Споткнулся на следующем интересном вопросе.

Допустим, решаем уравнения Максвелла, пусть даже в однородной области. Допустим, мы нашли для этой области решение уравнения Гельмгольца и легко выразили некоторую векторную компоненту поля как простую комбинацию скалярных решений, при этом ортогональность найденных решений векторного поля обычно очевидно следует из ортогональности скалярных решений. А вот откуда следует ортогональность роторов различных решений и ортогональность решений с несвоими роторами? Или не всегда следует?

Отвечу сам себе.
Некоторая ограниченная ортогональность решений ЭМ поля обычно следует из теоремы взимности.

Что в данном случае Вы имеете в виду под словами решение/решения?
Что имеется в виду под ортогональностью? Собственные функции?

Смысл был понять смысл понятия "ортогональность" в применении к модам ЭМ поля и точный смысл разложения ЭМ поля по модам. Неприятность состоит в том, что собственные функции задачи Штурма-Лиувилля, конечно, ортогональны, но вот E и H мод получаются применением к векторному потенциалу различных дифференциальных операторов, и их ортогональность не очевидна, более того, она нередко отсутствует. Но вот в интеграле вектора Пойнтинга по нужным поверхностям, тем не менее, перекрестные произведения в интересующих меня случаях обнуляются, и классически это доказывают через теорему взаимности.

А это сразу видно - ведь система линейная - поэтому перекачки энергии не должно быть, откуда следует (если вспомнить пресловутый вектор потока энергии) эта самая ортогональность. Если, конечно, среда линейная.

Вот мне и интересно, откуда это "сразу видно"? Если мы решали скалярную задачу Штурма-Лиувилля методом разделения переменных и нашли её собственные функции?
Среда - да пусть будет вакуум с примесями идеально проводящего железа.

Для трививиального примера. Возьмем, ну например, ряд Фурье. Производная синуса есть косинус, т. е. другая базисная функция. Хоть всё и линейно. Так что тут должно быть существенно, что именно уравнения ЭМ поля, и к тому же только некоторые правильные перекрестные энергетические члены обнуляются. Не все, а, по-видимому, какие-то скаляры для преобразований Лоренца. Или нет. Вот мне и интересно выяснить общий критерий. Чтобы стало "очевидно".

Принцип суперпозиции... сохранение энергии.

Принцип суперпозиции чего конкретно?
Явления интерференции куда девать?
А энергия в целом - да, она сохраняется, это бесспорно.

И меня смущает длина доказательств об ортогональности мод ЭМ поля для некоторых поверхностей. При том, что всё равно получают не общий принцип, а доказательство для конкретной геометрии.

я так понял, есть просто разрыв в понимании, который хочется вяснить - глобальные принципы хороши, конечно, но полной ясности хочется
Как пример - два мячика навстречу со скоростью V, энергия mV^2. Перейдем в систему координат со скоростью V - энергия уже 2mV^2. В первом приближении полной ясности нет, хоть и очевидно, что энергия не меняется.
Так и здесь - суперпозиция и сохранение есть, но хочется "руками пощупать", каким образом оно сохраняется

Вот как раз тут энергия и меняется. А ясность вносит простая теорема Кенига...

Не, я хочу выяснить, откуда вы решили, что моды ЭМ поля ортогональны в общем случае? На уровне строгого доказательства?
Потому что ни суперпозиция, ни сохранение не имеют отношения к данному вопросу.

Точнее, я хочу знать, всегда ли электрические и магнитные поля по отдельности, получаемые из ортогональных решений для уравнений векторного потенциала, сами образуют ортогональные базисы для электрического и магнитного полей? Ну и ортогональны взаимно.

Сразу прошу прощения, если скажу глупость какую, в математике не так силен..
Первое впечатление, что, если бы поля не были ортогональны по отдельности, то не могли бы составлять ортогональные моды (собственные функции) - они бы переходили друг в друга. Что-то наподобие кинетической и потенциальной энергии в струне с ее модами, где и кинетическая, и потенциальная энергия каждой моды по отдельности образуют ортогональный базис.


ну, согласен, не лучший пример - я просто говорил о том, в каком месте разрыв в понимании, который хочется закрыть.

Oldring, представьте что Вы что-то нарыли на этом пути , ведь это подтолкнет страждущих Е-Н антенностроителей к новому витку практических экспериментов по созданию EHHE-антенн.

Иногда общие принципы понятнее...
Вот, например, металлическое тело любой самой дурацкой формы помещено во внешнее поле тоже самой дурацкой формы.
Легко ли доказать, что в общем случае существует такое распределение поверхностной плотности зарядов, которое зануляет поле внутри?
Понятно, что достаточно доказать этот факт для одного точечного внешнего заряда. Но и это вызывает у меня... затруднения...

Меня математика больше заботит. Так почему роторы от ортогональных мод векторного потенциала сами оказываются ортогональными? Не случайно же это.

Тут я несколько теряюсь - что означает "роторы ортогональны"? Понятна ортогональность векторов, ортогональность собственных функций. Про ротор пока не догоняю..

Ротор - оператор над векторной функцией. Результат применения ротора - тоже векторная функция.

