Форма пика зависит от окна. Вообще-то при квадратичной интерполяции пика оценка получается смещенной, причем величина смещения зависит и от формы спектрального окна и от количества добавленых нулей. С увеличением кол-ва добавленых нулей систематическое смещение уменьшается. Доказано, что при наличие гарантировано одного пика оптимальная форма окна - прямоугольная (тогда форма спектра действительно синк). При наличие нескольких удалённых пиков предлагают обычно окно гауса с логарифмированием, для которого парабола реализуется даже чисто теоретически, правда с значительными потерями в энергетике. В общем, не все окна одинаково полезны... При низком snr смещение не играет, случайная ошибка по Крамеру_Рао забивает полюбому смещение (тогда берут столько нулей сколько данных, фактор 2), при высоком Snr нужно подавить смещение - нулей берут в 4- 8 -16 раз больше...чем больше тем лучше... и пробуют разные окна

Здесь всё описано, исследовано экспериментально
Критерии дизайна 1....
Критерии дизайна 2
Критерии Дизайна 3

там ещё 2 других документов с деталями исследования: как зависит от окна, от кол-ва нулей, как выходит на критерий Рао, как влияет паразитная модуляция.... Там на все вопросы отвечено, что касается квадратичной интерполяции спектра



Шум сам по себе не есть ограничение для метода. Шум подавляется в любой степени увеличением числа отсчетов и метод выходит на критерий Крамера-Рао.
Не в любой, конечно... В значительной. Число отсчетов ограничено стабильностью основной частоты, т.е. тем насколько синусоида сама идеальна. Для сильных шумов метод QIFFT исключителен, в том смысле что ВСЕ параметрические методы (из того же Марпла) уже не работают

У метода квадратичной интерполяции FFT (QIFFT) есть значительные возможности адаптации под задачу.
Существуют методы интерполяции спектра для ленивых, не требующие добавления нулей, я когда-то размещал их на форуме - Qinn и MacLeod, реализация в Матлабе, файл tst3. Они дают соизмеримую точность (выходят на Крамера_Рао при малом SNR), но в них нет такой гибкости в отношение смещения. Там
http://electronix.ru/forum/index.php?showt...43698&st=15

В очередной раз встречаю какие-то непонятки о кол-ве отсчётов.
Нет, шум не подавляется увеличением числа отсчётов. Даже если синус супер-пупер стабильный. Т.к. кол-во отсчётов ограничено длительностью (ограниченностью) самого сигнала во времени. И из того, что есть, хотелось бы получить максимум шумоустойчивости. Для безшумного сигнала высокая точность не нужна. Наоборот, допустимо её ухудшить, применив не самые точные измерения (например оценку частоты), главное чтобы этот же алгоритм давал лучшие результаты при максимуме шумов, по крайней мере среднестатистическую вероятность правильных результатов. На выходе алгоритма будет от одного до 6 битовый результат. И нужно чтобы опознание было с бОльшей вероятностью правильное. Всего-то.

А вот с интерполяцией FFT хотелось бы найти где-нить теоретическое обоснование того, что в основных бинах FFT содержится так же информация о дробных частотах, по которым их можно интерполировать. Не какой-то набор статистики результатов. Я пока хочу использовать этот метод, но опасаюсь, что может оказаться, что интерполированные значения не всегда достоверны. И например скачут от начальной фазы этой дробной частоты. С другой стороны, синк-интерполяция означает, что эти промежуточные значения "размазаны" по всему спектру FFT. А не по 2-4 соседним точкам.

Upd.
Хотя... Увеличить кол-во отсчётов я могу. Длительность сигнала при этом будет прежней. А вот частоту оцифровки завысить без проблем. В конце спектра при этом будет "пустота". То есть там даже шума не будет, т.к. он круто отфильтрован в аналоге. Но такое увеличение отсчётов "наоборот" даст ли что-то полезное? Вообще, давно задумывался об этом. Но пока не разобрался.

Не могу увеличивать период оцифровки, т.к. полезный сигнал ограничен, а за ним идёт не просто шум, а уже другой сигнал, и, если увеличивать период (а-ля квазидополнение нулевым сигналом), то ИМХО результат будет хуже чем с настоящим дополнением нулями короткого блока сэмплов, т.к. в сэмплах будет уже реальная синусоидальная помеха.

Upd2.
Хорошая вещь, эта интерполяция спектра. При 8-кратном дополнении нулей БПФ по 32*8 точкам выдаёт ошибку в определении амплитуды одной единственной некратной синусоиды без шума максимум в 3% при любой стартовой фазе синусоиды и любой некратной частоте (хотя проверял от 5 до 13 гармоники).

