Виноват, проглядел, что Вы про ПФ обощенных функций писали. Вопрос снимается.


Имелись в виду вот эти Ваши слова: "Кстати, коэффициенты разложения по базису - это последовательность, а не функция в обычном смысле." в сообщении №43.

Входит. Так как нулевое множество обобщенной функции - это открытое множество, оно не может содержать изолированную точку. Поэтому нулевое множество x^2 пусто, и, по определению носителя обобщенных функций, носитель x^2 есть Q. Кстати, упомянутое во Владимирове же определение носителя обычных функций как замыкание множества, на котором значение функции не равно нулю, согласовано с этим определением носителя обобщенных функций.



- ваши слова.



А вы хотите искать ПФ экспоненты с бесконечными пределами как обычной функции? Думаете, у вас там хоть один интеграл сойдется?



Потому что вы зафиксировали фазу, введя в процесс "восстановления" дополнительное знание.

Оно не выполняется в общем виде для бесконечного гармонического сигнала частоты Fd/2. То, что выполняется только для косинуса - считайте просто повезло, ибо информация хоть ир "искажается", но восстанавливается.

В своём замечании про существование несепарабельных пространств с несчетным базисом, вы, безусловно, правы.

Ну и что? Для синуса я тоже зафиксировал типа фазу, ввел дополнительные знания, а однако - фиг...



Ну а в случае синуса это мне совсем не повезло. Понятно.

ps

Между тем, в этом наблюдении кроется ответ на вопрос "почему спектральные компоненты частот +-Fd/2 в празднике не участвуют". В формулировке у котельникова однозначности нет, но в доказательстве - все есть.

В случае синуса вы нарвались на полное отсутствие информации даже про амплитуду. Сдвиньтесь сколь угодно мало по фазе - и это вырождение пропадет.

Добавлю, что чтобы восстановить гармонику известной частоты и фазы, "последовательность отсчетов" совершенно избыточна. Достаточно одного отсчета.

???

Ну это уже слишком!

Сообщение отредактировал bahurin - Oct 5 2010, 18:23

Пурква да не па? Частота, фаза, величина амплитуды (связанная с фазой) и закон изменения сигнала (синус) - этого вполне достаточно для восстановления данного сигнала

да действительно достаточно. пардон.

Типичная бредятина "а-ля Котельников".
Частота известна. Ну допустим. Фаза известна. Это конечно далеко от жизни, но допустим. Один отсчёт. Пусть возьмёт отсчёт в фазе 0 или Pi и узнает амплитуду.
Мало того, что случай беспредельный (в смысле известной частоты и фазы), но и в нём нельзя гарантированно узнать амплитуду.

Складывается мнение, что товарищи "теоретики" забывают подставлять в свои теоремы предельные параметры или даже сочетание предельных параметров. Но главное, это понять причину сбоя, когда на бумажке всё выглядит красиво.

А в жизни вообще бывает так. Даже если брать максимальное множество частот из реального сигнала, то при наидеальных качествах представления (оцифровки) дискретных отсчётов, обычно неизвестна ни фаза, ни амплитуда, и их требуется вычислить по отсчётам. Поэтому пример Oldring-а такой же "безжизненный" как скала.

И не надо приплетать сюда ещё комплексные сигналы. Речь идёт только о исходных вещественных отсчётах.

Что, синус сдвинутый по фазе восстановится?




Гут.
Гармонический сигнал.
фаза = pi/4
отсчет(фазы) = 1/sqrt(2)
Каков хотя бы 1 следующий отсчет, если прирост фазы pi/4?

Сообщение отредактировал thermit - Oct 5 2010, 19:26

один отсчёт - частоты, амплитуды и фазы ))



Гурукиллер Найквиста-Котельникова-Уитеккера сказал

Не совсем. Надо бы еще единственность доказать. В смысле что приведенному вами определению соответствует одна и только одна ОФ - дельта-функция с точечным носителем.

Но это уже не важно.
Вернёмся к ПФ и интегралу от него. Пусть задан симметричный относительно 0 импульс длительности tau с амплитудой 1/pi.
ПФ от такого импуульса равно tau/pi*sin(w*tau/2)/(w*tau/2). Интеграл от этого ПФ по w от -inf до +inf равен 1.
Я хочу определить интеграл от дельта-функции в пределах от -inf до 0. Согласно введенному Владимировым, да и не только им, это не интеграл, а предел интегралов дельта-образуюших функций.
Функция tau/pi*sin(w*tau/2)/(w*tau/2) с точностью до константы есть такая дельта-образуюшая функция. Таким образом интеграл от дельты в пределах -inf,0 есть предел по tau->+inf интеграла от tau/pi*sin(w*tau/2)/(w*tau/2) в пределах -inf,0.
Этот передел существует, ибо интеграл от tau/pi*sin(w*tau/2)/(w*tau/2) в пределах -inf,0 просто равен 1/2 и от tau не зависит.
Таким образом, интеграл от дельты в пределах -inf,0 существует и равен 1/2. Что, вообще говоря, не вяжется с точечностью носителя дельты, ибо тогда этот интеграл либо равен 0, либо 1, но не 1/2.
Идея понятна?

Идея понятна.
Не обязательно предел функции равен ее значению. Мне вот больше нравится... Интегралы справа и слева равны 1. Если 0 включен. А что, если я буду представлять себе дельта-функцию тоже (как Вы) как предел, но только несимметричной относительно нуля функции. Тогда по Вашему методу могут получиться любые разные значения...
Вот, например, две ступеньки разной высоты... Или импульс с наклонной верхней частью, чтобы не думать, чему равна функция в нуле. Зубец пилы.
Идея понятна?