Ну да, я глючу.. представил себе сам ротор как матричный оператор, как он может быть ортогонален rot H=j

Но, кажется, для мод абсолютно не обязаны быть ортогональными соответствующие векторы - как в той же струне, при колебаниях разных гармоник (мод) скорости точек струны могут быть параллельны. Точнее будет сказать так - в случае соответствующей симметрии в каждой гармонике будет две ортогональных моды (в них, кажется, действительно Е и Н ортогональны), а между гармониками - ортогональности нет..

а геометрическое представление в трехмерном пространстве двух векторов роторов , проекция направлений которых на третью перпендикулярную плоскость относительно плоскостей циркуляции , с образованием прямого угла в точке пересечения проекций , чем не устраивает Вас?

Есть, но как ортогональность полей. Понятие ортогональности следует из скалярного произведения. Рассматривая различные скалярные произведения получаем различные орнтогональности. Одно дело - скалярное произведение векторов в точке, и немного другое - скалярное произведение полей в некоторой области пространства.



Нельзя ли подробнее?

в трёхмерном пространстве для ортогональности векторов достаточно чтобы угол между ними равнялся 90гр. кажется
доказать что проекция прямых содержащих роторы на третью плоскость , перпендикулярную плоскостям циркуляции, будут коллинеарны роторам и пересекаться под углом 90 градусов мне показалось несложным.
Прямые , содержащие роторы, пересекать третью плоскость не будут ( в общем случае , кроме слияния с самой третьей плоскостью, всегда можно выбрать плоскость без слияния, хотя это и не обязательно)
Плюс ко всему сумма углов в четырехугольнике равна 360.

В трехмерном пространстве могут быть взаимно ортогональны максимум три вектора. А ортогональных мод ЭМ поля в области пространства часто счетное количество. Очевидно, что речь идет не про простую поточечную ортогональность векторных полей.

Ну, именно так, конечно. Ортогональны как собственные функции - на то они и моды, а векторы E и H не обязательно ортогональны, да и роторы тоже..

Как ни странно, некоторые производные от этих собственных функций, которыми являются E и H мод, тоже образуют ортогональные базисы для E и H электромагнитных полей в этих областях. Возник второй вопрос: существуют ли геометрии, E и H мод которых не образуют ортогональные базисы, и если нет - то почему?

Т.е., если конкретнее - правильно ли я понял, неортогональные - такие, где интеграл E1E2dV по рассматриваемому объему (даже, скорее, вообще по всему объему) не равен нулю?

Да, как часть вопроса. По рассматриваемой области, где нашли некоторое разложение векторного потенциала по ортогональному полному базису. И для H аналогично.

Скорее, - сумма двух членов - один Ваш, а второй такой же, только с H.

Это было бы слишком просто. Нет, именно поотдельности получаются ортогональные базисы для E и H в интересных случаях.
Что можно доказать, воспользовавшись математическими свойствами полученных мод. Вот и интнресно, почему нет какой-нибудь общей теоремы? Задача, разумеется, гармоническая с комплексными полями, то есть зависимости от времени нет.

А можете более простую общую теорему доказать, что для любой поверхности существует единственная функция распределения заряда на этой поверхности, которая дает нулевое поле в полупространстве. А в другом полупространстве произвольно расположен точечный заряд.

Не уверен, но, в любом случае, ваш вопрос задан неоднозначно. А для замкнутой поверхности решение будет зависеть от суммарного заряда этой поверхности.

А начало решения может быть таким. В векторном анализе существует теорема, что при наличии достаточно гладких условий векторное поле внутри замкнутой поверхности можно однозначно восстановить по дивергенции, ротору и нормальной составляющей на границе. То есть, обнулив нормальную составляющую E на границе мы обнуляем поле во всей области.

Что дальше - нужно думать.

Естественно, если упоминаются полупространства, - поверхность замкнутая. Иногда не бесконечности...
А от заряда не зависит. Точнее - будет суперпозиция двух решений - одно при отсутствии внешнего заряда - заряд только на поверхности. И второе - с нулевым интегральным зарядом на поверхности и произвольно расположенным точечным зарядом..

От противного, надо полагать.. Пусть таких распределений два, каждое компенсирует поле заряда во втором полупространстве - значит, эти распределения создают одинаковое поле. По суперпозиции, вычтем одно распределение из другого. Останется ненулевое распределение, создающее нулевое поле - что невозможно.

И я об этом. Но не "единственно" значит.

Так что насчет доказательства?


Мне вот тоже кажется, что все-таки равенство нулю каждого по отдельности.. сумма двух членов будет нулевой автоматически. Иначе, как мне кажется (не утверждаю), моды не будут невзаимодействующими физически (т.е. будет перекачка энергии между модами) - в общем, это никакие не моды, не чистые собственные функции.

Если заряда у тела нет, то единственное. А если добавить заряд, добавится второе единственное решение для случая отсутствия внешних (внутренних) зарядов. В конечном итоге получается, что решение единственное.

Любое решение единственно при добавлении достаточного количества параметров.

