Представление не монотонной не периодической финитной функции, подобно ряду Фурье Опции

[EUrry]

Известно, что периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье. Даже некоторые не периодические представляют, исскуственно создав им период, который устремляется к бесконечности. А не придумали ли математики подобное разложение для произвольной не периодической не монотонной финитной функции? Например, представление экспериментальной кривой на рисунке. Хоть какое-то приближение. Если существует что-то подобное, то где можно посмотреть? Понимаю, что замахнулся не на того, но что поделать!

Эскизы прикрепленных изображений

 

[blackfin]

Существует вейвлет-анализ сигналов.

[EUrry]

Существует вейвлет-анализ сигналов.

Про "маленькие волны" краем уха слышал в РЦС у Баскакова, но там практически просто сказано, что есть такой анализ и всё. Т. е. вейвлет-теория может дать какие-то прояснения в моем вопросе? Надо будет посмотреть поподробнее.

[blackfin]

Очень рекомендую: С.Малла, "Вэйвлеты в обработке сигналов". "Мир", 2005.

[EUrry]

Очень рекомендую: С.Малла, "Вэйвлеты в обработке сигналов". "Мир", 2005.

Спасибо, книгу скачал, полистаю!

[DRUID3]

2EUrry
Так любую функцию можно разложить в ряд Фурье. Вашу - тоже. Из-за того, что мы "в уме" предполагаем - разложение(по сути поиск корреляции) конечной функции происходит на бесконечные циклические - возникает неприятность в виде окна которая, в свою очередь, порождает АЧХ отдельного частотного отсчета - отсюда конечтая точность такого разложения. Но для технических целей - ее обчно с головой...

Но вобщем, да, вейвлеты - шаг вперед по направлению избавления от влияния окна. Но тоже не всегда, вейвлеты это целое семейство отображений, иногда довольно непохожих по свойствам(разный порядок "быстрых" форм, разные требования к ортогональности базиса(!) etc...). Есть еще и чирплеты и еще много всякой фигни выдумали... кстати, ноги у вейвлет-преобразования растут из попыток обойти парадоксы в корпусулярно-волновом дуализме теории волн Де-Бройля. Там все очень мутно и до сих пор.

Відомо, що незважаючи на чисельні експериментальні підтвердження підхід де Бройля, як аксіоматичної теорії зазнав історичної поразки... Справа в тому, що опис матеріальних часток у вигляді груп хвиль де Бройля має таку- собі неприємну властивість розпливання з часом (нагадує до деякої міри розмивання прямокутного імпульса в довгих лініях електротехніки та електроніки), позбутися якого нікому не вдалося до сих пір. Звичайно геній де Бройля може й вирішив би цю проблему, проте в свій час він приєднався до т.з. Копенгагенської конвенції і повернувся до себе лише на початку 50-х років. Проте поїзд пішов..., і проблема лишилася нерозв'язною. І всеж таки потенції лишилися, і є надія на відродження...

Сам "осциллятор" за хвост не ухвачен, причины циклического движения(что кружиЦЦо то?) и континуальной природы "амплитуды вероятности нахождения в точке(!)" так и не поняты. Некоторые с демонической ухмылкой на этом сильно спекулируют(особенно философы) по поводу утраты детерминизма в микромире и кризиса механистического подхода. Вейвлеты - были попыткой обойти саму математическую "порочность" такого подхода... Потому изучая их - трепещите, Вы прикасаетесь к великому...

[EUrry]

Так любую функцию можно разложить в ряд Фурье. Вашу - тоже. Из-за того, что мы "в уме" предполагаем - разложение(по сути поиск корреляции) конечной функции происходит на бесконечные циклические - возникает неприятность в виде окна которая, в свою очередь, порождает АЧХ отдельного частотного отсчета - отсюда конечтая точность такого разложения. Но для технических целей - ее обчно с головой...

Глянул мельком предложенную книгу, действительно труд солидный. Даже не знаю за чего браться сначала. С вэйвлетами сейчас не очень удобно, т. к. их надо либо самому программно генерировать, либо использовать специальные программные продукты с готовыми вэйвлетами. Ряд Фурье в этой связи более привлекателен. Начать можно и с него.
А вообще несколько уточню задачу. На самом деле аппроксимируемая функция мне неизвестна вообще. У меня есть результат эксперимента, куда входит эта функция, связанная некими известными математическими зависимостями с другими неизвестными функциями. Все неизвестные функции мне нужно аппроксимировать какими-либо разложениями. Имея модели функций в виде разложением с коэффициентами и экспериментальный результат необходимо решить оптимизационную задачу с целью нахождения коэффициентов разложения.

[scifi]

А вообще несколько уточню задачу. На самом деле аппроксимируемая функция мне неизвестна вообще. У меня есть результат эксперимента, куда входит эта функция, связанная некими известными математическими зависимостями с другими неизвестными функциями. Все неизвестные функции мне нужно аппроксимировать какими-либо разложениями. Имея модели функций в виде разложением с коэффициентами и экспериментальный результат необходимо решить оптимизационную задачу с целью нахождения коэффициентов разложения.

Ух, сколько тумана напустили! Много функций, ни одна из них неизвестна, и все надо аппроксимировать какими-нибудь разложениями.
Излагайте подробнее, так совсем непонятно.

