Известно, что периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье. Даже некоторые не периодические представляют, исскуственно создав им период, который устремляется к бесконечности. А не придумали ли математики подобное разложение для произвольной не периодической не монотонной финитной функции? Например, представление экспериментальной кривой на рисунке. Хоть какое-то приближение. Если существует что-то подобное, то где можно посмотреть? Понимаю, что замахнулся не на того, но что поделать!

Существует вейвлет-анализ сигналов.

Про "маленькие волны" краем уха слышал в РЦС у Баскакова, но там практически просто сказано, что есть такой анализ и всё. Т. е. вейвлет-теория может дать какие-то прояснения в моем вопросе? Надо будет посмотреть поподробнее.

Очень рекомендую: С.Малла, "Вэйвлеты в обработке сигналов". "Мир", 2005.

Спасибо, книгу скачал, полистаю!

2EUrry
Так любую функцию можно разложить в ряд Фурье. Вашу - тоже. Из-за того, что мы "в уме" предполагаем - разложение(по сути поиск корреляции) конечной функции происходит на бесконечные циклические - возникает неприятность в виде окна которая, в свою очередь, порождает АЧХ отдельного частотного отсчета - отсюда конечтая точность такого разложения. Но для технических целей - ее обчно с головой...

Но вобщем, да, вейвлеты - шаг вперед по направлению избавления от влияния окна. Но тоже не всегда, вейвлеты это целое семейство отображений, иногда довольно непохожих по свойствам(разный порядок "быстрых" форм, разные требования к ортогональности базиса(!) etc...). Есть еще и чирплеты и еще много всякой фигни выдумали... кстати, ноги у вейвлет-преобразования растут из попыток обойти парадоксы в корпусулярно-волновом дуализме теории волн Де-Бройля. Там все очень мутно и до сих пор.

Сам "осциллятор" за хвост не ухвачен, причины циклического движения(что кружиЦЦо то?) и континуальной природы "амплитуды вероятности нахождения в точке(!)" так и не поняты. Некоторые с демонической ухмылкой на этом сильно спекулируют(особенно философы) по поводу утраты детерминизма в микромире и кризиса механистического подхода. Вейвлеты - были попыткой обойти саму математическую "порочность" такого подхода... Потому изучая их - трепещите, Вы прикасаетесь к великому...

Глянул мельком предложенную книгу, действительно труд солидный. Даже не знаю за чего браться сначала. С вэйвлетами сейчас не очень удобно, т. к. их надо либо самому программно генерировать, либо использовать специальные программные продукты с готовыми вэйвлетами. Ряд Фурье в этой связи более привлекателен. Начать можно и с него.
А вообще несколько уточню задачу. На самом деле аппроксимируемая функция мне неизвестна вообще. У меня есть результат эксперимента, куда входит эта функция, связанная некими известными математическими зависимостями с другими неизвестными функциями. Все неизвестные функции мне нужно аппроксимировать какими-либо разложениями. Имея модели функций в виде разложением с коэффициентами и экспериментальный результат необходимо решить оптимизационную задачу с целью нахождения коэффициентов разложения.

Ух, сколько тумана напустили! Много функций, ни одна из них неизвестна, и все надо аппроксимировать какими-нибудь разложениями.
Излагайте подробнее, так совсем непонятно.

Да вот думаю, как это описать!!!
Давайте попробуем так:
Имеются экспериментальные данные MEAS. Также имеется модель этих данных MODEL. Модель представляется известной зависимостью F неизвестных функций f1, f2, ...,fn (MODEL=F(f1, f2, ...,fn)). Если функции f1, f2, ...,fn представлены какими-либо конечными рядами, то задача их аппроксимации сводится к минимизации целевой функции OPT=MEAS - MODEL в пространстве коэффициентов разложения функций f1, f2, ...,fn.
Таким образом, основная головная боль - какими моделями описать неизвестные априори функции, чтобы оптимизация имела сходимость?

Другими словами, нужно упростить модель, чтобы она свелась к конечному набору числовых параметров. Тогда оптимизация сведётся к подбору этих параметров с целью минимизации метрики |MEAS-MODEL|.
Если так, то без подробного описания модели не обойтись.

