Да-да-да. Только не учитель, а я. Господ тейлора и Маклорена перепутал с эйлером.

А вообще, очень прекрасно помогает самому разложить, например, прямоугольник на спектр. А потом построить графики первой, первой+третьей, первой +третьей+пятой гармоник и посмотреть результат.

А просто взять и сложить графически несколько синусоид с частотами кратными 1, 3, 5, 7 и (очень-очень грубо) с амплитудами 1, 1/2, 1/4, 1/8 на бумажке в клеточку никто не пробовал? А потом то же, но с кратными 1,2,4,6 ?
Иным помогает лучше всяких формул. Наглядно.

Хороший вопрос.


Советую по этому поводу прочитать главу номер 2.7 "Существуют ли реально спектральные составляющие?" (стр. 36) книги А.М.Финка "Сигналы Помехи Ошибки..." (выложено в аттаче).

Да и вообще, в этой книге очень много толковых и развернутых ответов на подобные вопросы.

Лично я до прочтения этой книги совершенно неправильно трактовал теорему Котельникова.

Реальный сигнал можно представить не только в виде суммы гармоник, но и в сумме чего угодно . Лишь бы в сумме все слагаемые давали то, что было в начале. А для всех линейных преобразований совершенно не важно, на какие части мы поделили сигнал, т.к. после линейного преобразования они дадут в сумме то же самое, что дал бы исходный сигнал, будучи преобразован целиком. Это следует из свойства линейного преобразования:
Func( sum(Fi) ) = sum( Func(Fi) )

А попросту, исходный сигнал можно "разрезать" на любые части, чтобы преобразовывать его по частям. Поэтому мы вправе разделить сигнал на такие части, которые нам легче преобразовывать. Ведь исходный сигнал может быть сколь угодно сложной формы, а поделив его на сумму синусоид, можно свести к суммированию простых задач, т.к. для преобразования синусоид результат тривиален.

В математике такое разделение называется разложением по базису. Такое разложение дает возможность выбирать любой ортогональный базис, какой нам больше нравится, поскольку большинство преобразований не зависят от того, в каких координатах (т.к. в каком базисе) их рассматривают.

Многие люди даже не задумываются о том, что преобразование Фурье тоже является ортогональным преобразованием. А раз так, то мы в полном праве рассматривать сигнал в частотной области, как полный эквивалент исходного сигнала. Кажется невероятным, но переход на "фурьёвый" базис даже не деформирует пространство! Хотя кое-какие измерения отражает зеркально.

А заключение будет такое. Конечно же натуральный сигнал не состоит из суммы гармоник, тем не менее мы вправе его на эти гармоники разложить, если в таком виде нам удобнее с ним работать! Ибо это разложение является по своей сути лишь заменой базиса, в котором представлен сигнал. А базис мы имеем право выбирать любой.

Хenia, чудненько! Все встало на место.

Я сказал "импульс" а не несколько синусоид
Но помоему фишка не в этом, а в том, что это просто математический прием. Это просто такое представление сигнала. Если комуто захочется, то он может увидеть (путем особого мат.преобразования) в сигнале не гармонические компоненты, а например прямоугольники с различными длительностями и амплитудами. Или чтото посложнее. Весь вопрос в том, что у нас за инструмент способный выделять эти "компоненты" в сигнале. Наш глаз не умеет этого делать, а вот электронные цепи как раз "заточены" на выделение гармонических сигналов. Для них наш сигнал как раз набор гармоник, которые либо проходят, либо задерживаются цепью.
Вот почему этот мат.прием так популярен у радиоинженеров.

А порисовать синусоидки конечно надо, сам с этого начинал. Только лучше в какомнить пакете, а не на бамажках -и приятней и наглядней получится.

Да вроде с рисования одиночного прямоугольного импульса из гармоник я это чудо и увидел когда-то...

Вы правы, скорее всего, это самый удобный математический аппарат и фильтры хорошо работают с гармоническими сигналами. И графически наглядно.
В принципе, можно представить и разложение на другие функции.

Вы, очевидно, бумагу экономили. Ведь не получается так одиночный импульс.

У одиночного импульса непрерывный спектр, т.е придется рисовать огромную уйму гармоник.
Скорее Вы видели последовательность импульсов, в этом случае действительно можно сделать простую апроксимацию сложением нескольких начальных гармоник, и уже получится чтото похожее на прямоугольник
Чем больше в сигнале периодичности, "похожести" на начальную функцию (синус), тем меньшим кол-вом гармоник его можно апроксимировать. И это логично. У одиночного импульса схожести с синусом ну...как сами знаете у кого

Ваши показания расходятся с показаниями других участников форму которые утверждают, что гармоники физически присутствуют в сигнале! И даже предлагают эксперимент, что типа берёшь с помощью нескольких генераторов загоняешь в линию рассчитанные гармонические сигналы и вуаля в линии получается исходный сигнал. Как с этим быть?