[EUrry]

Ух, сколько тумана напустили! Много функций, ни одна из них неизвестна, и все надо аппроксимировать какими-нибудь разложениями.
Излагайте подробнее, так совсем непонятно.

Да вот думаю, как это описать!!!
Давайте попробуем так:
Имеются экспериментальные данные MEAS. Также имеется модель этих данных MODEL. Модель представляется известной зависимостью F неизвестных функций f1, f2, ...,fn (MODEL=F(f1, f2, ...,fn)). Если функции f1, f2, ...,fn представлены какими-либо конечными рядами, то задача их аппроксимации сводится к минимизации целевой функции OPT=MEAS - MODEL в пространстве коэффициентов разложения функций f1, f2, ...,fn.
Таким образом, основная головная боль - какими моделями описать неизвестные априори функции, чтобы оптимизация имела сходимость?

Сообщение отредактировал EUrry - Apr 16 2009, 18:18

[scifi]

Имеются экспериментальные данные MEAS. Также имеется модель этих данных MODEL. Модель представляется известной зависимостью F неизвестных функций f1, f2, ...,fn (MODEL=F(f1, f2, ...,fn)). Если функции f1, f2, ...,fn представлены какими-либо конечными рядами, то задача их аппроксимации сводится к минимизации целевой функции OPT=MEAS - MODEL=F(f1, f2, ...,fn) в пространстве коэффициентов разложения функций f1, f2, ...,fn.
Таким образом, основная головная боль - какими моделями описать неизвестные априори функции, чтобы оптимизация имела сходимость?

Другими словами, нужно упростить модель, чтобы она свелась к конечному набору числовых параметров. Тогда оптимизация сведётся к подбору этих параметров с целью минимизации метрики |MEAS-MODEL|.
Если так, то без подробного описания модели не обойтись.

[EUrry]

Другими словами, нужно упростить модель, чтобы она свелась к конечному набору числовых параметров. Тогда оптимизация сведётся к подбору этих параметров с целью минимизации метрики |MEAS-MODEL|.
Если так, то без подробного описания модели не обойтись.

Можно разбить исследуемую функцию на "окна" и в каждом из них аппроксимировать входящие в нее составляющие, например полиномиальным разложением. Это всё реально, а вот во всём диапазоне изменения аргумента?
Проблема в том, что при разложении тех же сигналов в ряд Фурье, по вэйвлетам или еще как, для нахождения коэффициентов разложения используются отсчеты самого известного априори сигнала. А в моем случае эти неизвестные сигналы переплетены друг с другом и известна только их, скажем так, "суперпозиция". Скорее всего это "заоблачная" задача, но всё-таки может есть какие наработки в этой области? Сам я даже не знаю куда "сходить на экскурсию".

[scifi]

Скорее всего это "заоблачная" задача, но всё-таки может есть какие наработки в этой области? Сам я даже не знаю куда "сходить на экскурсию".

А что, эта "модель" секретная? Хотя бы какой масштаб бедствия? Может быть, у Вас постановка задачи вообще некорректна (это как версия)... Кстати, и саму постановку задачи я так и не нашёл. Понял только, что хочется что-то как-то аппроксимировать, но вот с какой целью - непонятно.

[EUrry]

но вот с какой целью - непонятно.

С целью "извлечения" из результатов измерений входящих в него параметров, например, S-параметров СВЧ устройства. Да, в принципе, чего угодно, в зависимости от области исследований.

[mdmitry]

Существуют различные базисы для разложения (декартовы координаты, цилиндрические, сферические). Выбор базиса - дело сложное, один из возможных критериев - минимизация количества членов разложения. Про другие подходы (вейвлет, атомарные функции) уже сказали.

[EUrry]

Выбор базиса - дело сложное, один из возможных критериев - минимизация количества членов разложения.

Это всё понятно! Вопрос в том, что воможна ли модель с конечным числом параметров для абсолютно неизвестной априори зависимости во всем диапазоне изменения аргумента?

[xemul]

Это всё понятно! Вопрос в том, что воможна ли модель с конечным числом параметров для абсолютно неизвестной априори зависимости во всем диапазоне изменения аргумента?

Конечно возможна! Вопрос только в адекватности модели - один период синуса можно смоделировать и прямой, и параболой.
Как Вы справедливо заметили, основная головная боль - выбор базиса (или базисов). После этого f1, f2, ...,fn становятся известными.
Фраза "для абсолютно неизвестной априори зависимости" мне непонятна - Вы же имеете "экспериментальные данные MEAS", по которым можно оценить удобство использования различных базисов (хотя бы на уровне периодические/непериодические) или просто какого-либо безбазисного набора функций (который можно предположить, исходя из физики процесса). А дальше уточнять коэффиценты всякими корреляциями и ковариациями до достижения требуемой точности модели.
Ваша задача в частной постановке - веселая многоходовочка (типа, шаг вперед, два назад), на которой люди (не я) в 80-х легко диссеры писали (благо, хватало желающих с экспериментальными данными и народнохозяйственной важностью), а в общей - тема для серьезных мужей, в математике премногосведущих (тоже не я).

