То есть берем мы сечение. рассматриваем все векторы поля этого сечения - в каждой точке одновременно и наблюдаем, что когда один из векторов достигает максимума, то в этот момент и все остальные в сечении достигают максимума?

Для TE моды без вырождения и идеально проводящих стенок волновода постоянного сечения. Думаю что так.

Поискал примеры : в прямоугольном волноводе для электрического вектора это так, а вот магнитные сложнее. составляющая по z действительна в каждой точке, а вот ее компоненты по x и y сдвинуты на 90, поэтому вектор вращается и модуль вектора максимума достигает не во всех точках одновременно. Зато уж каждая состовляющая отдельно- да.

Ортогональность базисных функций следует из решения задачи методом Фурье
- обшее решение диф уравнения есть сумма его частных решений (сумма ряда Фурье)
- базисные функции ортогональны что физически означает изотропность среды распространения
Создайте анизотропный волновод и получите ненулевые перекрестные члены ряда что описывартся тензором
и энергия выродится из круга в эллипсоид энергии
Чтобы не страдать изобретением велосипеда почитаите Фейнмановские лекции по физике в переводе под ред Смородинского
Почитайте еще и этот документик http://alexandr4784.narod.ru/ir3/ir3_gl02_02.pdf
Там все доказано - ортогональность роторов следует из ортогональности векторов Е и Н
и третьего и четвертого уравнений Максвелла в отсутствии токов проводимости что справедливо для волнового распространения в среде
а в резонаторах имеет место быть стоячая волна отсюда и нулевой поток энергии
Pa=0.5*E*H*S*cos(90)=0

Ссылка левая. Но если в документе действительно "ортогональность роторов следует из ортогональности векторов Е и Н" - то и документ левый. Потому что сначала нужно доказать ортогональность различных E и H получаемых из, разумеется, различных ортогональных решений задачи Штурма-Лиувилля для векторного потенциала.

PS По какой-то причине ссылка теперь открылась. Ссылка левая. Вопрос не про плоские волны.

А что тут теряться? Обратитесь к мат определениям
ротор вектора есть вектор - работа вектора по замкнутому контуру при стремлении плошади контура к нуля
дивергенция вектора - скаляр - предел потока вектора через поверхность ограниченную заданным обьемом при стремлении обьема к нулю (мощность источника)
градиент скалярной функции - вектор - мера изменения скалярной функции с изменением координаты

Закончите, пожалуйста. Где именно у вас "ортогональность"? Кажется, вы тоже совершенно не понимаете обсуждаемую тему.

Так может и уравнения Максвелла левые?
С какого перепугу надо доказывать ортогональность векторного потенциала и чему?
Векторный потенциал лишь мат прием на основании того что:

div(=0 -> B=curl(A)

И кстати


Это вы о чем? Сформулируйте точнее - что чему ортогонально и что от чего различно?

Вот-вот. Я же говорю: вы совершенно не поняли вопрос этой темы и полезли советовать, делая вид, что всё знаете.




Разумеется, TE моды для обсуждаемого E.

Ну начнем с того что я нигде не утверждал что все знаю - просто попытался разобраться в вашем постулате про ортогональность вихря Е и вихря Н
Итак я жду с нетерпением Вашего доказательства ортогональности E /H для различных
задач Штурма-Лиувилля.
Хотелось бы с формулами и пояснениями

Об этом и был вопрос. Наверное, если в вашем кратком изложении ничего не перепутано.
Векторные потенциалы при этом ортогональны обычно по построению.

Итак попробуем сформулировать

Для плоской волны верно что ротор Н ортогонален ротору Е - правильно?

В случае когда есть зависимость амплитуды волны по координате х и у например для прямоугольного волновода
на собственной частоте колебаний условие ортогоналиности роторов Н и Е не выполняется?

Так?

ОбШий одесский вопрос - таки что мы с этого будем иметь, доказав или опровргнув данное утверждение?

Ортогональность векторных полей - это не обязательно их поточечная ортогональность. Речь идет про ортогональность в смысле скалярного произведения полей, необходимого для разложения по ортогональному модальному базису.

У прямоугольного волновода нет собственной частоты колебаний. На то он и волновод, а не резонатор. Тем не менее, в прямоугольном волноводе ортогональны. E с E, H с H и E с H различных мод. Проверьте подстановкой. Но доказывается это для цилиндрических волноводов через теорему взаимности и используя трансляционную симметрию волновода вдоль оси. Интересует общий случай.

С прямоугольным волноводом есть одна тонкость. Длина его конечна, и есть вырождение как минимум по направлению движения волны в нём. Поэтому ортогональны поля не бегущих в разные стороны волн, а стоячие волны, образованные суммой и разностью бегущих в разные стороны волн одинаковой амплитуды и некоторой правильной фазы.

Ну вернемся к первоосновам - любая функция удовлетворяющая условиям Дирихле может быть представлена равномерно сходящимся рядом Фурье через ортогональный базис
Далее у любого волновода хоть электромагнитного хоть акустического когда на диаметре или на одном из поперечных размеров уложится пол длины волны появятся т.н. кольцевые моды если сечение круглое и поперечные моды если сечение прямоугольное - случается это правда на высоких частотах
То о чем говорите Вы это так называемая теорема Бриллюэна утверждающаяя что до первой поперечной моды энергия в волноводе переносится плоскими волнами. И как мы уже видели в том документике для плоской волны вектор Н и В поляризованы со сдвигом 90 град - то есть ортогональны
пардоне муа - а что цилиндрический волновод не конечен и мне не совсем понятно что Вы лично подразумеваете под правильной фазой - это что-то пацанское?
Приведите ваше доказательство через теорему взаимности справеливой для линейных систем, не содержащих источников энергии

Кстати вот еще для Вас уважаемый Олдрин документик про теоремы к задаче Штурма-Лиувилля правда без доказательств и теорема Стеклова про сходимость и возможность сведения задачи к интергральному уравнению Фредгольма
http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_gen/27/tema7.pdf
Надеюсь на этот раз откроется

Вообще-то в волноводе с проводящими стенками TEM мод нет.
"Правильным" я называю некоторый фазовый сдвиг, который элементарно определяется из соображений симметрии, но в определение которого мне углубляться тут не хочется.

В общем, как и можно было предположить, вы совершенно не в теме модальных разложений электромагнитного поля в подобных структурах, зато чего-то пыжитесь с умным видом, вместо того, чтобы подумать или почитать учебники для начала. Спасибо, ваши ответы мне не интересны. Общую теорию я и сам знаю.

Тамир не помог?