Можно ли вычислить интеграл? Где посмотреть?, Чистая математика Опции

[Дмитрий_Б]

В приложении формула.

Эскизы прикрепленных изображений

 

[Serge V Iz]

Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено.

[blackfin]

Преобразование Гильберта

[Дмитрий_Б]

Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено.

Похоже. Ну, положим, там дельта - функция. А на остальной оси?

Преобразование Гильберта

Да. Но как его брать?

[blackfin]

Да. Но как его брать?

ЕМНИП, через вычеты.

У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши.

Метод такой:

Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.

По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.

Вычет в точке x = 0 равен нулю.

Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.

Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.

Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x², оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.

Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.

Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.

В итоге получаете:

ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.

Если ничего не напутал..

[Дмитрий_Б]

ЕМНИП, через вычеты.

У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши.

Метод такой:

Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.

По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.

Вычет в точке x = 0 равен нулю.

Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.

Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.

Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x², оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.

Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.

Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.

В итоге получаете:

ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.

Если ничего не напутал..

Идея понятна.
Есть тут неприятность: теорема о вычетах требует, чтобы на контуре интегрирования не было полюсов - а они как раз на действительной оси.
Нас интересует интеграл вдоль действительной оси - это должно быть нижней стороной контура при обычном обходе против часовой стрелки.
Другие стороны (будь то прямоугольник или пол-окружности) должны быть бесконечно удалены от 0. Метод работает, если подинтегральная функция комплексного аргумента стремится по модулю к 0 при стремлении к бесконечности модуля комплексного аргумента.
И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается.

И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.

[blackfin]

И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.

Ну, там со сменой направления интегрирования не все так просто, как выяснилось..

И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается.

Экспоненциальный рост функции sin(x) при x -> 0±i*∞ при указанном выше пути интегрирования нас, вроде, волновать не должен.

[blackfin]

В итоге получается так:
[attachment=113606:Hilbert_1.jpg]
[attachment=113607:Hilbert_2.jpg]
UPD: Исправил ошибки..

То есть, искомый интеграл равен:

I(ω) = pi*[1- cos(ω)]/ω.

[mcheb]

В приложении формула.

Если w -> Real ,то не сходится

[blackfin]

Если w -> Real ,то не сходится

Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю.

PS. Кстати, формула, похоже, верна и в точке ω = 0.

[mcheb]

Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю.

Для такого y = inline ("sin(x)/x/(3-x)");
[q, ier, nfun, err] = quad (y,-1000000000., 1000000000.)
Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP

[blackfin]

Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP

А она умеет вычислять главное значение интеграла по Коши?

PS. Кстати, в английской версии Wiki есть табличка с готовыми формулами для преобразования Гильберта sinc-функции.

[thermit]

В итоге получается так:
[attachment=113602:Hilbert.jpg]

UPD: Полученный результат таки нужно поделить на два, так как путь интегрирования проходит через оба полюса.

То есть, искомый интеграл равен:

I(ω) = [1+ cos(ω)]/[2*ω].

Не правильно.

[blackfin]

Не правильно.

Исправил. См. выше..

[thermit]

Да.

[mcheb]

А она умеет вычислять главное значение интеграла по Коши?

PS. Кстати, в английской версии Wiki есть табличка с готовыми формулами для преобразования Гильберта sinc-функции.

Wolfram Matematica выдала
"Integral of Sin[x]/(3*x-x^2) does not converge on {-\[Infinity],\\[Infinity]}. "
Для функции Sin[x]/(x*(3-x))
Ну она то точно умеет вычислять главное значение интеграла по Коши

Но похоже как-то по-своему делает. Всегда сходится

Сообщение отредактировал mcheb - Jul 18 2018, 11:20

[thermit]

Wolfram Matematica выдала
"Integral of Sin[x]/(3*x-x^2) does not converge on {-\[Infinity],\\[Infinity]}. "
Для функции Sin[x]/(x*(3-x))
Ну она то точно умеет вычислять главное значение интеграла по Коши

Но похоже как-то по-своему делает. Всегда сходится

Такой тупняк маткад вычисляет легко.

[Дмитрий_Б]

В итоге получается так:
[attachment=113606:Hilbert_1.jpg]
[attachment=113607:Hilbert_2.jpg]
UPD: Исправил ошибки..

