"от спектра" в каком именно смысле?




Не всякой обобщенной функции, но некоторого класса обобщенных функций с точечным носителем, которые, в соответствии с написанным у Владимирова на страницу 49, однозначно представимы в виде суммы некоторого счетного количества дельта-функций и их производных с некоторыми константными коэффициентами. А где написано у Владимирова определение равенства нулю обощенной функции на открытом множестве я написал чуть выше.

В прямом - интеграл от спектра по частоте в указанных пределах.


Это там, где (у меня издание Владимирова другое - 1979г.) в ряд Фурье раскладывается периодическая последовательность дельта-функций? Но не вижу там точечности носителя дельта-функции, а вижу как раз обратное - дельта-функция разрывов не имеет.

У меня раздел называется "обобщенные функции с точечным носителем". Последний раздел параграфа 2 "дифференцирование обощенных функций". ПФ обощенных функций начинается у меня с гравы 2, страница 100.



От ПФ по частоте? И при этом только с одной стороны? Он же комплексным в общем случае будет?

Сейчас буду искать.


Да и не важно, а важно, что нулю он не будет равен.

Всё равно не понимаю. А сходимость при этом доказуема? Или вы предлагаете устремить края радиоимпульса в бесконечность строго симметрично?

Именно так. Сходится в точках +-Fs/2 будет к бесконечности, собственно, как и все дельта последовательности.

Но из доказанной у Владимирова теоремы о разложении функции с точечным носителем в сумму с дельта-функцией совсем не следует, что носитель дельты точечный.

То есть в терминах матанализа, расходиться?
Ну и мне очень не нравится требование симметричности устремления в бесконечность. Потому что если устремлять несимметрично - интегралы будут умножаться на какие-то фазовые множители, то есть рассматриваемый предел на самом деле не существует.



Верно, только намекает на то, что носитель дельта-функции есть точечное множество. На самом деле то, что носитель дельта-функции есть одна нулевая точка, легко доказывается из определения носителя обощенной функции, так как у любой другой точки есть окрестность, в которой дельта-функция равна нулю.

Щас спою... Не, не так. Щас скажу...
Котельников в этом споре неправ. Дело не в том, что входит или выходит за диапазон +-F. Дело в том, что частоты +F и -F уже "сливаются" вместе в одну. И уже это для сигнала недопустимо. А насколько у синусов узкий спектр вообще к делу не относится. Формально sin(F) имеет спектр нулевой ширины. Я бы сказал псевдо-нулевой. Точка. Собсно несколько лет назад об этом на форуме уже перетирали ("Ошибка в теореме Котельникова").

Другими словами, операция "ограничения спектра" сигнала уже сливает вместе частоты +F и -F. Поэтому, тот, кто говорит о том, что частоты +F и -F допустимы во входном сигнале, тот неправ. И дело совсем не в бесконечности по времени, то есть не в практической стороне дела, а в математической.

Сообщение отредактировал GetSmart - Oct 4 2010, 19:18

я для себя случай представления гармоники сигнала с частотой fs/2 посредствам отсчетов с частотой fs определил следующим образом. Идеальный ФНЧ на частоте fs/2 имеет разрыв. Поэтому на частоте fs/2 к-т передачи идеального фнч не определен, он может принять любое значение от 0 до 1 в зависимости от фазы гармоники на частоте fs/2. Поэтому на fs/2 возникает неопределенность и каждый кто начинает экспериментировать с рядом Котельникова рано или поздно продискретизирует синус в нулях и косинус в еденицах. Но если возьмете случайную начальную фазу, то увидете что сигнал на выходе фнч будет от 0 до 1 амплитуды. Это НЕ ОШИБКА теоремы Котельникова. Для представления сигнала необходимо чтобы частота дискретизации была БОЛЬШЕ удвоенной верхней частоты. Почитайте Финк "сигналы помехи ошибки" там целая глава написана про теорему Котельникова, а также про работы Агеева и как ее надо и не надо интерперетировать. Есть еще очень хорошая книга Хургин Я.И., Яковлев В.П.. Финитные функции в физике и технике.

Сообщение отредактировал bahurin - Oct 4 2010, 18:48

Спор вроде о том, что в формулировке нет СТРОГОГО меньше. А есть НЕ БОЛЬШЕ.
Вы тут уже перевираете формулировку.
729 тоже неправ.
ФНЧ вообще в этом вопросе никому не поможет.
Ограничение спектра чем-то похоже на сворачивание оси частоты на спектре в круг/трубку. При этом частоты +F и -F уже занимают одну и ту же позицию. Кроме этого появляются alias-ы на частотах внутри +-F, которые были выше |F|. Короче, будь то синус, реальный сигнал, спектр сигнала/синуса (не важно какой ширины), ширина дельта функции, и прочее, всё это не имеет вообще никакого значения к вопросу о строгости определения.

