесконечных пределах равна 1, то площадь спектра справа и слева от нуля уже будет просто равна 1/2 и не будет зависеть от длительности импульса.


И не намекает Владимиров ни на что. То, что в доказательстве той теоремы есть предельный переход, говорит только об одном, что в утверждении теоремы недаром стоит слово "представляется" суммой (по памяти говорю, книги под рукой сейчас нет). Это как в классическом доказательстве того, что пространство непрерывных функций не является гильбертовым (некая аналогия и не более того) - приведена сходящаяся последовательность непрерывных функций, которая имеет пределом разрывную функцию. Однако при этом все функции последовательнсти остаются непрерывными.
Или по другому. Спектр Т-периодической функции (Т не равен 0) в смысле ПФ обобщенных функций есть взвешенная сумма дельта-функций. Но нули у этой взвешенной суммы дельт образуют счетное множество (рациональное) по отношению к частоте 1/T в виду того, что Т не равна нулю. Во все остальных точках оси частот (иррациональных) нулю равен только предел соответствующих дельта последовательностей.
И если допустить точечность носителя дельты, то я уже писал, во что Вы упрётесь, пытаясь показать результат наложения спектров при дискретизации синуса частоты Fs/2 - упрётесь в суммирование объектов типа А*дельта(0). А это уже не функционал, а черти-что.

Кстати, пространство обобщенных функций полное. А сумма у Владимирова в упомянутом разложении произвольной обобщенной функции с точечным носителем {0} по производным дельта-функции и вообще содержит конечное число членов, так как любая обобщенная функция с компактным носителем имеет конечный порядок. А дельта-функция имеет нулевой порядок, поэтому её разложение сводится к тривиальному delta(x)=delta(x)



Давайте по-порядку. Разберемся сначала с носителем дельты, потом можно будет переходить к ПФ.

Я утверждаю, что носитель дельта-функции есть множество из одной точки {0}. По определению этого понятия, "допускать" тут ничего не нужно. Действительно, хотите оспорить? Если хотите - мне придется написать доказательство со ссылкой на определение. Кстати, доказывается тривиально. Когда я это докажу - вам придется изменить ваши формулировки, чтобы в них не было утверждения про неточечность носителя дельта-функции, не так ли? Так зачем их писать раньше времени в некоректном виде?

Нет никакого НЕ БОЛЬШЕ в оригинальной формулировке:
"состоящая из частот от 0 до f1".
Это можно понимать кому как угодно - и как строго меньше и как "меньше или равно". Автор не заморачивался
этой двусмысленностью



Чисто синус как и дельта функция его спектра - это фантом. Как минимум он ограничен во времени и тогда спектр его синк.
Рассматривайте реальные сигналы с конечной спектральной плотностью без особенностей в +-fh - и Вас перестанет волновать строгость формулировки в этой точке. Если же стремиться к математической точности в пространстве обобщенных функций, то это уже совсем другой вопрос - нужен точный матаппарат, а не форумный флейм.
Образно считайте что половина дельта-функции в fh (односторонняя) находится с одной стороны, а половина заворачивается. Тем самым дельта-функция уже не удовлетворяет Образное мышление в математике часто обманывает, но пусть будет как эмпирическое правило для запоминания.

Вообще, это всё такая ерунда по сравнению с тем, что сигнал в теореме бесконечен во времени. И это значительно больший логический отрыв от реальности. Откуда следует что переход к большому, но ограниченому времени реально живущих сигналов позволит хоть как-то приблизить эту примерно финитную функцию рядом Котельникова? Бессмертная теорема Котельникова сформулирована только для вечности и к бренному миру ей нету дел. Кто доказал, что всегда можно отбросить бесконечное число членов этого ряда на краях? А иначе всем этим великолепием никак нельзя воспользоваться. Только "финитные функции в физике и технике" позволяют убрать этот разрыв через анализ точности путём разложения по функциям с двойной ортогональностью

Блин. Ну дык кто-нить может ответить на 1 частный вопрос:

Почему cos(Fd/2) можно представить рядом котельникова и восстановить его по к-там ряда, а все что отличается от cos(Fd/2) по фазе - нет?

Не мешайте людям развлекаться... в мире абстрактных заблуждений.
В эквивалентной формулировке - нельзя восстановить гармоническую функцию, если доступны только измерения сигнала с удвоенной частотой.
Допустим противное, как бы это ни было противно...
Вот Вы и я измеряем это бесконечно долго и пользуемся одинаковыми формулами для вычислений. Только сигнал к нам приходит с разной задержкой (фазой). Мы получим периодическую знакопеременную последовательность равных по модулю чисел. Только этот модуль у нас будет разный. (Функция должна быть линейна по амплитуде)
Совершенно ясно, что и ответы у нас будут разные. Что и требовалось доказать.

Есть конечно. Без указания исключения всегда считается "включительно". То есть здесь автор неявно (то бишь без букав), но указал, что от 0 до f1 включительно.


