Интеграл, Решение интеграла..помогите.. Опции

[Саша Z]

Буду благодарен за помощь в решении интеграла (в присоединенном файле).
Решение по идее должно содержать интеграл от Vin(t) (как описано в файле) (т.е. функция Vin(t) неизвеста, но достаточно присутствие ее интеграла в решении первичного интеграла).

Прикрепленные файлы

 Integral.doc ( 26.58 килобайт ) Кол-во скачиваний: 142

 

[KuzmaPrytkov]

А где файл?

[Саша Z]

Сорри, файл не присоединился....

Сейчас присоединил.

Спасибо.

[Николай Z]

Сорри, файл не присоединился....

Сейчас присоединил.

Спасибо.

А собственно что требуется?
Численным методом проинтегрировать написанный Вами интеграл в заданных пределах при произвольной функции V(t)? Или вам нужно общее рещение для какого-то узкого вида функций V(t)?

[Саша Z]

А собственно что требуется?
Численным методом проинтегрировать написанный Вами интеграл в заданных пределах при произвольной функции V(t)? Или вам нужно общее рещение для какого-то узкого вида функций V(t)?

Да, нужно общее решение (вид) в виде интеграла V(t), а так-же путь решения..
Численным ? У него нет аналитического решения ?

[Николай Z]

Да, нужно общее решение (вид) в виде интеграла V(t), а так-же путь решения..
Численным ? У него нет аналитического решения ?

И для численного и для аналитического решения нужно знать класс функции V(t) иначе дальше приведенной Вами записи никак не пройдешь.

Численное решение - черевато объемными вычисленими и требует, чтобы V(t) не имела особых точек...
Ну к примеру численно с приемлемой точностью вы не получите результат Интеграл(tg(t)), т.к. тангенс ула имеет разрыв при t=90 градусов... Имеется ввиду что вы будете его интегрировать как раз вблизи t=90 градусов...

С другой стороны - аналитически интеграл от тангенса имеет точное формульное решение...

В общем надо точно представлять класс функций, которые вы собираетесь интегрировать - либо численно, либо аналитически. В общем случае поставленная Вами задача не решается...

Есть такие классические способы более-менее быстрого численного интегрирования как:

• метод Рунге-Кутта
• метод Эйлера

Попробуйте начать с них, но все-таки уточните лучше сперва к какому классу функций относсится ваша V(t) - иначе врядли вы получите осмысленный результат. Вы же никак не определили пока что класс функции V(t) - потому как можно сказать имеет она аналитическое решение или не имеет?

Сообщение отредактировал Николай Z - Dec 9 2007, 10:36

[Oldring]

Да, нужно общее решение (вид) в виде интеграла V(t), а так-же путь решения..
Численным ? У него нет аналитического решения ?

Интегрируйте по частям. Это неопределенные интегралы.

[Саша Z]

Спасибо.
По частям пробовал уже - не получил точного решения. Крутишься вокруг да около, но не приходишь в решению.
Я принципе мне достаточно решения где будет интеграл V(t), т.е. скажем для общей функции V(t). Тогда, зная конкретно-заданую V(t) получаем конечное решение.

Вообщем на данный момент, V(t) представляет собой сигнал прямоыгольных pulse train с определеной частотой и duty cycle.

[Oldring]

По частям пробовал уже - не получил точного решения. Крутишься вокруг да около, но не приходишь в решению.

Вы как-то не так сформулировали задачу.
Если речь идет про неопределенные интегралы, как у Вас написано - то по частям тривиально. Правда, там будет справа требуемый неопределенный интеграл в частности под другим неопределенным интегралом.

Если все-таки речь идет о выражении решения как функции от определенного интеграла от Vin с бесконечными пределами - то, очевидно, такое решение не существует. Рассмотрите Vin - дельта-функцию в какой-то координате времени. Тогда от изменения её положения интеграл от Vin не изменяется и любая функция от него будет оставаться постоянной. Но значение исходного интеграла, очевидно, при этом изменяется - если только a не равно 0.

[Саша Z]

Вы как-то не так сформулировали задачу.
Если речь идет про неопределенные интегралы, как у Вас написано - то по частям тривиально. Правда, там будет справа требуемый неопределенный интеграл в частности под другим неопределенным интегралом.