Upd3.
Проверил с шумом. В сигнале (7.57 гармоника)
Re[i] := cos(p * i + pp) + (Random-0.5)*3.0;
при простом БПФ вероятность ошибочно найденного пика 15%, при 8 кратном дополнении нулями ошибка только 4%.
pp это случайная начальная фаза. Из простого БПФ с N=32, пик находится по простому максимуму, без доп. алгоритмов.

В сигнале
Re[i] := cos(p * i + pp) + (Random-0.5)*4.0;
ошибки 36% vs 23%

В сигнале
Re[i] := cos(p * i + pp) + (Random-0.5)*5.0;
ошибки 52% vs 46%

Ну хоть для чего-то этот алгоритм (дополнения нулями) сгодился
То есть при больших шумах, до какого-то порога даёт лучшие вероятности, да ещё и с одновременным определением некратной частоты.

Upd4.
Маленький минус всё-таки нашёлся. При не очень больших шумах. В сигнале (7.00 гармоника)
Re[i] := cos(p * i + pp) + (Random-0.5)*2.5;
БПФ работает немного лучше. В обоих случаях ошибок менее 1%. Но в БПФ их меньше в 2..3 раза.

Ещё гораздо больший минус. В сигнале (7.00 гармоника)
Re[i] := cos(p * i + pp) + (Random-0.5)*3.5;
ошибки 8% vs 15%. Но на 7.2 гармонике уже вероятности примерно равны около 14%.

И что меня совсем удивило, так это стабильная вероятность ошибки интерполированного пика при любых дробных/недробных частотах. А это свойство для того, где я хочу применить алгоритм просто ценнейшее, потому как нет разделения на удачные и неудачные частоты. Они все равноценны.

Сообщение отредактировал GetSmart - Oct 20 2011, 00:09

Для борьбы с шумами используется только один способ в обработке сигналов. Это накопление, более хитрое или менее хитрое - но это всегда накопление чего-то нужного нам против шума, который накопляется плохо. Я там хотел сказать, что если возможно используйте больше отсчетов за большее время. А если невозможно - увы, оценку улучшить невозможно, критерий Крамера-Рао даёт предельную оценку. Доказано, что это предельная точность оценки по максимуму правдоподобия

Понятно, что передискретизация сигнала ничего не даёт нового . Дискретизировать нужно в диапазоне поиска частоты по Найквисту.



Не может ничего такого оказаться ни с дробной частотой ни с фазой. Метод известен давно, проверен и обоснован теоретически в работе Райфа и Бурстина.
Другое дело, что он держится на априорной информации что синусоида (причем комплексная) одна или в крайнем случае их много, но они расположены далеко друг от друга.
1. Если мы положили, что она одна оптимально использовать прямоугольное окно, чтобы не терять энергетику и выйти на Критерий Крамера-Рао с максимально достижимой точностью. Однако если в сигнале присутствует другая синусоида, даже далеко расположеная - то оценка "скакнёт". Метод не адекватен к этой ситуации, поскольку у синка большие хвосты, и нужно использовать окна-
2. Синусоид несколько и они расположены далеко друг от друга. Нужно использовать окна, чтобы изолировать их хвосты.
Тогда возможно произвести оценку этих частот с небольшими потерями энергетики. Но может оказаться, что и эта модель не адекватна и синусоид не просто >=2, а они расположены рядом -

3. Тогда ничего уже не поможет и всё будет скакать Тогда предельно достижимая точность уже не определяется критерием Крамера-Рао для одной синусоиды, а определяется "естественным" разрешением 1/T, что обычно значительно хуже. Вернее, если уж быть точным, то критерий Крамера-Рао (максимального правдоподобия) для 2-х близко расположеных синусоид отличается от критерия для одной синусоиды и приближается к 1/T

Сейчас проверил. Расширил длину сигнала в 4 раза. По идее, при уровне шума в 2 раза большем вероятности ошибочных опознаний должны быть аналогичные. Но пока у меня выходит улучшение вероятности в 1.8. При 16 кратной длине улучшение в 3.3 раза. То бишь стабильно в 1.8 раз на учетверение длины. Почему-то не в 2.

Вообще, я почему спросил. В голове крутились два варианта усреднения. Вычислять короткие БПФ, оставлять от них только амплитуду, которая будет зашумлённая. Складывая амплитуду двух независимых БПФ получится классическое усреднение зашумлённого сигнала с зависимостью С/Ш корень из кол-ва слагаемых. Но длинный БПФ/ДПФ должен работать "круче" этого, т.к. имеет не только амплитуду, но и фазу.