[EUrry]

Конечно возможна! Вопрос только в адекватности модели - один период синуса можно смоделировать и прямой, и параболой.
Фраза "для абсолютно неизвестной априори зависимости" мне непонятна - Вы же имеете "экспериментальные данные MEAS", по которым можно оценить удобство использования различных базисов

В том то и дело, что не MEAS надо аппроксимировать, а входящие туда зависимости, которые могут себя вести произвольно: могут быть и более менее периодичны, могут иметь резонанстный характер (хотя, это пока лучше вообще не трогать!!! ) и т. д.

Ваша задача в частной постановке - веселая многоходовочка (типа, шаг вперед, два назад), на которой люди (не я) в 80-х легко диссеры писали (благо, хватало желающих с экспериментальными данными и народнохозяйственной важностью), а в общей - тема для серьезных мужей, в математике премногосведущих (тоже не я).

Да вот и я тоже с такими разделами математики не знаком особо, поэтому и решил у сообщества спросить.

[scifi]

Это всё понятно! Вопрос в том, что воможна ли модель с конечным числом параметров для абсолютно неизвестной априори зависимости во всем диапазоне изменения аргумента?

Слишком расплывчатая формулировка вопроса. Поэтому и ответа на него быть не может. Что есть модель в данном случае (в практическом смысле, а не в философском)?

[EUrry]

Слишком расплывчатая формулировка вопроса.

Слишком общая! Если бы всё было так просто... Спросил на всякий случай: одна голова хорошо, а много - лучше!

[scifi]

Слишком общая! Если бы всё было так просто... Спросил на всякий случай: одна голова хорошо, а много - лучше!

Тогда есть ответ: в каких-то случаях математика (как область знания) сможет помочь, а в каких-то - нет. Зависит от ситуации.
Какой вопрос - такой ответ.

[xemul]

В том то и дело, что не MEAS надо аппроксимировать, а входящие туда зависимости, которые могут себя вести произвольно: могут быть и более менее периодичны, могут иметь резонанстный характер (хотя, это пока лучше вообще не трогать!!! ) и т. д.

Бр-р-р... Что же в таком случае MEAS? Я решил, что это набор(ы) измерений нескольких величин, для одной части которых нужно придумать модели, зависящие от другой части. Сколькомерный у Вас MEAS, и сколько моделей Вы по нему хотите придумать?
Если двумерный (как на первой картинке), то получается, что Вам нужно придумать всего-то y = U(F_i(x, a, b, c,...)) (через U я обозначил набор функций F_i с коэффициентами a, b, c,..., аргументом которых является единственная переменная x). Курс численных методов, для которого это стандартная задача, проходят, по-моему, на 3-ем курсе. Решение задачи сводится к определению набора функций и вычислению их коэффициентов. Или, н-р, иначе - к исключению незначащих функций (которые не улучшают корреляцию модели с экспериментальными данными) из заданного набора.
А с периодическими и резонансными как раз проще всего.

[EUrry]

Бр-р-р... Что же в таком случае MEAS? Я решил, что это набор(ы) измерений нескольких величин, для одной части которых нужно придумать модели, зависящие от другой части. Сколькомерный у Вас MEAS, и сколько моделей Вы по нему хотите придумать?
Если двумерный (как на первой картинке)...

Да, зря я эту картинку прилепил! Она наводит на мысль, что ее и нужно аппроксимировать, в чём, в принципе, нет проблем.
Давайте еще так попробуем:
Имеется некая система A, описываемая матрицей [A(x)] с коэффициентами, зависящими от аргумента x. Система окружена некими "мешающими", а, может, и вспомогательными (тут как метод поставить) подсистемами, описываемыми матрицами [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)]. Результат измерений MEAS(х) содержит в себе параметры как системы А, так и параметры "мешающих" подсистем. Измерение представляется моделью MOLEL(х) = F{[A(x)], [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)]}, где F - известное соотношение между элементами указанных матриц. Собственно, неизвестными как априори, так и апостериори являются зависимости от х элементов матриц [A(x)], [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)], которые и нужно представить параметрическими моделями. Далее в пространстве этих параметров минимизируется оптимизационная функция OPT(x)=MEAS(x) - MOLEL(х). И, если всё проходит удачно, то находятся, как параметры самой системы A, так и параметры окружающих "мешающих"/вспомогательных подсистем.
P. S. Кстати, в сообщении №9 ошибка была (надо запретить злую комбинацию ctrl+с -> ctrl+v!!! ). Было так (зачеркнутое не нужно!) OPT=MEAS - MODEL=F(f1, f2, ...,fn). Удалось исправить!

Сообщение отредактировал EUrry - Apr 16 2009, 18:31

[Guest_TSerg_*]

Известно, что периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье. Даже некоторые не периодические представляют, исскуственно создав им период, который устремляется к бесконечности. А не придумали ли математики подобное разложение для произвольной не периодической не монотонной финитной функции? Например, представление экспериментальной кривой на рисунке. Хоть какое-то приближение. Если существует что-то подобное, то где можно посмотреть? Понимаю, что замахнулся не на того, но что поделать!

Вам сюда
Ивахненко, МГУА

http://www.gmdh.net/gmdh.htm
http://iissvit.narod.ru/rass/vip17.htm

[Ulysses]

С целью "извлечения" из результатов измерений входящих в него параметров, например, S-параметров СВЧ устройства. Да, в принципе, чего угодно, в зависимости от области исследований.

