Есть конечно. Без указания исключения всегда считается "включительно". То есть здесь автор неявно (то бишь без букав), но указал, что от 0 до f1 включительно.


Де-Жа-Вю....

Мне тоже не нравится такое непродуманное перенесение математических абстракций на реальные сигналы. Ну и раз пошла такая пьянка, то цепляться надо по полной. И за нестрогую формулировку, которую перепечатывают где попало даже не задумываясь. Если б Котельников понимал различия математики и реальных сигналов, то во второй и третьей теореме чётко бы описал это. Они уже касаются не абстрактной математики, а реальных сигналов.
Халтурщик.


Теорема в оригинальной формулировке содержит баг. Достаточно?


Не фантом. Возьмите дискретную последовательность чисел, множества и прочую фигню. Там есть обыкновенное число, являющееся спектром синуса. Одно число. Даже наверное спект = множество, в частном случае содержащее одно число. (нулевой ширины или еденичной, как душе угодно)
ЦОС тоже оперирует с дискретными числами. Так что в ЦОС частично те же правила, и это не фантомы.

Сообщение отредактировал GetSmart - Oct 5 2010, 06:16

Может и содержит. Однако, вопрос был не о баге в формулировке теоремы.

зы

В выше обозначенном документе есть как оригинальная формулировка, так и оригинальное доказательство.
Если гармоники граничных частот интервала не попадают под действие теоремы - этот факт должен выплыть в процессе доказательства.

Разжевывать, что синусоиду нельзя восстановить никакими методами или теоремами по двум точным отсчетам на период, людям, которые это сразу не видят, уж очень скучно.

Гы. А вдруг можно? Ведь многие надеяцца, верят... Попутно вспоминая нехорошими словами старика Котельникова.

Oldring, этот вопрос будет всегда возникать у новых поколений студентов и не только. Обсуждение его хотя и скучно, возможно, но не бесполезно.
Скажите лучше пожалуйста, в каком месте приложенного варианта доказательства теоремы присутствует неточность. Неужели в допущении при переходе от интегралов к рядам Фурье?
Спасибо.

Эти "многие" могут попытаться задействовать для начала собственные мозги. Взять в руку карандаш, бумажку, сесть и спокойно подумать, как выглядят два отсчета на период и нет ли синусоид с разными амплитудами и фазами, которые по этим отсчетам неотличимы.

Почти. В формулировке традиционно присутствует замкнутый интервал. [-omega omega].
В пункте 1 доказательства функция G определяется на интервале [-2*omega 2*omega] волшебным образом исключая точки +-omega. Сплошные неточности.

Знаете, если уж на то пошло, мне интереснее оригинальная работа Котельникова, а не краткие изложения современных авторов: http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf

Читаем начало доказательства Теоремы I:



Останавливаемся и задумываемся над выделенной мною фразой. Интегрируем ли чистый синус в указанных пределах? Нет, не интегринуем. Существует ли его преобразование Фурье? В классическом анализе не существует, существует только в аппарате обобщенных функций, который во времена написания Котельниковым этой статьи ещё только зарождался. Поэтому чистые гармоники очевидно не попадают под условия теоремы Котельникова, а в противном случае нет никакой разницы, строгое там неравенство или нет, потому что для образа ПФ если за пределами отрезка должен быть строгий ноль - то и на границе отрезка будет ноль ввиду непрерывности ПФ "хороших" сигналов.

Кстати, помарка в этом доказательстве у Котельникова всё-таки есть, так как он пишет про "интегрируемость", подразумевая "абсолютно интегрируемость".

Дельта имеет точечный носитель, согласно определению носителя обобщенной функции. Согласно этому определению носителем является и точка 0 для функции х^2.
Но "носитель дельта-функции есть множество из одной точки" неверно. Из этого утверждения вытекает, что дельта =0 везде кроме точки x=0.
Если под фразой "носитель дельта-функции есть множество из одной точки" Вы понимаете что-то другое, то поясните.