И поскольку я уже запутался давайте по порядку:
1) Если в линии существует определённый сигнал, который можно разложить на гармоники, то существуют ли эти гармоники в линии физически или это просто математическая абстракция? И если существуют, то в каком виде? То есть если существует например сигнал с частотой 200Гц мы взяли высчитали основные гармоники на частотах например 50, 100, 150, 250, 300, 350 Гц (к цифрам не цепляться, это пример), то существуют ли физически в линии предсказанные сигналы на этих частотах?
2) Разложение на гармоники можно применить к любым сигналам. Ну предположим взяли мы радиосигнал разложили на гармоники, как в этом случае гармоники будут физически представлены в радиосигнале?
3) Для полноты картины, можно провести следующий мысленный эксперимент. Предположим у нас есть труба небольшой длинны, которая с двух сторон закрыта пластичной мембраной, а внутри залита вода под некоторым давлением, пустот с воздухом в трубе нет. Мы бьем по мембране с одной стороны, колебание распространяется вдоль трубы и воздействует на мембрану с другой стороны. Если этот процесс автоматизировать, то можно наладить передачу информационных сигналов, причем опять же сигналы эти можно представить в виде графика из которого можно выделить гармоники. Как в такой системе эти гармоники будут представлены?

Вы путаете разложение на гармоники периодического (и бесконечного во времени сигнала) и общий переход от временного представления сигнала к частотному (смену базисных функций).

По второму вопросу - это будут не дискретные гармоники, а некоторый спектр. Вы некорректно применяете понятие "гармоники", которое не применимо к апериодическому сигналу.

Неблагодарное это занятие - перепрыгивать ступеньки в образовании. Получается уж точно не "по порядку". Тем не менее...

Предлагаю не раскладывать в ряд гармоник. И в этом вижу отсутствие проблемы . Я серьезно. Итак, "по порядку":
1) Есть сигнал. Вы его понимаете (я надеюсь), как изменение какого-нибудь параметра (напряжения, например) во времени. Такого понимания достаточно. И пока проблемы нет. И у вас тоже. Они появляются, потому что ...
2) Вы знаете, что есть "формулы Фурье". Это уже проблема. Потому что вы не знаете, о чем идет речь, узнать не обременяетесь. Тупик, сколько бы вы не узнали популярных сведений о свойствах этих "формул", включая...
3) Гармоники. Еще большая проблема, особенно учитывая, что гармоник может и нет вовсе... А может и есть

Ответы. В виде вопросов (а иначе неинтересно).
1. (Философский). Если мы что-то раскладываем на части, то могут ли эти части не существовать, если целое "что-то", частями которого эти части являются, существует настолько, что мы его даже хотим разложить на части? Можно ли океан разложить на капли или это будут лишь абстрактные капли?
2. (Практический) А нарисованный океан? К чему вы применяете "формулы Фурье"?
3. (Обывательский) А зачем его раскладывать на части? Чем он вас целый не устраивает?
4. (И дальше тоже на полном серьезе!) Но может быть вам хватит того, что уже сейчас существуют, существовали всегда (да-да, задолго до большого взрыва) и будут существовать вечно бесконечное количество "гармоник", слившихся между собой в одну непрерывную спектральную функцию без малейшего частотного зазора, только лишь для одного вашего информативного удара по мембране заполненной водой (без пустот) трубы? Вы даже еще не знаете, что вам предстоит (автоматизированно) бить по этой мембране, а они уже существуют... это же ужас какой-то!

Сообщение отредактировал Signal - Aug 29 2011, 12:09

Ну почемуже не применимо? Вот мы оцифровали наш апериодический сигнал, сделав N отсчетов, сделали БПФ (или ДПФ) и что мы имеем - постоянную состовляющую H(0), основную частоту H(1) и ее гармоники вплоть до половины частоты дискретизации. Или не так?


Хорошо, вот Вам другое сравнение, кривое, но суть отражает. Вы двоичную систему знаете? Тогда пример такой -число 10, его можно представить в двоичном представление (по степеням двойки) как 0*1+1*2+0*4+1*8, т.е образно говоря в числе 10 нулевая и вторая "гармоники" отсутствуют, а первая и третья присутствуют. Тогда Ваш вопрос звучит так: есть ли в числе 10 числа ("гармоники") 2 и 8? Или это абстракция?

Это просто другое представление числа.

Мы имеем просто спектр сигнала, что эквивалентно просто его осцилограмме, но представленной в другом базисе (см. пост Ксении). Гармоники - это частный случай спектра для периодического сигнала. Основной частоты у апериодического сигнала вообще нет, на то он и апериодический.

Поправка: у одиночного дельта-импульса