Я думаю, в таком случае, базис для разложения должен быть не произвольным, а позволяющим дать физическую интерпретацию результатов аппроксимации. Например, если у Вас частотная зависимость S11, может быть использован базис в виде полюсных функций, где значение полюса wp определяет резонанс в анализируемом объекте: R = a1/(w-w1) + ... + aM/(w-wM). Программы типа HFSS, CST, MWO и подобные используют эту модель (иногда с успехом, иногда с провалом) для интерполяции/экстраполяции расчетных точек для ускорения частотного свипирования (я, например, не рискую использовать этот подход для анализируемой структуры общего типа). В некоторых ситуациях, когда анализируемый объект является распределенной структурой и отклик от него есть сумма сигналов отражения с разными запаздываниями (и переотражениями можно пренебречь), модель может быть представлена суммой экспонент R = a1*exp(jwt1) + ... + aM*exp(jwtM) с очевидной физической интерпретацией: ai - амплитуда отражения от i-ой неоднородности, ti = 2*zi/c - временное местоположение этого отражателя.
Базисные функции в обоих случаях зависят от параметров {wi} и {ti} - нелинейно, поэтому необходимо использовать методы нелинейной оптмизации, отсюда возможен ряд проблем. Но при использовании начальной информации об анализируемом объекте задача, в принципе, решаемая. Оптимизационная задача может быть решена методами локальной оптимизации при адекватном выборе начального приближения.

[EUrry]

Например, если у Вас частотная зависимость S11, может быть использован базис в виде полюсных функций, где значение полюса wp определяет резонанс в анализируемом объекте: R = a1/(w-w1) + ... + aM/(w-wM). Программы типа HFSS, CST, MWO и подобные используют эту модель (иногда с успехом, иногда с провалом) для интерполяции/экстраполяции расчетных точек для ускорения частотного свипирования (я, например, не рискую использовать этот подход для анализируемой структуры общего типа).

Тоже пробовал в HFSS быстрый свип - результат не был адекватен. Поэтому, больше не использую - лучше подождать, но быть более уверенным.

В некоторых ситуациях, когда анализируемый объект является распределенной структурой и отклик от него есть сумма сигналов отражения с разными запаздываниями (и переотражениями можно пренебречь), модель может быть представлена суммой экспонент R = a1*exp(jwt1) + ... + aM*exp(jwtM) с очевидной физической интерпретацией: ai - амплитуда отражения от i-ой неоднородности, ti = 2*zi/c - временное местоположение этого отражателя.

В моей задаче переотражения есть и, причем, используются с делом. Возможно, такая модель более подходит для импульсной рефлектометрии с целью определения местоположения неоднородностей.

Вам сюда
Ивахненко, МГУА

Спасибо за ссылки, в ближайшее время посмотрю.

[net]

мое имхмо - это нерешаемая задача(на сегодняшний день развития человека)
вернее ее можно назвать исскуственным интелектом
так как она позволяет посмотреть на серию экспериментов и выдать нужные функции и их параметры
типа смотрю на окружающий мир - чтото дергаю в нем и составляю модель мира


мне кажется надо както проще задачу ставить и реальнее

[EUrry]

мое имхмо - это нерешаемая задача(на сегодняшний день развития человека)
вернее ее можно назвать исскуственным интелектом
так как она позволяет посмотреть на серию экспериментов и выдать нужные функции и их параметры
типа смотрю на окружающий мир - чтото дергаю в нем и составляю модель мира


мне кажется надо както проще задачу ставить и реальнее

Мое ИМХО тоже, но всё-таки решил поинтересоваться, что существует сегодня в данном направлении.

[scifi]

мое имхмо - это нерешаемая задача(на сегодняшний день развития человека)

И моё мнение таково, что задача нерешаемая. Но не из-за недоразвитости человечества, а из-за неправильной постановки задачи. Давно известно, что правильно заданный вопрос - это половина ответа.

[EUrry]

И моё мнение таково, что задача нерешаемая. Но не из-за недоразвитости человечества, а из-за неправильной постановки задачи. Давно известно, что правильно заданный вопрос - это половина ответа.

По-моему, постановка задачи ясна. Если бы было всё так просто и была создана абсолютно универсальная модель, то не "извращались" бы с теми же "окнами". Повторюсь, целью вопроса было "прощупывание современной почвы" в данном направлении. За спрос, как говорится, не бьют. В данном случае считаю, что спрашивать надо обширнее, а уж что достанется в ответ, тому и будешь рад. Информации для анализа больше будет.

[Киянуш]

Я много времени провел за изучением функционального анализа. Представление функции в виде разложения по какому либо ряду - хорошо изучено.
И вроде бы серьезной альтернативы еще не встречал.

[EUrry]

Я много времени провел за изучением функционального анализа. Представление функции в виде разложения по какому либо ряду - хорошо изучено.
И вроде бы серьезной альтернативы еще не встречал.

Всё это хорошо, если:
а) известна экспериментальная зависимость функции;
б) если работать в узких "окнах" изменения аргумента при неизвестной априори, но предполагаемой зависимости.

[Киянуш]

Ну вроде эти ваши а и б полностью описывают случаи которые встречаются на практике. Функция y=x, если х - рациональное, y=0, если х - нерациональное уже вроде бы не финитна.