Можно разбить исследуемую функцию на "окна" и в каждом из них аппроксимировать входящие в нее составляющие, например полиномиальным разложением. Это всё реально, а вот во всём диапазоне изменения аргумента?
Проблема в том, что при разложении тех же сигналов в ряд Фурье, по вэйвлетам или еще как, для нахождения коэффициентов разложения используются отсчеты самого известного априори сигнала. А в моем случае эти неизвестные сигналы переплетены друг с другом и известна только их, скажем так, "суперпозиция". Скорее всего это "заоблачная" задача, но всё-таки может есть какие наработки в этой области? Сам я даже не знаю куда "сходить на экскурсию".

А что, эта "модель" секретная? Хотя бы какой масштаб бедствия? Может быть, у Вас постановка задачи вообще некорректна (это как версия)... Кстати, и саму постановку задачи я так и не нашёл. Понял только, что хочется что-то как-то аппроксимировать, но вот с какой целью - непонятно.

С целью "извлечения" из результатов измерений входящих в него параметров, например, S-параметров СВЧ устройства. Да, в принципе, чего угодно, в зависимости от области исследований.

Существуют различные базисы для разложения (декартовы координаты, цилиндрические, сферические). Выбор базиса - дело сложное, один из возможных критериев - минимизация количества членов разложения. Про другие подходы (вейвлет, атомарные функции) уже сказали.

Это всё понятно! Вопрос в том, что воможна ли модель с конечным числом параметров для абсолютно неизвестной априори зависимости во всем диапазоне изменения аргумента?

Конечно возможна! Вопрос только в адекватности модели - один период синуса можно смоделировать и прямой, и параболой.
Как Вы справедливо заметили, основная головная боль - выбор базиса (или базисов). После этого f1, f2, ...,fn становятся известными.
Фраза "для абсолютно неизвестной априори зависимости" мне непонятна - Вы же имеете "экспериментальные данные MEAS", по которым можно оценить удобство использования различных базисов (хотя бы на уровне периодические/непериодические) или просто какого-либо безбазисного набора функций (который можно предположить, исходя из физики процесса). А дальше уточнять коэффиценты всякими корреляциями и ковариациями до достижения требуемой точности модели.
Ваша задача в частной постановке - веселая многоходовочка (типа, шаг вперед, два назад), на которой люди (не я) в 80-х легко диссеры писали (благо, хватало желающих с экспериментальными данными и народнохозяйственной важностью), а в общей - тема для серьезных мужей, в математике премногосведущих (тоже не я).

В том то и дело, что не MEAS надо аппроксимировать, а входящие туда зависимости, которые могут себя вести произвольно: могут быть и более менее периодичны, могут иметь резонанстный характер (хотя, это пока лучше вообще не трогать!!! ) и т. д.

Да вот и я тоже с такими разделами математики не знаком особо, поэтому и решил у сообщества спросить.

Слишком расплывчатая формулировка вопроса. Поэтому и ответа на него быть не может. Что есть модель в данном случае (в практическом смысле, а не в философском)?

Слишком общая! Если бы всё было так просто... Спросил на всякий случай: одна голова хорошо, а много - лучше!

Тогда есть ответ: в каких-то случаях математика (как область знания) сможет помочь, а в каких-то - нет. Зависит от ситуации.
Какой вопрос - такой ответ.

Бр-р-р... Что же в таком случае MEAS? Я решил, что это набор(ы) измерений нескольких величин, для одной части которых нужно придумать модели, зависящие от другой части. Сколькомерный у Вас MEAS, и сколько моделей Вы по нему хотите придумать?
Если двумерный (как на первой картинке), то получается, что Вам нужно придумать всего-то y = U(F_i(x, a, b, c,...)) (через U я обозначил набор функций F_i с коэффициентами a, b, c,..., аргументом которых является единственная переменная x). Курс численных методов, для которого это стандартная задача, проходят, по-моему, на 3-ем курсе. Решение задачи сводится к определению набора функций и вычислению их коэффициентов. Или, н-р, иначе - к исключению незначащих функций (которые не улучшают корреляцию модели с экспериментальными данными) из заданного набора.
А с периодическими и резонансными как раз проще всего.

