Споткнулся на следующем интересном вопросе.

Допустим, решаем уравнения Максвелла, пусть даже в однородной области. Допустим, мы нашли для этой области решение уравнения Гельмгольца и легко выразили некоторую векторную компоненту поля как простую комбинацию скалярных решений, при этом ортогональность найденных решений векторного поля обычно очевидно следует из ортогональности скалярных решений. А вот откуда следует ортогональность роторов различных решений и ортогональность решений с несвоими роторами? Или не всегда следует?

Тут я несколько теряюсь - что означает "роторы ортогональны"? Понятна ортогональность векторов, ортогональность собственных функций. Про ротор пока не догоняю..

Ротор - оператор над векторной функцией. Результат применения ротора - тоже векторная функция.

Ну да, я глючу.. представил себе сам ротор как матричный оператор, как он может быть ортогонален rot H=j

Но, кажется, для мод абсолютно не обязаны быть ортогональными соответствующие векторы - как в той же струне, при колебаниях разных гармоник (мод) скорости точек струны могут быть параллельны. Точнее будет сказать так - в случае соответствующей симметрии в каждой гармонике будет две ортогональных моды (в них, кажется, действительно Е и Н ортогональны), а между гармониками - ортогональности нет..

Сообщение отредактировал AlexeyW - Dec 8 2010, 09:53

а геометрическое представление в трехмерном пространстве двух векторов роторов , проекция направлений которых на третью перпендикулярную плоскость относительно плоскостей циркуляции , с образованием прямого угла в точке пересечения проекций , чем не устраивает Вас?

Есть, но как ортогональность полей. Понятие ортогональности следует из скалярного произведения. Рассматривая различные скалярные произведения получаем различные орнтогональности. Одно дело - скалярное произведение векторов в точке, и немного другое - скалярное произведение полей в некоторой области пространства.



Нельзя ли подробнее?

в трёхмерном пространстве для ортогональности векторов достаточно чтобы угол между ними равнялся 90гр. кажется
доказать что проекция прямых содержащих роторы на третью плоскость , перпендикулярную плоскостям циркуляции, будут коллинеарны роторам и пересекаться под углом 90 градусов мне показалось несложным.
Прямые , содержащие роторы, пересекать третью плоскость не будут ( в общем случае , кроме слияния с самой третьей плоскостью, всегда можно выбрать плоскость без слияния, хотя это и не обязательно)
Плюс ко всему сумма углов в четырехугольнике равна 360.

В трехмерном пространстве могут быть взаимно ортогональны максимум три вектора. А ортогональных мод ЭМ поля в области пространства часто счетное количество. Очевидно, что речь идет не про простую поточечную ортогональность векторных полей.

Ну, именно так, конечно. Ортогональны как собственные функции - на то они и моды, а векторы E и H не обязательно ортогональны, да и роторы тоже..

Как ни странно, некоторые производные от этих собственных функций, которыми являются E и H мод, тоже образуют ортогональные базисы для E и H электромагнитных полей в этих областях. Возник второй вопрос: существуют ли геометрии, E и H мод которых не образуют ортогональные базисы, и если нет - то почему?

Т.е., если конкретнее - правильно ли я понял, неортогональные - такие, где интеграл E1E2dV по рассматриваемому объему (даже, скорее, вообще по всему объему) не равен нулю?

Да, как часть вопроса. По рассматриваемой области, где нашли некоторое разложение векторного потенциала по ортогональному полному базису. И для H аналогично.

Скорее, - сумма двух членов - один Ваш, а второй такой же, только с H.

Это было бы слишком просто. Нет, именно поотдельности получаются ортогональные базисы для E и H в интересных случаях.
Что можно доказать, воспользовавшись математическими свойствами полученных мод. Вот и интнресно, почему нет какой-нибудь общей теоремы? Задача, разумеется, гармоническая с комплексными полями, то есть зависимости от времени нет.

А можете более простую общую теорему доказать, что для любой поверхности существует единственная функция распределения заряда на этой поверхности, которая дает нулевое поле в полупространстве. А в другом полупространстве произвольно расположен точечный заряд.

Не уверен, но, в любом случае, ваш вопрос задан неоднозначно. А для замкнутой поверхности решение будет зависеть от суммарного заряда этой поверхности.

А начало решения может быть таким. В векторном анализе существует теорема, что при наличии достаточно гладких условий векторное поле внутри замкнутой поверхности можно однозначно восстановить по дивергенции, ротору и нормальной составляющей на границе. То есть, обнулив нормальную составляющую E на границе мы обнуляем поле во всей области.

Что дальше - нужно думать.