[EUrry]

Ну вроде эти ваши а и б полностью описывают случаи которые встречаются на практике. Функция y=x, если х - рациональное, y=0, если х - нерациональное уже вроде бы не финитна.

Прошу прощения, насчет финитности я что-то некорректно выразился. Финитен диапазон определения функции. Т. е., также как при использовании "окон", на краях интервала определения функции может наблюдаться эффект Гиббса.

[net]

Представление функции в виде разложения по какому либо ряду - хорошо изучено.
И вроде бы серьезной альтернативы еще не встречал.

мое ИМХО
это слишком спорное утверждение
все дело в том что если ввести некое понятие оптимальности
то в этом смысле правильный ряд может оказаться не оптимальным=неправильным

например
возьмем функцию sin(x) на отрезке [0; ПИ]
если вы ее разложите в ряд тейлора относительно 0 то ваш ряд будет существенно сложнее(больше потребуется степеней) при одинаковой точности приближения
чем если аппроксимировать квадратичным полином на этом же участке

поэтому можно утверждать о серьезной альтернативе

[Киянуш]

например
возьмем функцию sin(x) на отрезке [0; ПИ]
если вы ее разложите в ряд тейлора относительно 0 то ваш ряд будет существенно сложнее(больше потребуется степеней) при одинаковой точности приближения
чем если аппроксимировать квадратичным полином на этом же участке

поэтому можно утверждать о серьезной альтернативе

Это все равно один подход. Разложение в какой бы то ни было ряд.

У меня перед глазами книга Розов А. К. "Стохастические дифференциальные уравнения" там аппарат стохастических д.у.
позиционируется как альтернатива традиционным корреляционно спектральным методам. Книгу правда я еще не начал читать,
это во введении написанно.

[net]

Это все равно один подход. Разложение в какой бы то ни было ряд.

У меня перед глазами книга Розов А. К. "Стохастические дифференциальные уравнения" там аппарат стохастических д.у.
позиционируется как альтернатива традиционным корреляционно спектральным методам. Книгу правда я еще не начал читать,
это во введении написанно.

я про то что критерий правильности ряда может говорить о том что ряд неправильный - при его правильности
с точки зрения теории вообще
но представление делается то другим способом
то есть как бы функции почти теже самые но эффект совсем другой
ведь важно не только написать формулу - но важно и правильно иметь возможность ее вычислить
ну вообщем я скатываюсь к теме которую надо обсуждать в курилке
так как она прямого отношения к математике не имеет - а имеет отношение что есть правильно и что есть неправильно

[Oldring]

Вопрос в том, что воможна ли модель с конечным числом параметров для абсолютно неизвестной априори зависимости во всем диапазоне изменения аргумента?

Разумеется!

Вы в каком виде эту зависимость получаете в ходе эксперимента? В виде таблицы?

Вот.

PS На любой вопрос дам любой ответ.

PPS Все остальное - это лишь методы сжатия этой экспериментальной таблицы с использованием некой апроирной информации. Нет априорной информации - нет и сжатия.

[EUrry]

Разумеется!
Вы в каком виде эту зависимость получаете в ходе эксперимента? В виде таблицы?
Вот.

В виде таблицы "смесь" того, что нужно описать не табличными, а параметрическими моделями. Т. е. для определения коэффициентов разложения того, что нужно описать моделями, нет даже табличной зависимости.

[Oldring]

В виде таблицы "смесь"

То, что там "смесь" - это уже некоторая модель, основанная на некотором априорном знании.

[EUrry]

То, что там "смесь" - это уже некоторая модель, основанная на некотором априорном знании.

Априорное знание - известное соотношение между "смешанными".

[Oldring]

Априорное знание - известное соотношение между "смешанными".

Теория говорит, что любое априорное знание можно использовать для сжатия таблицы.
Если же оно реально есть. Вы же вначале говорили про произвольные функции? Чем функция менее произвольна - тем сильнее можно сжать экспериментальную таблицу.

[EUrry]

Теория говорит, что любое априорное знание можно использовать для сжатия таблицы.
Если же оно реально есть. Вы же вначале говорили про произвольные функции? Чем функция менее произвольна - тем сильнее можно сжать экспериментальную таблицу.

Вы "сжимаете" известную табличную зависимость "смеси" и коэффициенты вычисляете, зная эту зависимость. А я не знаю даже табличных зависимостей того, что нужно представить моделью. Коэффициенты разложения неизвестных зависимостей необходимо "подогнать" таким образом, чтобы модель их "смеси" сопоставлялась с известной табличной зависимостью "смеси".

[Oldring]

А я не знаю даже табличных зависимостей того, что нужно представить моделью.

Генерируете экспериментальную таблицу случайным образом?
Тогда Вам читать про стохаистические модели.

[EUrry]

Генерируете экспериментальную таблицу случайным образом?

Если бы я знал, чего я измеряю, то и вопросов бы не было!!!

[Oldring]

Если бы я знал, чего я измеряю, то и вопросов бы не было!!!

Если не знаете, что измеряете, и хотите априорно сжать экспериментальную таблицу - тогда согласен, беда...
Поставьте ZIP - авось поможет.

[EUrry]

Если не знаете, что измеряете, и хотите априорно сжать экспериментальную таблицу - тогда согласен, беда...
Поставьте ZIP - авось поможет.