Если все-таки речь идет о выражении решения как функции от определенного интеграла от Vin с бесконечными пределами - то, очевидно, такое решение не существует. Рассмотрите Vin - дельта-функцию в какой-то координате времени. Тогда от изменения её положения интеграл от Vin не изменяется и любая функция от него будет оставаться постоянной. Но значение исходного интеграла, очевидно, при этом изменяется - если только a не равно 0.

Наснем с начала:
речь идет о простой цепочке RC (LPF) при том что Vin(t) подается на один конец резистора, Vo(t) сниаместя с конденсатора. Решая дифф. уравнение (уравнение первой степени) сей цепочки, под конец получил такой интеграл к решению.
Vin(t) в данном случае есть train прямоугольных пульсов с данной частотой и duty cycle.
Вы имеет ввиду наверно что решение может быть для конкретрного случая только, т.е. под конкретный Vin(t) и в заданных пределах, так ? Но не ввиде закрытого бесконечного интеграла Vin(t) ?

[Николай Z]

Вы как-то не так сформулировали задачу.
Если речь идет про неопределенные интегралы, как у Вас написано - то по частям тривиально. Правда, там будет справа требуемый неопределенный интеграл в частности под другим неопределенным интегралом.

Если все-таки речь идет о выражении решения как функции от определенного интеграла от Vin с бесконечными пределами - то, очевидно, такое решение не существует. Рассмотрите Vin - дельта-функцию в какой-то координате времени. Тогда от изменения её положения интеграл от Vin не изменяется и любая функция от него будет оставаться постоянной. Но значение исходного интеграла, очевидно, при этом изменяется - если только a не равно 0.

У него в одном месте определенный интеграл, а в другом - нет...
Неопределенный интеграл - это не для численных методов...
Я его понял так - что интегралы у него с заданными пределами - т.е. определенные...
По частям - это классика, которая работает далеко не всегда...

Чаще всего некоторого успеха можно достичь, если функцию разложить в бесконечный ряд в котором удастся отбросить "хвост" - в тоом случае, если он по порядку малости не превышает требуемой точности...

В любом случае - все равно надо определить более-менее точно класс подинтегральной функции для начала...

Сообщение отредактировал Николай Z - Dec 9 2007, 11:58

[Oldring]

Наснем с начала:
речь идет о простой цепочке RC (LPF) при том что Vin(t) подается на один конец резистора, Vo(t) сниаместя с конденсатора. Решая дифф. уравнение (уравнение первой степени) сей цепочки, под конец получил такой интеграл к решению.
Vin(t) в данном случае есть train прямоугольных пульсов с данной частотой и duty cycle.
Вы имеет ввиду наверно что решение может быть для конкретрного случая только, т.е. под конкретный Vin(t) и в заданных пределах, так ? Но не ввиде закрытого бесконечного интеграла Vin(t) ?

Ну так задача ведь классичаская, обсосанная во всех учебниках по теории цепей. Что может быть проще RC-цепи? Решение хорошо известно - это свертка входного сигнала с импульсной характеристикой линейной цепи. Эту свертку можно нередко вычислить через преобразование Лапласа. Но просто функцией от интеграла напряжения она в общем случае не является. Для конуретных входных сигналов её часто можно вычислить аналитически.

Что касается прямоугольных импульсов... решение тривиально. Если на входе RC-цепи - постоянное напряжение, то на выходе будет экспонента с постоянной времени, равной RC, стремящаяся к входному напряжению, и с некоторым начальным напряжением V0. Это решение находится тривиально решением дифура.

Vout = Vin - (Vin - V0) * exp( - t / RC )

На положительном и отрицательном фронтах выходное напряжение остается постоянным - оно не может имзмениться мгновенно. Vout в конце интервала постоянного напряжения равно V0 в начале следующего. Через полный период (два фронта) напряжение конденсатора должно прийти к первоначальному, если режим установившийся. То есть это "почти меандр" - с сильно заваленными фронтами. Из этого можно тривиально записать два неоднородных линейных уравнения с двумя неизвестными. И найти точное решение без всякого интегрирования.

[Николай Z]

Ну так задача ведь классичаская, обсосанная во всех учебниках по теории цепей. Что может быть проще RC-цепи? Решение хорошо известно - это свертка входного сигнала с импульсной характеристикой линейной цепи. Эту свертку можно нередко вычислить через преобразование Лапласа. Но просто функцией от интеграла напряжения она в общем случае не является. Для конуретных входных сигналов её часто можно вычислить аналитически.

