Споткнулся на следующем интересном вопросе.

Допустим, решаем уравнения Максвелла, пусть даже в однородной области. Допустим, мы нашли для этой области решение уравнения Гельмгольца и легко выразили некоторую векторную компоненту поля как простую комбинацию скалярных решений, при этом ортогональность найденных решений векторного поля обычно очевидно следует из ортогональности скалярных решений. А вот откуда следует ортогональность роторов различных решений и ортогональность решений с несвоими роторами? Или не всегда следует?

Отвечу сам себе.
Некоторая ограниченная ортогональность решений ЭМ поля обычно следует из теоремы взимности.

Что в данном случае Вы имеете в виду под словами решение/решения?
Что имеется в виду под ортогональностью? Собственные функции?

Смысл был понять смысл понятия "ортогональность" в применении к модам ЭМ поля и точный смысл разложения ЭМ поля по модам. Неприятность состоит в том, что собственные функции задачи Штурма-Лиувилля, конечно, ортогональны, но вот E и H мод получаются применением к векторному потенциалу различных дифференциальных операторов, и их ортогональность не очевидна, более того, она нередко отсутствует. Но вот в интеграле вектора Пойнтинга по нужным поверхностям, тем не менее, перекрестные произведения в интересующих меня случаях обнуляются, и классически это доказывают через теорему взаимности.

А это сразу видно - ведь система линейная - поэтому перекачки энергии не должно быть, откуда следует (если вспомнить пресловутый вектор потока энергии) эта самая ортогональность. Если, конечно, среда линейная.

Вот мне и интересно, откуда это "сразу видно"? Если мы решали скалярную задачу Штурма-Лиувилля методом разделения переменных и нашли её собственные функции?
Среда - да пусть будет вакуум с примесями идеально проводящего железа.

Для трививиального примера. Возьмем, ну например, ряд Фурье. Производная синуса есть косинус, т. е. другая базисная функция. Хоть всё и линейно. Так что тут должно быть существенно, что именно уравнения ЭМ поля, и к тому же только некоторые правильные перекрестные энергетические члены обнуляются. Не все, а, по-видимому, какие-то скаляры для преобразований Лоренца. Или нет. Вот мне и интересно выяснить общий критерий. Чтобы стало "очевидно".

Принцип суперпозиции... сохранение энергии.

Принцип суперпозиции чего конкретно?
Явления интерференции куда девать?
А энергия в целом - да, она сохраняется, это бесспорно.

И меня смущает длина доказательств об ортогональности мод ЭМ поля для некоторых поверхностей. При том, что всё равно получают не общий принцип, а доказательство для конкретной геометрии.

я так понял, есть просто разрыв в понимании, который хочется вяснить - глобальные принципы хороши, конечно, но полной ясности хочется
Как пример - два мячика навстречу со скоростью V, энергия mV^2. Перейдем в систему координат со скоростью V - энергия уже 2mV^2. В первом приближении полной ясности нет, хоть и очевидно, что энергия не меняется.
Так и здесь - суперпозиция и сохранение есть, но хочется "руками пощупать", каким образом оно сохраняется

Вот как раз тут энергия и меняется. А ясность вносит простая теорема Кенига...

Не, я хочу выяснить, откуда вы решили, что моды ЭМ поля ортогональны в общем случае? На уровне строгого доказательства?
Потому что ни суперпозиция, ни сохранение не имеют отношения к данному вопросу.

Точнее, я хочу знать, всегда ли электрические и магнитные поля по отдельности, получаемые из ортогональных решений для уравнений векторного потенциала, сами образуют ортогональные базисы для электрического и магнитного полей? Ну и ортогональны взаимно.

Сразу прошу прощения, если скажу глупость какую, в математике не так силен..
Первое впечатление, что, если бы поля не были ортогональны по отдельности, то не могли бы составлять ортогональные моды (собственные функции) - они бы переходили друг в друга. Что-то наподобие кинетической и потенциальной энергии в струне с ее модами, где и кинетическая, и потенциальная энергия каждой моды по отдельности образуют ортогональный базис.


ну, согласен, не лучший пример - я просто говорил о том, в каком месте разрыв в понимании, который хочется закрыть.

Oldring, представьте что Вы что-то нарыли на этом пути , ведь это подтолкнет страждущих Е-Н антенностроителей к новому витку практических экспериментов по созданию EHHE-антенн.

Иногда общие принципы понятнее...
Вот, например, металлическое тело любой самой дурацкой формы помещено во внешнее поле тоже самой дурацкой формы.
Легко ли доказать, что в общем случае существует такое распределение поверхностной плотности зарядов, которое зануляет поле внутри?
Понятно, что достаточно доказать этот факт для одного точечного внешнего заряда. Но и это вызывает у меня... затруднения...

Меня математика больше заботит. Так почему роторы от ортогональных мод векторного потенциала сами оказываются ортогональными? Не случайно же это.