Да, зря я эту картинку прилепил! Она наводит на мысль, что ее и нужно аппроксимировать, в чём, в принципе, нет проблем.
Давайте еще так попробуем:
Имеется некая система A, описываемая матрицей [A(x)] с коэффициентами, зависящими от аргумента x. Система окружена некими "мешающими", а, может, и вспомогательными (тут как метод поставить) подсистемами, описываемыми матрицами [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)]. Результат измерений MEAS(х) содержит в себе параметры как системы А, так и параметры "мешающих" подсистем. Измерение представляется моделью MOLEL(х) = F{[A(x)], [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)]}, где F - известное соотношение между элементами указанных матриц. Собственно, неизвестными как априори, так и апостериори являются зависимости от х элементов матриц [A(x)], [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)], которые и нужно представить параметрическими моделями. Далее в пространстве этих параметров минимизируется оптимизационная функция OPT(x)=MEAS(x) - MOLEL(х). И, если всё проходит удачно, то находятся, как параметры самой системы A, так и параметры окружающих "мешающих"/вспомогательных подсистем.
P. S. Кстати, в сообщении №9 ошибка была (надо запретить злую комбинацию ctrl+с -> ctrl+v!!! ). Было так (зачеркнутое не нужно!) OPT=MEAS - MODEL=F(f1, f2, ...,fn). Удалось исправить!

Вам сюда
Ивахненко, МГУА

http://www.gmdh.net/gmdh.htm
http://iissvit.narod.ru/rass/vip17.htm

Я думаю, в таком случае, базис для разложения должен быть не произвольным, а позволяющим дать физическую интерпретацию результатов аппроксимации. Например, если у Вас частотная зависимость S11, может быть использован базис в виде полюсных функций, где значение полюса wp определяет резонанс в анализируемом объекте: R = a1/(w-w1) + ... + aM/(w-wM). Программы типа HFSS, CST, MWO и подобные используют эту модель (иногда с успехом, иногда с провалом) для интерполяции/экстраполяции расчетных точек для ускорения частотного свипирования (я, например, не рискую использовать этот подход для анализируемой структуры общего типа). В некоторых ситуациях, когда анализируемый объект является распределенной структурой и отклик от него есть сумма сигналов отражения с разными запаздываниями (и переотражениями можно пренебречь), модель может быть представлена суммой экспонент R = a1*exp(jwt1) + ... + aM*exp(jwtM) с очевидной физической интерпретацией: ai - амплитуда отражения от i-ой неоднородности, ti = 2*zi/c - временное местоположение этого отражателя.
Базисные функции в обоих случаях зависят от параметров {wi} и {ti} - нелинейно, поэтому необходимо использовать методы нелинейной оптмизации, отсюда возможен ряд проблем. Но при использовании начальной информации об анализируемом объекте задача, в принципе, решаемая. Оптимизационная задача может быть решена методами локальной оптимизации при адекватном выборе начального приближения.

Тоже пробовал в HFSS быстрый свип - результат не был адекватен. Поэтому, больше не использую - лучше подождать, но быть более уверенным.

В моей задаче переотражения есть и, причем, используются с делом. Возможно, такая модель более подходит для импульсной рефлектометрии с целью определения местоположения неоднородностей.

Спасибо за ссылки, в ближайшее время посмотрю.

мое имхмо - это нерешаемая задача(на сегодняшний день развития человека)
вернее ее можно назвать исскуственным интелектом
так как она позволяет посмотреть на серию экспериментов и выдать нужные функции и их параметры
типа смотрю на окружающий мир - чтото дергаю в нем и составляю модель мира


мне кажется надо както проще задачу ставить и реальнее

Мое ИМХО тоже, но всё-таки решил поинтересоваться, что существует сегодня в данном направлении.

И моё мнение таково, что задача нерешаемая. Но не из-за недоразвитости человечества, а из-за неправильной постановки задачи. Давно известно, что правильно заданный вопрос - это половина ответа.

По-моему, постановка задачи ясна. Если бы было всё так просто и была создана абсолютно универсальная модель, то не "извращались" бы с теми же "окнами". Повторюсь, целью вопроса было "прощупывание современной почвы" в данном направлении. За спрос, как говорится, не бьют. В данном случае считаю, что спрашивать надо обширнее, а уж что достанется в ответ, тому и будешь рад. Информации для анализа больше будет.

Я много времени провел за изучением функционального анализа. Представление функции в виде разложения по какому либо ряду - хорошо изучено.
И вроде бы серьезной альтернативы еще не встречал.

Всё это хорошо, если:
а) известна экспериментальная зависимость функции;
б) если работать в узких "окнах" изменения аргумента при неизвестной априори, но предполагаемой зависимости.

Ну вроде эти ваши а и б полностью описывают случаи которые встречаются на практике. Функция y=x, если х - рациональное, y=0, если х - нерациональное уже вроде бы не финитна.