ПФ симметричного относительно 0 синка в точках +-Fs/2 берется на бумаге и равно 1/2.


Я выше уже приводил пример восстановления рядом Котельникова функции с произвольными значениями спектра в точках +-Fs/2.



Действительно не имеет.
Значение имеет только то, что примерами с синусом и косинусом Fs/2 опровергнуть равенство в теореме нельзя.




Ну, считайте, что мгновенные значения (отсчеты, а не сама функция) во все прошлые времена и после окончания наблюдения реального сигнала равны нулю. А почему бы и нет?



Не удовлетворяет этот cos условиям теоремы, если Fd - частота дискретизации.




В доказательстве Шеннона есть и в явном виде.

Какому именно условию теоремы не удовлетворяет cos(Fd/2) или sin(Fd/2)?

Повторюсь, что "неудовлетворительный cos(Fd/2)" легко представляется рядом котельникова, равно как и легко восстанавливается по его к-там.Чего нельзя сказать про sin(Fd/2)

Интересно, а вот exp^(-x) в бесконечных пределах "хороший" сигнал или не очень?

И еще давно хотел Вас спросить - Вы выше в этой ветке как-то упоминули, что спектр - это последовательность коэффициентов разложения функций по базису (очевидно, имелось в виде сепарабельное пространство). А что представляет собой спектр в несепарабельном и пусть для определенности гильбертовом пространстве с, очевидно, несчетным базисом?

Нет, неверно. Для x^2 носителем является R, если мы работаем в R, или же C, если в С.

Согласно определению во Владимирове, носителем обобщенной функции является дополнение нулевого множества обобщенной функции. А нулевое множество - это максимальное открытое множество, на всех пробных функциях которого обобщенная функция (которая есть линейный непрерывный функционал на пробных функциях) обращается в нуль.

Докажем, что носитель обобщенной функции (пусть мы её рассматриваем на Q, включающем x=0) есть {0}. По определению дельты, дельта - это функционал, значение которого равно знечению пробной функции при x=0. Очевидно, что Q не есть нулевое множество дельты, так как дельта не нулевая функция и несложно построить тестовые функции на Q, значение которых при x=0 отлично от нуля. Рассмотрим множество Z=Q-{0}. Это множество открытое. Рассмотрим произвольную тестовую функцию на Q с носителем внутри Z. У этой тестовой функции значение в нуле равно нулю, так как x=0 не принадлежит её носителю. Поэтому значение дельтры на этой тестовой функции равно нулю. А так как дельта равна нулю на любой такой тестовой функции - следовательно, Z является подмножеством нулевого множества дельты.

Предположим, теперь, что Z отлично от нулевого множества дельты. Так как оно должно быть нулевым подмножеством дельты - должна существовать хотя бы одна точка y, входящая в нулевое подмножество дельты, но не входящая в Z. Но нулевое множество дельты есть подмножество Q, поэтому y должно принадлежать Q-Z={0}. Но это - конечное множество мощности 1, и мы знаем, что 0 не принадлежит нулевому множеству дельты. Поэтому такого y не существует, и Z есть нулевое множество дельты, а, повторюсь, по определению, носитель дельты есть Q-Z={0}.

Я достаточно подробно и формально изложил доказательство?

Условию равенства нулю спектра за пределами интервала [-Fd,Fd].



То есть, точка 0 во множество, именуемое носителем, для функции x^2 не входит?

Редактирование - "именуемое носителем" заменяю на "именуемое носителем по определению носителя обобщенной функции, данное Владимировым". Прошу прощения за неточность формулировки.


Я только не понял зачем Вы мне его привели. Я же согласился с Вами, что дельта имеет точечный носитель по определению носителя обобщенной функции, данным Владимировым.

Сообщение отредактировал 729 - Oct 5 2010, 10:44

Т е для косинуса и синуса это условие не выполняется? Если так, почему для косинуса с половиной частоты дискретизации теорема работает, а для синуса - нет?

Отвратительный. Экспонента - она даже не медленного роста.



Вообще-то это не я "упомянул" про разложение по базису.