Де-Жа-Вю....

Мне тоже не нравится такое непродуманное перенесение математических абстракций на реальные сигналы. Ну и раз пошла такая пьянка, то цепляться надо по полной. И за нестрогую формулировку, которую перепечатывают где попало даже не задумываясь. Если б Котельников понимал различия математики и реальных сигналов, то во второй и третьей теореме чётко бы описал это. Они уже касаются не абстрактной математики, а реальных сигналов.
Халтурщик.


Теорема в оригинальной формулировке содержит баг. Достаточно?


Не фантом. Возьмите дискретную последовательность чисел, множества и прочую фигню. Там есть обыкновенное число, являющееся спектром синуса. Одно число. Даже наверное спект = множество, в частном случае содержащее одно число. (нулевой ширины или еденичной, как душе угодно)
ЦОС тоже оперирует с дискретными числами. Так что в ЦОС частично те же правила, и это не фантомы.

Может и содержит. Однако, вопрос был не о баге в формулировке теоремы.

зы

В выше обозначенном документе есть как оригинальная формулировка, так и оригинальное доказательство.
Если гармоники граничных частот интервала не попадают под действие теоремы - этот факт должен выплыть в процессе доказательства.

Разжевывать, что синусоиду нельзя восстановить никакими методами или теоремами по двум точным отсчетам на период, людям, которые это сразу не видят, уж очень скучно.

Гы. А вдруг можно? Ведь многие надеяцца, верят... Попутно вспоминая нехорошими словами старика Котельникова.

Oldring, этот вопрос будет всегда возникать у новых поколений студентов и не только. Обсуждение его хотя и скучно, возможно, но не бесполезно.
Скажите лучше пожалуйста, в каком месте приложенного варианта доказательства теоремы присутствует неточность. Неужели в допущении при переходе от интегралов к рядам Фурье?
Спасибо.

Эти "многие" могут попытаться задействовать для начала собственные мозги. Взять в руку карандаш, бумажку, сесть и спокойно подумать, как выглядят два отсчета на период и нет ли синусоид с разными амплитудами и фазами, которые по этим отсчетам неотличимы.

Почти. В формулировке традиционно присутствует замкнутый интервал. [-omega omega].
В пункте 1 доказательства функция G определяется на интервале [-2*omega 2*omega] волшебным образом исключая точки +-omega. Сплошные неточности.

Знаете, если уж на то пошло, мне интереснее оригинальная работа Котельникова, а не краткие изложения современных авторов: http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf

Читаем начало доказательства Теоремы I:



Останавливаемся и задумываемся над выделенной мною фразой. Интегрируем ли чистый синус в указанных пределах? Нет, не интегринуем. Существует ли его преобразование Фурье? В классическом анализе не существует, существует только в аппарате обобщенных функций, который во времена написания Котельниковым этой статьи ещё только зарождался. Поэтому чистые гармоники очевидно не попадают под условия теоремы Котельникова, а в противном случае нет никакой разницы, строгое там неравенство или нет, потому что для образа ПФ если за пределами отрезка должен быть строгий ноль - то и на границе отрезка будет ноль ввиду непрерывности ПФ "хороших" сигналов.

Кстати, помарка в этом доказательстве у Котельникова всё-таки есть, так как он пишет про "интегрируемость", подразумевая "абсолютно интегрируемость".

Дельта имеет точечный носитель, согласно определению носителя обобщенной функции. Согласно этому определению носителем является и точка 0 для функции х^2.
Но "носитель дельта-функции есть множество из одной точки" неверно. Из этого утверждения вытекает, что дельта =0 везде кроме точки x=0.
Если под фразой "носитель дельта-функции есть множество из одной точки" Вы понимаете что-то другое, то поясните.


ПФ симметричного относительно 0 синка в точках +-Fs/2 берется на бумаге и равно 1/2.


Я выше уже приводил пример восстановления рядом Котельникова функции с произвольными значениями спектра в точках +-Fs/2.



Действительно не имеет.
Значение имеет только то, что примерами с синусом и косинусом Fs/2 опровергнуть равенство в теореме нельзя.




Ну, считайте, что мгновенные значения (отсчеты, а не сама функция) во все прошлые времена и после окончания наблюдения реального сигнала равны нулю. А почему бы и нет?



Не удовлетворяет этот cos условиям теоремы, если Fd - частота дискретизации.




В доказательстве Шеннона есть и в явном виде.

Какому именно условию теоремы не удовлетворяет cos(Fd/2) или sin(Fd/2)?

Повторюсь, что "неудовлетворительный cos(Fd/2)" легко представляется рядом котельникова, равно как и легко восстанавливается по его к-там.Чего нельзя сказать про sin(Fd/2)

Интересно, а вот exp^(-x) в бесконечных пределах "хороший" сигнал или не очень?