Еще раз повторяю, что НИЧЕГО я не НЕ СЖИМАЮ!!! Вопос в наиболее универсальной параметрической модели, которая может описать различные зависимости лишь соответствующим изменением числовых значений своих коэффициентов. Грубо говоря, нужно чтобы, например, синусоидальная и косинусоидальная зависимости моделировались одним рядом, но с различными значениями коэффициентов разложения. Потому, как я не знаю что у меня будет: cos или sin или еще что-то.

[Oldring]

Еще раз повторяю, что НИЧЕГО я не НЕ СЖИМАЮ!!!

Еще раз повторю. Именно хотите сжимать, даже если не догадываетесь об этом.

[EUrry]

Еще раз повторю. Именно хотите сжимать, даже если не догадываетесь об этом.

Может это как-то и можно свести к сжатию, но меня, по крайней мере пока, это не интересует и никаких повторяющихся последовательностей "выдергивать" мне не нужно. А наш с Вами диспут переродился в бесполезный неконструктивный флуд. Так что предлагаю далее не заниматься выяснением того, что тут происходит: сжатие/несжатие или еще чего!!!

[Oldring]

Может это как-то и можно свести к сжатию, но меня, по крайней мере пока, это не интересует и никаких повторяющихся последовательностей "выдергивать" мне не нужно.

Зря. Сжатие - это не только "выдергивание повторяющихся последовательностей". Сжатие в общем случае - это сокращение описания с использованием априорных знаний. Вас же не устраивает просто экспериментальная таблица как универсальное представление результатов эксперимента? Чем? Размерами? Все-таки хотите меньше коэффициентов? Ну а хотя бы то, что таблица уже является тем "конечным представлением", о котором Вы спрашивали первоначально - Вы уже осознали?

[EUrry]

Вас же не устраивает просто экспериментальная таблица как универсальное представление результатов эксперимента? Чем? Размерами?

Почитайте мои посты с постановкой задачи! Как оптимизировать табличное представление?

[Oldring]

Вот видите, какой прогресс. Раньше Вы спрашивали

Вопрос в том, что воможна ли модель с конечным числом параметров для абсолютно неизвестной априори зависимости во всем диапазоне изменения аргумента?

Теперь же уже дошли до осознания, что таблица является такой моделью, и хочется уменьшить количество параметров.

Ответ на последний вопрогс тоже хорошо известен. Если данные в таблице полностью случайны (например, каждый бит представления каждого числа сгенерирован генератором случайных чисел с энтропией 1 бит на бит) то уменьшить представление невозможно. Если же данные неслучайны - то используя то или иное априорное знание о данных, которые будут занесены таблицу, можно уменьшить размер описания. Но это также означает, что данные не будут уже "абсолютно неизвестной априори зависимостью".

[scifi]

Почитайте мои посты с постановкой задачи! Как оптимизировать табличное представление?

Я пробовал читать, только вот там тумана много. Попробую пояснить. Имеем следующее:

Имеются экспериментальные данные MEAS. Также имеется модель этих данных MODEL. Модель представляется известной зависимостью F неизвестных функций f1, f2, ...,fn (MODEL=F(f1, f2, ...,fn)). Если функции f1, f2, ...,fn представлены какими-либо конечными рядами, то задача их аппроксимации сводится к минимизации целевой функции OPT=MEAS - MODEL в пространстве коэффициентов разложения функций f1, f2, ...,fn.

Это и есть полный туман. Хотелось бы иметь что-то поконкретнее. Например:

Имеются экспериментальные данные Xi, Yi, i=0..99. Есть модель этих данных Y(X)=F(f1(X), f2(X)). То есть экспериментальные данные описываются неизвестной функцией F(a, b ) двух других функций f1() и f2(). Однако, известно, что F(a, b ) - линейная функция, f1(X) - синусоида с неизвестной фазой и амплитудой, а f2(X) - многочлен 3-го порядка. Задача: подогнать параметры функций f1 и f2 (амплитуда, фаза, коэффициент многочлена) под экспериментальные данные с целью минимизировать метрику SUM|Yi-F(f1(Xi),f2(Xi))|.

Вот примерно так. Замечаете разницу в постановки задачи? Пока будет продолжаться туман про неизвестные функции от неизвестных функций, то и перспективы у этой задачи будут неизвестные. Нужны априорные знания, как сказал Oldring, а Вы их не предоставили. Вы знаете, сколько бывает неизвестных функций? Неизвестные функции бывают негладкими, разрывными, неинтегрируемыми по Риману (и, может быть, по Лебегу), и вообще очень страшными. Надо сужать область поиска.

[EUrry]

Теперь же уже дошли до осознания, что таблица является такой моделью, и хочется уменьшить количество параметров.

Безусловно, таблицу можно назвать моделью с числом параметров, равным числу отсчетов аргумента. Но эта модель имеет избыточное число параметров и не дает функциональной зависимости от аргумента, поэтому даже не рассматривается.