Прошу прощения, насчет финитности я что-то некорректно выразился. Финитен диапазон определения функции. Т. е., также как при использовании "окон", на краях интервала определения функции может наблюдаться эффект Гиббса.

мое ИМХО
это слишком спорное утверждение
все дело в том что если ввести некое понятие оптимальности
то в этом смысле правильный ряд может оказаться не оптимальным=неправильным

например
возьмем функцию sin(x) на отрезке [0; ПИ]
если вы ее разложите в ряд тейлора относительно 0 то ваш ряд будет существенно сложнее(больше потребуется степеней) при одинаковой точности приближения
чем если аппроксимировать квадратичным полином на этом же участке

поэтому можно утверждать о серьезной альтернативе

Это все равно один подход. Разложение в какой бы то ни было ряд.

У меня перед глазами книга Розов А. К. "Стохастические дифференциальные уравнения" там аппарат стохастических д.у.
позиционируется как альтернатива традиционным корреляционно спектральным методам. Книгу правда я еще не начал читать,
это во введении написанно.

я про то что критерий правильности ряда может говорить о том что ряд неправильный - при его правильности
с точки зрения теории вообще
но представление делается то другим способом
то есть как бы функции почти теже самые но эффект совсем другой
ведь важно не только написать формулу - но важно и правильно иметь возможность ее вычислить
ну вообщем я скатываюсь к теме которую надо обсуждать в курилке
так как она прямого отношения к математике не имеет - а имеет отношение что есть правильно и что есть неправильно

Разумеется!

Вы в каком виде эту зависимость получаете в ходе эксперимента? В виде таблицы?

Вот.

PS На любой вопрос дам любой ответ.

PPS Все остальное - это лишь методы сжатия этой экспериментальной таблицы с использованием некой апроирной информации. Нет априорной информации - нет и сжатия.

В виде таблицы "смесь" того, что нужно описать не табличными, а параметрическими моделями. Т. е. для определения коэффициентов разложения того, что нужно описать моделями, нет даже табличной зависимости.

То, что там "смесь" - это уже некоторая модель, основанная на некотором априорном знании.

Априорное знание - известное соотношение между "смешанными".

Теория говорит, что любое априорное знание можно использовать для сжатия таблицы.
Если же оно реально есть. Вы же вначале говорили про произвольные функции? Чем функция менее произвольна - тем сильнее можно сжать экспериментальную таблицу.

Вы "сжимаете" известную табличную зависимость "смеси" и коэффициенты вычисляете, зная эту зависимость. А я не знаю даже табличных зависимостей того, что нужно представить моделью. Коэффициенты разложения неизвестных зависимостей необходимо "подогнать" таким образом, чтобы модель их "смеси" сопоставлялась с известной табличной зависимостью "смеси".

Генерируете экспериментальную таблицу случайным образом?
Тогда Вам читать про стохаистические модели.

Если бы я знал, чего я измеряю, то и вопросов бы не было!!!

Если не знаете, что измеряете, и хотите априорно сжать экспериментальную таблицу - тогда согласен, беда...
Поставьте ZIP - авось поможет.

Еще раз повторяю, что НИЧЕГО я не НЕ СЖИМАЮ!!! Вопос в наиболее универсальной параметрической модели, которая может описать различные зависимости лишь соответствующим изменением числовых значений своих коэффициентов. Грубо говоря, нужно чтобы, например, синусоидальная и косинусоидальная зависимости моделировались одним рядом, но с различными значениями коэффициентов разложения. Потому, как я не знаю что у меня будет: cos или sin или еще что-то.

Еще раз повторю. Именно хотите сжимать, даже если не догадываетесь об этом.

Может это как-то и можно свести к сжатию, но меня, по крайней мере пока, это не интересует и никаких повторяющихся последовательностей "выдергивать" мне не нужно. А наш с Вами диспут переродился в бесполезный неконструктивный флуд. Так что предлагаю далее не заниматься выяснением того, что тут происходит: сжатие/несжатие или еще чего!!!

Зря. Сжатие - это не только "выдергивание повторяющихся последовательностей". Сжатие в общем случае - это сокращение описания с использованием априорных знаний. Вас же не устраивает просто экспериментальная таблица как универсальное представление результатов эксперимента? Чем? Размерами? Все-таки хотите меньше коэффициентов? Ну а хотя бы то, что таблица уже является тем "конечным представлением", о котором Вы спрашивали первоначально - Вы уже осознали?

Почитайте мои посты с постановкой задачи! Как оптимизировать табличное представление?