И еще давно хотел Вас спросить - Вы выше в этой ветке как-то упоминули, что спектр - это последовательность коэффициентов разложения функций по базису (очевидно, имелось в виде сепарабельное пространство). А что представляет собой спектр в несепарабельном и пусть для определенности гильбертовом пространстве с, очевидно, несчетным базисом?

Нет, неверно. Для x^2 носителем является R, если мы работаем в R, или же C, если в С.

Согласно определению во Владимирове, носителем обобщенной функции является дополнение нулевого множества обобщенной функции. А нулевое множество - это максимальное открытое множество, на всех пробных функциях которого обобщенная функция (которая есть линейный непрерывный функционал на пробных функциях) обращается в нуль.

Докажем, что носитель обобщенной функции (пусть мы её рассматриваем на Q, включающем x=0) есть {0}. По определению дельты, дельта - это функционал, значение которого равно знечению пробной функции при x=0. Очевидно, что Q не есть нулевое множество дельты, так как дельта не нулевая функция и несложно построить тестовые функции на Q, значение которых при x=0 отлично от нуля. Рассмотрим множество Z=Q-{0}. Это множество открытое. Рассмотрим произвольную тестовую функцию на Q с носителем внутри Z. У этой тестовой функции значение в нуле равно нулю, так как x=0 не принадлежит её носителю. Поэтому значение дельтры на этой тестовой функции равно нулю. А так как дельта равна нулю на любой такой тестовой функции - следовательно, Z является подмножеством нулевого множества дельты.

Предположим, теперь, что Z отлично от нулевого множества дельты. Так как оно должно быть нулевым подмножеством дельты - должна существовать хотя бы одна точка y, входящая в нулевое подмножество дельты, но не входящая в Z. Но нулевое множество дельты есть подмножество Q, поэтому y должно принадлежать Q-Z={0}. Но это - конечное множество мощности 1, и мы знаем, что 0 не принадлежит нулевому множеству дельты. Поэтому такого y не существует, и Z есть нулевое множество дельты, а, повторюсь, по определению, носитель дельты есть Q-Z={0}.

Я достаточно подробно и формально изложил доказательство?

Условию равенства нулю спектра за пределами интервала [-Fd,Fd].



То есть, точка 0 во множество, именуемое носителем, для функции x^2 не входит?

Редактирование - "именуемое носителем" заменяю на "именуемое носителем по определению носителя обобщенной функции, данное Владимировым". Прошу прощения за неточность формулировки.


Я только не понял зачем Вы мне его привели. Я же согласился с Вами, что дельта имеет точечный носитель по определению носителя обобщенной функции, данным Владимировым.

Т е для косинуса и синуса это условие не выполняется? Если так, почему для косинуса с половиной частоты дискретизации теорема работает, а для синуса - нет?

Отвратительный. Экспонента - она даже не медленного роста.



Вообще-то это не я "упомянул" про разложение по базису.

Виноват, проглядел, что Вы про ПФ обощенных функций писали. Вопрос снимается.


Имелись в виду вот эти Ваши слова: "Кстати, коэффициенты разложения по базису - это последовательность, а не функция в обычном смысле." в сообщении №43.

Входит. Так как нулевое множество обобщенной функции - это открытое множество, оно не может содержать изолированную точку. Поэтому нулевое множество x^2 пусто, и, по определению носителя обобщенных функций, носитель x^2 есть Q. Кстати, упомянутое во Владимирове же определение носителя обычных функций как замыкание множества, на котором значение функции не равно нулю, согласовано с этим определением носителя обобщенных функций.



- ваши слова.



А вы хотите искать ПФ экспоненты с бесконечными пределами как обычной функции? Думаете, у вас там хоть один интеграл сойдется?



Потому что вы зафиксировали фазу, введя в процесс "восстановления" дополнительное знание.

Оно не выполняется в общем виде для бесконечного гармонического сигнала частоты Fd/2. То, что выполняется только для косинуса - считайте просто повезло, ибо информация хоть ир "искажается", но восстанавливается.

В своём замечании про существование несепарабельных пространств с несчетным базисом, вы, безусловно, правы.

Ну и что? Для синуса я тоже зафиксировал типа фазу, ввел дополнительные знания, а однако - фиг...



Ну а в случае синуса это мне совсем не повезло. Понятно.

ps

Между тем, в этом наблюдении кроется ответ на вопрос "почему спектральные компоненты частот +-Fd/2 в празднике не участвуют". В формулировке у котельникова однозначности нет, но в доказательстве - все есть.

В случае синуса вы нарвались на полное отсутствие информации даже про амплитуду. Сдвиньтесь сколь угодно мало по фазе - и это вырождение пропадет.

Добавлю, что чтобы восстановить гармонику известной частоты и фазы, "последовательность отсчетов" совершенно избыточна. Достаточно одного отсчета.

???

Ну это уже слишком!

Пурква да не па? Частота, фаза, величина амплитуды (связанная с фазой) и закон изменения сигнала (синус) - этого вполне достаточно для восстановления данного сигнала

да действительно достаточно. пардон.