Естественно, если упоминаются полупространства, - поверхность замкнутая. Иногда не бесконечности...
А от заряда не зависит. Точнее - будет суперпозиция двух решений - одно при отсутствии внешнего заряда - заряд только на поверхности. И второе - с нулевым интегральным зарядом на поверхности и произвольно расположенным точечным зарядом..

От противного, надо полагать.. Пусть таких распределений два, каждое компенсирует поле заряда во втором полупространстве - значит, эти распределения создают одинаковое поле. По суперпозиции, вычтем одно распределение из другого. Останется ненулевое распределение, создающее нулевое поле - что невозможно.

И я об этом. Но не "единственно" значит.

Так что насчет доказательства?


Мне вот тоже кажется, что все-таки равенство нулю каждого по отдельности.. сумма двух членов будет нулевой автоматически. Иначе, как мне кажется (не утверждаю), моды не будут невзаимодействующими физически (т.е. будет перекачка энергии между модами) - в общем, это никакие не моды, не чистые собственные функции.

Если заряда у тела нет, то единственное. А если добавить заряд, добавится второе единственное решение для случая отсутствия внешних (внутренних) зарядов. В конечном итоге получается, что решение единственное.

Любое решение единственно при добавлении достаточного количества параметров.

Вот и не знаю я решения. А по поводу перекачки энергии... Как раз равенство нулю суммы эквивалентно сохранению энергии в модах.

Тут интересно не только сохранение энергии, но и то, что электрическое и магнитное поле мод образуют полный ортогональный базис для электрического и магнитного поля в системе, поэтому их энергия тоже суммируется без интерференции. По крайней мере, это доказывается в частных случаях цилиндрических волноводов, то есть волноводов, у которых сечение постоянно по длине.

Так почему же не видно общей теоремы? В применении к энергиям возник следующий частный вопрос. Ещё его обдумать не успел, выкладываю для обсуждения сырым. Возможно он тривиален и описан в учебниках. Пусть у нас есть ограниченная электромагнитная система без потерь, с идеальными проводящими стенками и вакуумом в качестве среды. Понятно, что если всё линейно - преобразование Фурье во временной области безусловно разделяет любые решения на гармонические, любой функционал вида средней энергии будет равен сумме энергий от различных гармоник. Так что можно рассматривать одну гармонику и комплексное представление ЭМ поля.

Пусть у системы есть N портов-волноводов, в каждом из которых бегает только одна мода. Любые энергетические функционалы должны быть квадратичными формами от векторов комплексных амплитуд входящих в волноводы волн. Соответственно, в базисе собственных векторов такие квадратичные формы диагональны и не содержат интерференционных членов.

Вопросы:

1. Верно ли, что базисы собственных векторов для полной средней энергии электрического и магнитного поля в системе совпадают? Если нет, какой можно привести контрпример?
2. Связаны ли они каким-то образом с собственными векторами S-матрицы системы?

Если каждый член суммы равен нулю, то и сумма... Вы предполагаете, что в общем случае будет (должно) выполняться более сильное утверждение - равенство нулю каждого члена?
А Вы уклоняетесь от прямой формулировки... Пусть в .... выполняются уравнения (Максвелла)...

Ага, пусть выполняются уравнения Максвелла и закон сохранения энергии. Так пойдёт?

Я предполагаю, что электрические или магнитные поля различных мод ортогональны. Про то, что в волноводе дело обстоит именно так, написано в куче учебников. Вот и возник вопрос, а когда это может быть не так?

Да не, я имел в виду - устроило ли Вас мое примитивное доказательство единственности распределения заряда.

Берем сферу с постоянной плотностью поверхностного заряда... Внутри поле равно нулю.

Так я говорил - не внутри, а везде
Но я понял означенный недочет - ок, подумаю еще

Продолжаем пить газировкуВаше возражение на мою попытку было примерно: по другую сторону поверхности, где нет заряда (того точечного, что в пространстве), поле равно нулю. А по эту не равно нулю, и может быть разным для тех самых двух приведенных мною распределений. Соответственно, при вычитании остается ненулевое распределение заряда по поверхности, создающее нулевое с одной стороны и ненулевое с другой поле.
Но если взять формулы Френеля, в данном случае очевидные: нормальная компонента поля испытывает скачок при пересечении заряженной плоскости. Тангенциальная - нет. Значит, вблизи плоскости с обеих сторон тангенциальная компонента нулевая. Но это возможно только при равномерном распределении заряда по поверхности.
Осталось доказать, что это распределение нулевое, это очень просто следует из того, что в целом плоскость не заряжена (суммарный заряд нулевой).

Я до конца не понял что вы имеете ввиду под ортогональностью мод. Я например только то, что если взять Интеграл по поперечному сечению волновода величины E_n H_m* , то он получится равен нулю. E электрический вектор одной моды, H* комплексно сопряженный магнитному вектору другой моды. Если n=m то это вектор пойнтинга(только его интеграл не равен нулю).

Общая теорема есть в книге Волноводная Оптоэлектроника под ред. Тамира. (стр. 42) Если хотите могу тут выложить.

Меня вот другое интересует. В волноводах и резонаторах в каждой точке магнитный вектор ортогонален электрическому и сдвинут по фазе на 90 Pi/2 . Всегда ли это так в линейной среде?

Сообщение отредактировал Morkonwen - Feb 24 2011, 16:34