Сообщение отредактировал GetSmart - Oct 20 2011, 17:03

Посмотрите на частотную зависимость погрешности. На многих методах на первом и последнем десятке частот Фурье погрешность выше, чем в середине диапазона. Может это влияет.

Уж не знаю, почему у вас так — это только вы сами можете разобраться. Мой-то факт на любом спектроанализаторе видно, его не оспоришь.


И в том, и в другом случае уменьшение спектральной плотности шума получается одинаковое — корень из увеличения длины. Но при использовании более длинного ДПФ у вас будет лучше спектральное разрешение.

Экспериментировал примерно на середине диапазона. Там зависимости от частоты вроде как нет.


Что полезного в разрешении, когда априорно известно, что синусоида одна? На мой взгляд, это значит, что при удвоении длины БПФ, бин с сигналом раздвоится и от него отделится другой бин с шумом. То есть за счёт этого произойдёт уменьшение шума в корень из 2. Но тогда комбинация этих двух предложений в цитате с союзом "но" как бы "притянута за уши"

Сообщение отредактировал GetSmart - Oct 21 2011, 12:34

CRLB можно вычислить по этой формуле:
RMS(df) / Fs = .551 / ((RMS(сигнал) / RMS(шум)) * sqrt(N * (N^2 - 1))).
А Ваши результаты близко?

А не подскажете RMS(сигнал) / RMS(шум) из представленной мной ранее формулы, в которой рандом умножен на 6 ?
Кроме того, я полагаю, N (число выборок) я должен брать до 8-кратного увеличения нулями?
Ну и RMS(df) прямо я не могу оценить. У меня ошибкой считается отклонение пика ДПФ более чем на на 3/8 гармоники. То бишь на 1/2 гармоники.
Хотя, могу в проге сделать правильный подсчёт этого значения.

Сообщение отредактировал GetSmart - Oct 21 2011, 13:57

Это корень из основополагающей формулы. RMS - это понятно, N - число использованных результатов АЦП, нули - это метод и здесь не причем.
По моему опыту в начале и конце спектра все намного хуже.
Сама формула для нормального распределения шума, у Вас оно равномерное, для точности я бы просто посчитал RMS.
Формула взята из:(http://www.google.ru/url?sa=t&source=web&cd=2&sqi=2&ved=0CCQQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.ws.binghamton.edu%2Ffowler%2Ffowler%2520personal%2520page%2FEE522_files%2FEECE%2520522%2520Notes_08%2520Ch_3%2520CRLB%2520Examples%2520in%2520Book.pdf&rct=j&q=CRLB%20frequency%20estimation&ei=lP6KTpenFtC1hAfRy4TcAw&usg=AFQjCNGznlK-qkbdyIdnHjDpC8hcoPmi0Q&cad=rjt).

Сообщение отредактировал SPACUM - Oct 21 2011, 15:55

Союз "но" означает, что отношение с/ш в бинах будет лучше при большом размере ДПФ, т.к. увеличение одинаковое, а стартовые условия разные.

По поводу дополнения нулями БПФ. Т.к. в большом кол-ве сэмплов будут нули, хотелось бы спросить - никто не встречал более оптимизированные алгоритмы? Конкретно про БПФ, но всвязи с нулями как-то модифицированно-оптимизированный БПФ.

Сообщение отредактировал GetSmart - Oct 22 2011, 15:50

Усечённые алгоритмы БПФ? Есть такие.
Только эффективность оных очень медленно возрастает при увеличении кол-ва нулей.
При кол-ве нулей равном кол-ву выборок эффект вряд ли достигнет 25%. Конечно,
если кол-во нулей в 16 раз больше кол-ва выборок то имеет смысл использовать усечённые алгоритмы.
В принципе принцип этих алгоритмов простой - рисуется граф БПФ и отсекаются заведомо нулевые ветки.
Как алгоритмы, пригодные для программирования описывались , например, в книгах Ярославского по обработке изображений

Если алгоритм FFT хорошо оптимизирован, то даже выгоды в 25% не будет. Какая-либо выгода начнётся только тогда, когда число нулей перевалит за 90%.

Ломаю голову для каких задач и при каких условиях есть необходимость в подобных методах интерполяции, которые позволяют по одному бину БПФ получить инфу сразу по нескольким? Имеется в виду без статистических методов, которым, по сути, является метод дополнение нулями.

Сообщение отредактировал almost - Oct 27 2011, 11:38