Это и есть полный туман. Хотелось бы иметь что-то поконкретнее. Например:

Имеются экспериментальные данные Xi, Yi, i=0..99. Есть модель этих данных Y(X)=F(f1(X), f2(X)). То есть экспериментальные данные описываются неизвестной функцией F(a, b ) двух других функций f1() и f2(). Однако, известно, что F(a, b ) - линейная функция, f1(X) - синусоида с неизвестной фазой и амплитудой, а f2(X) - многочлен 3-го порядка. Задача: подогнать параметры функций f1 и f2 (амплитуда, фаза, коэффициент многочлена) под экспериментальные данные с целью минимизировать метрику SUM|Yi-F(f1(Xi),f2(Xi))|.

Вот примерно так. Замечаете разницу в постановки задачи? Пока будет продолжаться туман про неизвестные функции от неизвестных функций, то и перспективы у этой задачи будут неизвестные. Нужны априорные знания, как сказал Oldring, а Вы их не предоставили. Вы знаете, сколько бывает неизвестных функций? Неизвестные функции бывают негладкими, разрывными, неинтегрируемыми по Риману (и, может быть, по Лебегу), и вообще очень страшными. Надо сужать область поиска.

В посте № 22 имеется более "вылизанный" вариант постановки задачи. Разницу замечаю! Предполагая, что одна функция синус, другая - полином, восстановить их параметры никаких проблем нет. В "окнах", пожалуйста, всё это прекрасно делается. Проблема в универсальной параметрической модели, которая может описать, как синус, так и полином или еще что-то. Специально настолько общно и поставил вопрос. Спросил бы конкретно - получил бы известный мне ответ, который Вы только что описали, например.
Повторюсь, что и не ожидал ответа, что есть такая модель - нет ее и вряд ли будет. Просто интересно, ведется ли работа в данном направлении, что наработано, быть может что-то придумали получше обработки в"окнах", например.
Насчет разрывности, думаю, что в моем случае ее нет. Единственное, на зависимости могут быть высокодобротные резонансы, которые при обработке могут быть сглажены, за счет применения того же полиномиального разложения, что приведет к ошибочному измерению, хотя ошибка оптимизации при этом может быть небольшой.

P. S. Зато чувствуете, как зацепила такая постановка задачи!? А конструктивная критика крайне полезна. Нет критики нет и развития.

[blackfin]

Повторюсь, что и не ожидал ответа, что есть такая модель - нет ее и вряд ли будет. Просто интересно, ведется ли работа в данном направлении, что наработано, быть может что-то придумали получше обработки в"окнах", например.

Возьмем, для определенности, 1-ый том "Война и мир", Л.Н.Толстого.
Закодируем каждую букву на 99-ой странице восьмибитным числом в коде ASCII.
Удалим из полученной таблицы все буквы за исключением букв расположенных на позициях кратных 19.
Т.о, мы получили новую "экспериментальную таблицу" с окнами шириной 18 чисел (или, если угодно, букв).

Задача: придумать "модель", которая "дает функциональную зависимость от аргумента" в общем виде, т.е., позволяет восстановить весь текст на 99-ой странице, или любой другой странице с любыми другими параметрами для "ширины окна" и пр., пр.

PS. Да, и мне тоже "..просто интересно, ведется ли работа в данном направлении, что наработано, быть может что-то придумали получше".. и тд, и тп.

PPS. шутка, если что..

[Oldring]

Безусловно, таблицу можно назвать моделью с числом параметров, равным числу отсчетов аргумента. Но эта модель имеет избыточное число параметров и не дает функциональной зависимости от аргумента, поэтому даже не рассматривается.

Не дает функциональной зависимости - только в том случае, если есть повторы аргумента. Но и в этом случае является самым подробным описанием результатов эксперимента, в ходе которого получена таблица. Не имеет значения, что область определения - дискретна, так как даже непрерывность функции - это априорное знание, которым мы не обладаем по Вашей постановке задачи.

"Имеет избыточное число параметров" - откуда это Вам известно? По постановке задачи функция произвольна. Следовательно, никакого избытка параметров нет. Если все же априорно известно, что именно функция, без всяких вероятностей - ну так выкиньте из таблицы повторы, и получите таблицу без избытка.

Мне кажется, Ваша главная проблема в том, что Вы подразумеваете некоторое интуитивно понимаемое Вами знание о классе представляемых функций, которое не можете формализовать и тем самым передать окружающим. Не понимаете - и пишиту всякую чушь про "абсолютно произвольную функцию".

PS Пытаетесь по одному внешнему измерению отделить S-параметры соединителей от S-параметров самого полупроводника? Имхо невозможно без жесткого ограничения моделей компонентов.

PPS. шутка, если что..

Спасибо - я уже было испугался

[EUrry]

"Имеет избыточное число параметров" - откуда это Вам известно?

Согласен, слово "избыточное", здесь, конечно, не корректно. Число параметров "в самый раз", но в сравнении с каким-либо представлением (в виде того же ряда), их намного больше.

Мне кажется, Ваша главная проблема в том, что Вы подразумеваете некоторое интуитивно понимаемое Вами знание о классе представляемых функций, которое не можете формализовать и тем самым передать окружающим. Не понимаете - и пишиту всякую чушь про "абсолютно произвольную функцию".