Вот и не знаю я решения. А по поводу перекачки энергии... Как раз равенство нулю суммы эквивалентно сохранению энергии в модах.

Тут интересно не только сохранение энергии, но и то, что электрическое и магнитное поле мод образуют полный ортогональный базис для электрического и магнитного поля в системе, поэтому их энергия тоже суммируется без интерференции. По крайней мере, это доказывается в частных случаях цилиндрических волноводов, то есть волноводов, у которых сечение постоянно по длине.

Так почему же не видно общей теоремы? В применении к энергиям возник следующий частный вопрос. Ещё его обдумать не успел, выкладываю для обсуждения сырым. Возможно он тривиален и описан в учебниках. Пусть у нас есть ограниченная электромагнитная система без потерь, с идеальными проводящими стенками и вакуумом в качестве среды. Понятно, что если всё линейно - преобразование Фурье во временной области безусловно разделяет любые решения на гармонические, любой функционал вида средней энергии будет равен сумме энергий от различных гармоник. Так что можно рассматривать одну гармонику и комплексное представление ЭМ поля.

Пусть у системы есть N портов-волноводов, в каждом из которых бегает только одна мода. Любые энергетические функционалы должны быть квадратичными формами от векторов комплексных амплитуд входящих в волноводы волн. Соответственно, в базисе собственных векторов такие квадратичные формы диагональны и не содержат интерференционных членов.

Вопросы:

1. Верно ли, что базисы собственных векторов для полной средней энергии электрического и магнитного поля в системе совпадают? Если нет, какой можно привести контрпример?
2. Связаны ли они каким-то образом с собственными векторами S-матрицы системы?

Если каждый член суммы равен нулю, то и сумма... Вы предполагаете, что в общем случае будет (должно) выполняться более сильное утверждение - равенство нулю каждого члена?
А Вы уклоняетесь от прямой формулировки... Пусть в .... выполняются уравнения (Максвелла)...

Ага, пусть выполняются уравнения Максвелла и закон сохранения энергии. Так пойдёт?

Я предполагаю, что электрические или магнитные поля различных мод ортогональны. Про то, что в волноводе дело обстоит именно так, написано в куче учебников. Вот и возник вопрос, а когда это может быть не так?

Да не, я имел в виду - устроило ли Вас мое примитивное доказательство единственности распределения заряда.

Берем сферу с постоянной плотностью поверхностного заряда... Внутри поле равно нулю.

Так я говорил - не внутри, а везде
Но я понял означенный недочет - ок, подумаю еще

Продолжаем пить газировкуВаше возражение на мою попытку было примерно: по другую сторону поверхности, где нет заряда (того точечного, что в пространстве), поле равно нулю. А по эту не равно нулю, и может быть разным для тех самых двух приведенных мною распределений. Соответственно, при вычитании остается ненулевое распределение заряда по поверхности, создающее нулевое с одной стороны и ненулевое с другой поле.
Но если взять формулы Френеля, в данном случае очевидные: нормальная компонента поля испытывает скачок при пересечении заряженной плоскости. Тангенциальная - нет. Значит, вблизи плоскости с обеих сторон тангенциальная компонента нулевая. Но это возможно только при равномерном распределении заряда по поверхности.
Осталось доказать, что это распределение нулевое, это очень просто следует из того, что в целом плоскость не заряжена (суммарный заряд нулевой).

Я до конца не понял что вы имеете ввиду под ортогональностью мод. Я например только то, что если взять Интеграл по поперечному сечению волновода величины E_n H_m* , то он получится равен нулю. E электрический вектор одной моды, H* комплексно сопряженный магнитному вектору другой моды. Если n=m то это вектор пойнтинга(только его интеграл не равен нулю).

Общая теорема есть в книге Волноводная Оптоэлектроника под ред. Тамира. (стр. 42) Если хотите могу тут выложить.

Меня вот другое интересует. В волноводах и резонаторах в каждой точке магнитный вектор ортогонален электрическому и сдвинут по фазе на 90 Pi/2 . Всегда ли это так в линейной среде?

В волноводах - нет, там есть поток активной энергии. В резонаторах - на 90 градусов фазовый сдвиг почти всегда.
Сдвиг по фазе на 90 градусов означает отсутствие потока активной энергии.

Почему означает?Вы имеете ввиду что у пойнтинга нет реальной части поскольку мы множим магнитное поле на I сдвигая на 90? Тогда всегда ли в сечении волновода комплексные амплитуды E и H можно сделать действительными во всем сечении и откуда это следует?

Нет, не всегда. Возьмите два волновода рядом. Между волнами в них ними произвольный фазовый сдвиг.

Я имею ввиду можем ли мы в сечении взять Комплексную величину E(x,y) и представить ее как действительную Eд(x,y) на какое то комплексное число не зависящее от координаты. То есть есть ли в сечении сдвиг фаз между точками?

Как показывает пример с двумя независимыми волноводами, может быть.
Нужно спрашивать про сдвиг фаз для одной невырожденной TE моды. Сейчас доказывать и лазить в учебники не буду, вспоминая вывод, но, кажется, сдвиг фаз там невозможен, если стенки волновода идеально проводящие.