Для простоты можно вообще взять не радиомпульс, а просто симметричный импульс единичной амплитуды и длительности тау. Тогда, если спектр импульса отнормирован так, что площадь его в бесконечных пределах равна 1, то площадь спектра справа и слева от нуля уже будет просто равна 1/2 и не будет зависеть от длительности импульса.


И не намекает Владимиров ни на что. То, что в доказательстве той теоремы есть предельный переход, говорит только об одном, что в утверждении теоремы недаром стоит слово "представляется" суммой (по памяти говорю, книги под рукой сейчас нет). Это как в классическом доказательстве того, что пространство непрерывных функций не является гильбертовым (некая аналогия и не более того) - приведена сходящаяся последовательность непрерывных функций, которая имеет пределом разрывную функцию. Однако при этом все функции последовательнсти остаются непрерывными.
Или по другому. Спектр Т-периодической функции (Т не равен 0) в смысле ПФ обобщенных функций есть взвешенная сумма дельта-функций. Но нули у этой взвешенной суммы дельт образуют счетное множество (рациональное) по отношению к частоте 1/T в виду того, что Т не равна нулю. Во все остальных точках оси частот (иррациональных) нулю равен только предел соответствующих дельта последовательностей.
И если допустить точечность носителя дельты, то я уже писал, во что Вы упрётесь, пытаясь показать результат наложения спектров при дискретизации синуса частоты Fs/2 - упрётесь в суммирование объектов типа А*дельта(0). А это уже не функционал, а черти-что.

Кстати, пространство обобщенных функций полное. А сумма у Владимирова в упомянутом разложении произвольной обобщенной функции с точечным носителем {0} по производным дельта-функции и вообще содержит конечное число членов, так как любая обобщенная функция с компактным носителем имеет конечный порядок. А дельта-функция имеет нулевой порядок, поэтому её разложение сводится к тривиальному delta(x)=delta(x)



Давайте по-порядку. Разберемся сначала с носителем дельты, потом можно будет переходить к ПФ.

Я утверждаю, что носитель дельта-функции есть множество из одной точки {0}. По определению этого понятия, "допускать" тут ничего не нужно. Действительно, хотите оспорить? Если хотите - мне придется написать доказательство со ссылкой на определение. Кстати, доказывается тривиально. Когда я это докажу - вам придется изменить ваши формулировки, чтобы в них не было утверждения про неточечность носителя дельта-функции, не так ли? Так зачем их писать раньше времени в некоректном виде?

Нет никакого НЕ БОЛЬШЕ в оригинальной формулировке:
"состоящая из частот от 0 до f1".
Это можно понимать кому как угодно - и как строго меньше и как "меньше или равно". Автор не заморачивался
этой двусмысленностью



Чисто синус как и дельта функция его спектра - это фантом. Как минимум он ограничен во времени и тогда спектр его синк.
Рассматривайте реальные сигналы с конечной спектральной плотностью без особенностей в +-fh - и Вас перестанет волновать строгость формулировки в этой точке. Если же стремиться к математической точности в пространстве обобщенных функций, то это уже совсем другой вопрос - нужен точный матаппарат, а не форумный флейм.
Образно считайте что половина дельта-функции в fh (односторонняя) находится с одной стороны, а половина заворачивается. Тем самым дельта-функция уже не удовлетворяет Образное мышление в математике часто обманывает, но пусть будет как эмпирическое правило для запоминания.

Вообще, это всё такая ерунда по сравнению с тем, что сигнал в теореме бесконечен во времени. И это значительно больший логический отрыв от реальности. Откуда следует что переход к большому, но ограниченому времени реально живущих сигналов позволит хоть как-то приблизить эту примерно финитную функцию рядом Котельникова? Бессмертная теорема Котельникова сформулирована только для вечности и к бренному миру ей нету дел. Кто доказал, что всегда можно отбросить бесконечное число членов этого ряда на краях? А иначе всем этим великолепием никак нельзя воспользоваться. Только "финитные функции в физике и технике" позволяют убрать этот разрыв через анализ точности путём разложения по функциям с двойной ортогональностью

Блин. Ну дык кто-нить может ответить на 1 частный вопрос:

Почему cos(Fd/2) можно представить рядом котельникова и восстановить его по к-там ряда, а все что отличается от cos(Fd/2) по фазе - нет?

Не мешайте людям развлекаться... в мире абстрактных заблуждений.
В эквивалентной формулировке - нельзя восстановить гармоническую функцию, если доступны только измерения сигнала с удвоенной частотой.
Допустим противное, как бы это ни было противно...
Вот Вы и я измеряем это бесконечно долго и пользуемся одинаковыми формулами для вычислений. Только сигнал к нам приходит с разной задержкой (фазой). Мы получим периодическую знакопеременную последовательность равных по модулю чисел. Только этот модуль у нас будет разный. (Функция должна быть линейна по амплитуде)
Совершенно ясно, что и ответы у нас будут разные. Что и требовалось доказать.