Можно предполагать примерную типичную зависимость характеристик тех или иных устройств и описывать их более-менее "определенной" моделью. Так и делается. Но в реальности, хотя быть может и редко, возможно какое-то резкое отклонение характеристики от типичной зависимости, когда примененная модель будет неадекватна, соответственно и полученный результат тоже (причем, можно этого не заметить). Отсюда такая общность вопроса и, соответственно, много критики, чем я, в принципе, доволен. Всё-таки удалось немного приоткрыть занавесы других направлений, хотя еще далеко не со всем ознакомился, т. к. кроме "возвышенных" проблем, имеются более важные и изученные насущные.

[Oldring]

Число параметров "в самый раз", но в сравнении с каким-либо представлением (в виде того же ряда), их намного больше.

Вы не сможете представить абсолютно произвольную табличную функцию в виде ряда, более короткого, чем сама таблица

PS Точнее, с меньшим количеством бит в представлении коэффициентов этого ряда

Можно предполагать примерную типичную зависимость характеристик тех или иных устройств и описывать их более-менее "определенной" моделью. Так и делается. Но в реальности, хотя быть может и редко, возможно какое-то резкое отклонение характеристики от типичной зависимости, когда примененная модель будет неадекватна, соответственно и полученный результат тоже (причем, можно этого не заметить).

Разумеется, если модель неадекватна - это полезно заметить, вставив проверку аппроксимации конкретной калибровочной таблицы
Если в природе встретилось что-то другое - нужно переходить к более общим моделям (таблицам) или звать на помощь программиста, чтобы он расширил модель

[EUrry]

Вы не сможете представить абсолютно произвольную табличную функцию в виде ряда, более короткого, чем сама таблица

Я, в общем то, и не сомневался. Но зато узнал о некоторых других представлениях.

А как Вас "зацепило" то!!!

[Oldring]

А как Вас "зацепило" то!!!

Ну так весело же

[sergius1]

Да, зря я эту картинку прилепил! Она наводит на мысль, что ее и нужно аппроксимировать, в чём, в принципе, нет проблем.
Давайте еще так попробуем:
Имеется некая система A, описываемая матрицей [A(x)] с коэффициентами, зависящими от аргумента x. Система окружена некими "мешающими", а, может, и вспомогательными (тут как метод поставить) подсистемами, описываемыми матрицами [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)]. Результат измерений MEAS(х) содержит в себе параметры как системы А, так и параметры "мешающих" подсистем. Измерение представляется моделью MOLEL(х) = F{[A(x)], [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)]}, где F - известное соотношение между элементами указанных матриц. Собственно, неизвестными как априори, так и апостериори являются зависимости от х элементов матриц [A(x)], [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)], которые и нужно представить параметрическими моделями. Далее в пространстве этих параметров минимизируется оптимизационная функция OPT(x)=MEAS(x) - MOLEL(х). И, если всё проходит удачно, то находятся, как параметры самой системы A, так и параметры окружающих "мешающих"/вспомогательных подсистем.
P. S. Кстати, в сообщении №9 ошибка была (надо запретить злую комбинацию ctrl+с -> ctrl+v!!! ). Было так (зачеркнутое не нужно!) OPT=MEAS - MODEL=F(f1, f2, ...,fn). Удалось исправить!

Ув. EUrry!

Вы либо не до конца описали задачу, либо сами не понимаете чего хотите.
Смотрите:
F - известное соотношение между элементами указанных матриц
Для удобства соберем эти элементы матриц в одну кучу и назовем Yi(x)
Т.о. MODEL(х)=F(Y0(x),Y1(x),Y2(x),....)
Вам надо минимизировать |MEAS(x))-MODEL(х)|, где MEAS(x) - некоторая известная функция, заданная таблично (результаты измерений).
Такая задача сильно недоопределена!
Т.е. существует беск. множество наборов Yi(x) дающий *нулевую* ошибку аппроксимации.
Вот одно из решений: тождественно приравниваем Yi к нулю для всех i кроме нуля.
тогда MODEL(х)=F(Y0(x),0,0,0,...)===G(Y0(x))
Если взять Y0(x)=G^-1(MEAS(x)), то MODEL(х)===MEAS(x), и ошибка тождественно равна нулю. (G^-1 - функция, обратная к G)

Поскольку MEAS(x) - таблица значений, то Y0(x) тоже можем задать как таблицу G^-1(MEAS(xi)), либо аппроксимировать кучей способов (например полиномом соотв. степени) так, что она во всех точках совпадет с табличными значениями.


Вряд ли это то что вам нужно.

Или я чего-то не понимаю?

[EUrry]

To sergius1
Да, Вы правы, возможнен такой исход! Обычно минимизируются несколько оптимизационных соотношений, чем эта проблема в какой-то мере решается. Но, действительно, есть над чем задуматься.

[Guest_TSerg_*]

Известно, что периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье. Даже некоторые не периодические представляют, исскуственно создав им период, который устремляется к бесконечности. А не придумали ли математики подобное разложение для произвольной не периодической не монотонной финитной функции? Например, представление экспериментальной кривой на рисунке. Хоть какое-то приближение. Если существует что-то подобное, то где можно посмотреть? Понимаю, что замахнулся не на того, но что поделать!

Еще рекомендую взглянуть на сингулярный анализ спектра (SSA) - метод "Гусеница"
http://www.gistatgroup.com/gus/index.html




Даже простейший полином 9 порядка и тот дает приличный результат, что же говорить об "интеллектуальных" методиках типа МГУА.
"Гусеница" тоже дает очень хорошую модель.