Что касается прямоугольных импульсов... решение тривиально. Если на входе RC-цепи - постоянное напряжение, то на выходе будет экспонента с постоянной времени, равной RC, стремящаяся к входному напряжению, и с некоторым начальным напряжением V0. Это решение находится тривиально решением дифура.

Vout = Vin - (Vin - V0) * exp( - t / RC )

На положительном и отрицательном фронтах выходное напряжение остается постоянным - оно не может имзмениться мгновенно. Vout в конце интервала постоянного напряжения равно V0 в начале следующего. Через полный период (два фронта) напряжение конденсатора должно прийти к первоначальному, если режим установившийся. То есть это "почти меандр" - с сильно заваленными фронтами. Из этого можно тривиально записать два неоднородных линейных уравнения с двумя неизвестными. И найти точное решение без всякого интегрирования.

Вы правы... Я же говорил что надо класс функции для начала определить...
В таком случае вообще получается практически точное аналитическое решение и численные методы совершенно никчему.

Хотя и численными методами тоже в этом случае получается решение с любой заранее заданной точностью, если известны заранее все параметры эквивалентной схемы причем для любой заранее известной V(t)...

Если решать аналитически - то лучше все-таки определить разложение V(t) в ряд и отбросить малозначимый хвост - для реализуемых в электронике функций - обычно это достаточное приближение... и они практически все - легко апроксимируются рядами с любой наперед заданной точностью..

Сообщение отредактировал Николай Z - Dec 9 2007, 13:08

[Саша Z]

Хмм, прикол.
Подставляя входной сигнал как pulse train который описал выше - изначально так и получил exp затухание либо рост, с учетеом начальных состяний как последние предыдущие значения выхода.
Решил это и дифуром и лапласом, оно действительно просто.

Но попытался решить для общего Vin(t) и тут застрял....
Я numerical methods я теорию не изучал в универе к сожалению (это у нас не является обязательным на B.Sc.EE). Разложение на ряд с последующим приближением и отбросом хвоста - это мне понятно с учебы (такой тип решения проскальзывал там-сям в лекциях)..

Что еще, есть мнение что вроде такая цепочка RC представляет из себя элементарный интегратор, вот и попытался получить решение в виде интеграла входного напряжения на выходе в общем виде.
Обычный интегратор (активный - на операционнике) дает интеграл легко и понятно, а тут....

[Николай Z]

Хмм, прикол.
Подставляя входной сигнал как pulse train который описал выше - изначально так и получил exp затухание либо рост, с учетеом начальных состяний как последние предыдущие значения выхода.
Решил это и дифуром и лапласом, оно действительно просто.

Но попытался решить для общего Vin(t) и тут застрял....
Я numerical methods я теорию не изучал в универе к сожалению (это у нас не является обязательным на B.Sc.EE). Разложение на ряд с последующим приближением и отбросом хвоста - это мне понятно с учебы (такой тип решения проскальзывал там-сям в лекциях)..

Что еще, есть мнение что вроде такая цепочка RC представляет из себя элементарный интегратор, вот и попытался получить решение в виде интеграла входного напряжения на выходе в общем виде.
Обычный интегратор (активный - на операционнике) дает интеграл легко и понятно, а тут....

Ладно - я попробую найти изложение численного метода интегрирования для подобных цепей...
Если нарисуете всю RC-цепочку - там может даже вообще точноую программу найду...

Главное - схему изобразите... Чтоб было понятно - куда и какое входное воздействие - и откуда будем снимать выходное... Если это действительно схема из резисторов и конденсаторов - то задача решается с любой степерью точности как аналитически, Так и численно...

Сообщение отредактировал Николай Z - Dec 9 2007, 14:30

[Oldring]

Что еще, есть мнение что вроде такая цепочка RC представляет из себя элементарный интегратор, вот и попытался получить решение в виде интеграла входного напряжения на выходе в общем виде.
Обычный интегратор (активный - на операционнике) дает интеграл легко и понятно, а тут....

Нет, представление о том, что RC-цепь = интегратору, неверно. При некоторых условиях RC-цепь может использоваться в качестве интегратора. Грубо говоря, условие - чтобы существенные частоты в фурье-разложении сигнала были гораздо больше частоты среза.

PS У идеального интегратора один единственный полюс расположен в начале координат. У RC-цепи один единственный полюс расположен слева от начала координат на действительной оси со смещением 1/RC. До тех пор, пока этим отличием можно пренебречь - RC-цепь можно использовать как почти интегратор

Ладно - я попробую найти изложение численного метода интегрирования для подобных цепей...
Если нарисуете всю RC-цепочку - там может даже вообще точноую программу найду...

Зачем что-то искать для численного интегрирования электронных схем? Берете SPICE...

PS Разве на B.Sc.EE нет SPICE? Быть такого не может.

[Саша Z]

Нет, представление о том, что RC-цепь = интегратору, неверно. При некоторых условиях RC-цепь может использоваться в качестве интегратора. Грубо говоря, условие - чтобы существенные частоты в фурье-разложении сигнала были гораздо больше частоты среза.

PS У идеального интегратора один единственный полюс расположен в начале координат. У RC-цепи один единственный полюс расположен слева от начала координат на действительной оси со смещением 1/RC. До тех пор, пока этим отличием можно пренебречь - RC-цепь можно использовать как почти интегратор
Зачем что-то искать для численного интегрирования электронных схем? Берете SPICE...

PS Разве на B.Sc.EE нет SPICE? Быть такого не может.

Спасибо, это уже что-то...есть намек..
Да, посмотрел еще раз на лаплас интегратора, действительно полюс в начале координат. Означает ли это что он на границе устойчивости ?
У RC - точно, полюс в left half plane, real pole смещен (влево) на 1/(тау), т.е. всегда устойчив.

Spice ? но это мы уже о симуляторе...к учебе на B.Sc.EE особого отношения не имеет, обычно его учат сами по ходу дела...
Я работал когда-то с PSpice, но сейчас его под рукой нет...(вчера только отгрузил Оркад..)
Но я предпочитаю вначале разложить по полкам все в теории для понимания и затем симуляцией посмотреть был ли я прав или нет.

[Oldring]

Да, посмотрел еще раз на лаплас интегратора, действительно полюс в начале координат. Означает ли это что он на границе устойчивости ?

Да, он находится на границе устойчивости.

Spice ? но это мы уже о симуляторе...к учебе на B.Sc.EE особого отношения не имеет, обычно его учат сами по ходу дела...

Вы ведь только что вели речь про численное интегрирование? Это именно SPICE в области электроники.

[Tanya]

То, что Вы собираетесь изобрести, уже было изобретено неким Дюамелем.

[Саша Z]

То, что Вы собираетесь изобрести, уже было изобретено неким Дюамелем.

Хмм, это ко мне ?
Не припомню что-б я упоминал в ветке о попытке изобретения...
Просто обычная рабочая задачка. Обсуждаем насущное...

[Tanya]

Хмм, это ко мне ?
Не припомню что-б я упоминал в ветке о попытке изобретения...
Просто обычная рабочая задачка. Обсуждаем насущное...

Да... К Вам тоже...
Разве не Вы писали -
Буду благодарен за помощь в решении интеграла (в присоединенном файле).
Решение по идее должно содержать интеграл от Vin(t) (как описано в файле) (т.е. функция Vin(t) неизвеста, но достаточно присутствие ее интеграла в решении первичного интеграла).

[Саша Z]

Да... К Вам тоже...
Разве не Вы писали -
Буду благодарен за помощь в решении интеграла (в присоединенном файле).
Решение по идее должно содержать интеграл от Vin(t) (как описано в файле) (т.е. функция Vin(t) неизвеста, но достаточно присутствие ее интеграла в решении первичного интеграла).

Таня, если честно, я не совсем понимаю ваши ответы в данную ветку (а также в мою другу ветку). Увы, не могу их привязать к обсждаемым темам, сорри. Не пойму, при чем тут изобретения, при чем тема потенциометров (или как вы видимо хотели сказать DAC на потециометрах) к мною начатой ветке по LC цепочке....я не улавливаю вашу contribution в обсуждения по темам.
Сорри, ничего личного...

Да, он находится на границе устойчивости.
Вы ведь только что вели речь про численное интегрирование? Это именно SPICE в области электроники.

Ну Spice но наверно использует numerical алгоритмы, это да. Но мы то говорили то что дают в универе в вид курса. На computer sciences факультете у них действительно numerical methods есть обязательный курс на одном из последних семестров, на EE это не обязательный курс (можно брать как выбор вместо какого-ннить другого выборного). Курс очень тяжелый, посему не самый популярный на выбор...
Но на практике кажется весьма полезным....

Хмм, может взять его на след. год в близжайшем универе в качетсве самоообразования..

[Николай Z]

Зачем что-то искать для численного интегрирования электронных схем? Берете SPICE...

PS Разве на B.Sc.EE нет SPICE? Быть такого не может.

Затем, Что я не знаю что такое Spice... Я знаю что такое numerical methods - или численные методы (по русски) - но мне неизвестен никакой SPICE... Уж простите - я в СССР учился... Правда курс математики - в том числе и числекнные методы - в объеме физфака МГУ я сдавал и более того - с численных методов вообще началась моя реальная карьера инженера-программиста... Но и там не было никакого SPICE и нету до сих пор по-моему... Ну вот такие мы темные...

А программа для численного интегрирования или пара формул для конкретной схемы - для меня особых трудов не представляют... 2-3 часа и дело в шляпе... Дело в том, что это класскика...

Так сказать лучший путь - это путь известный... Вот названный мной - мне известен...
В данном случае - нужна только эквивалентная схема для рассчета...

Сообщение отредактировал Николай Z - Dec 9 2007, 22:41

[Oldring]

Затем, Что я не знаю что такое Spice...

Ну, программисту это, конечно, простительно. Сейчас для аналоговых электронщиков это - классика. Не важно, в какой стране они учились - писюк тоже не в совке был придуман

http://en.wikipedia.org/wiki/SPICE

Из коммерческих пакетов наиболее распространены PSpice и HSpice.

[alexander55]

Из коммерческих пакетов наиболее распространены PSpice и HSpice.

Для моделирования аналоговых цепей очень хорош MicroCap.

[Саша Z]

Да ладно вам, вопрос не имел отношения к Spice или другим програмным симуляторам. Вопрос был насчет "ручного" решения, не более того....
Просьба оставаться в топике..

[-=ВН=-]

Буду благодарен за помощь в решении интеграла (в присоединенном файле).
Решение по идее должно содержать интеграл от Vin(t) (как описано в файле) (т.е. функция Vin(t) неизвеста, но достаточно присутствие ее интеграла в решении первичного интеграла).

Интегрирование по частям, если Вам действительно так страшно хочется получить решение в виде функции от интеграла от Vin(t):
Integral(u(t)*v'(t)dt)=u(t)*v(t)-Integral(u'(t)*v(t)*dt); u(t)=exp(at), v'(t)=Vin(t)-> v(t)=Intewgral(Vin(t)*dt).


Сообщение отредактировал -=ВН=- - Dec 10 2007, 12:38

[NickNich]

Вопрос был насчет "ручного" решения, не более того....
Просьба оставаться в топике..

Так ведь Tanya Вам ответила. Неужели у Вы никогда не слышали про "интеграл Дюамеля"?

[Oldring]

Интегрирование по частям, если Вам действительно так страшно хочется получить решение в виде функции от интеграла от Vin(t):
Integral(u(t)*v'(t)dt)=u(t)*v(t)-Integral(u'(t)*v(t)*dt); u(t)=exp(at), v'(t)=Vin(t)-> v(t)=Intewgral(Vin(t)*dt).

Такую лажу уже обсуждали. Неопределенный интеграл не есть функция.

[-=ВН=-]

Такую лажу уже обсуждали.

Может и обсуждали, я все не читал. Но человек хотел получить зависимость от интеграла, он ее и получил

Неопределенный интеграл не есть функция.

Прям глаза открыли! Множество всех первообразных функций должно залечить Ваши душевные раны
P.S. Чиста на всякий случай: множество всех первообразных функций подинтегральной ф-ии, т.е. той которая под неопр. интегралом, который вовсе не функция, а множество всех первообразных функций подинтегральной функции, т.е. той, которая....

Сообщение отредактировал -=ВН=- - Dec 10 2007, 13:45

[Саша Z]

Ну вы даете... , не знаю такого Дюамеля, не горю желанием узнать, как и делать открытий/изобретений (согласно Таниной версии). Интеграцию по частям знаю, как и решать простую RC цепочку при заданном конкретном входном сигнале, нет проблем, речь шла не о том.
В принципе мне достаточно помогли в данной ветке уже, спасибо Николаю Z, Oldringу, и другим чьи ответы было по существу.

Считаю тему закрытой (фо избежание немнинуемого флейма зачатки которого уже намечаются тут...)