То есть, искомый интеграл равен:

I(ω) = pi*[1- cos(ω)]/ω.

Спасибо за помощь.
Тоже нашел ответ в справочнике 1974г.
К стати, я правильно понял, что интеграл по полуокружности на самом деле брать не надо, он в 2 раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить?

Сообщение отредактировал Дмитрий_Б - Jul 18 2018, 15:26

[thermit]

Спасибо за помощь.
Тоже нашел ответ в справочнике 1974г.

Вообще-то в институтах даже я, троечник, получил свою тройку на экзамене по тфкп только за то, что бодро решил похожий интрегал в присутствии экзаменатора. Это реально примитив.

[blackfin]

.. Это реально примитив.

Так, если бы не посредственности, был бы у вас повод заявить миру о своей гениальности?..

Кстати, я правильно понял, что интеграл по полуокружности на самом деле брать не надо, он в 2 раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить?

Да, "интеграл по полуокружности в два раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить"..

Можно было с самого начала выбрать контур, внутри которого вообще нет полюсов.

Но мне показалось, что будет полезно показать взаимосвязь между вычетами и интегралами вдоль вещественной оси..

[thermit]

Так, если бы не посредственности, был бы у вас повод заявить миру о своей гениальности?..

Не. Это не мое. Я махровый троечник, читай - посредственность. А хрень про интегралы можно прочитать практически в любом учебнике по тфкп совершенно бесплатно ну и возгордиццо, если очень нужно.

Но мне показалось, что будет полезно показать взаимосвязь между вычетами и интегралами вдоль вещественной оси..

И вот про это тоже.

[Stanislav]

Вообще-то в институтах даже я, троечник, получил свою тройку на экзамене по тфкп только за то, что бодро решил похожий интрегал в присутствии экзаменатора. Это реально примитив.

Наверное, так.
Для тех, кто что-то ещё помнит. Я, к стыду своему, уже почти не.
Хоть и "государственную" по ТФКП получил, скорей, по невезению.
"Бытие определяет сознание" (с).

[Hale]

я вот тоже с интегралами по контурам плохо дружил, а сейчас еще и забыл все к черту:

В итоге получается так:
[attachment=113606:Hilbert_1.jpg]
[attachment=113607:Hilbert_2.jpg]
UPD: Исправил ошибки.. biggrin.gif

А тут аттачменты отвалились и я почитать не могу :-(

По поводу Махимы (идеологический аналог Вольфрама): Может, но тупит.
Например, чтобы посчитать этот интеграл надо форсировать алгоритм БЕЗ анализа вычетов.
integrate(sin(x)/(x*(w-x)), x, minf, inf),intanalysis:false;
-(%pi*cos(w)-%pi)/w

Но я не уловил как правильно выглядит сам вывод.

==========================================

Разобрался. Интеграл решается "в лоб", без высшей математики.
Подинтегральное выражение разделяете на части, так чтобы в знаменателях было по одному иксу.
Тогда получается (cos(w)SI(x-..)+sin(w)CI(x-..)-SI(x) )/w+C, подставляете пределы, смотрите в справочник:
CI(inf)=0,
SI(inf)=%pi/2
SI(minf)=-SI(inf), отсюда pi/2 становится pi в множителе.

Никаких вычетов.

@mcheb, quad - численный интегратор. Хоть вы и подставляете туда аналитическую "функцию", в действительности y становится просто указателем на "безымянную" функцию, и Октаве глубоко пофигу как она выглядит внутри. Отсюда и ошибки. К тому же quad наименее точный интегратор из всего пакета. Инструменты для аналитической математики в Октаве есть только на предопределенный формат для подставляемых коэффициентов, и все так же фактически численные алгоритмы.

[blackfin]

Разобрался.
...
Тогда получается (cos(w)SI(x-..)+sin(w)CI(x-..)-SI(x) )/w+C, подставляете пределы, смотрите в справочник:
...
Никаких вычетов.

Можете привести подробный вывод этой формулы?

Хотелось бы понять, как вам удалось перейти от несобственного интеграла с бесконечными пределами к интегралам с переменными верхним и нижним пределами интегрирования: Si(x) и Ci(x) ?

Если используется предельный переход, то хотелось бы также увидеть его обоснование..

[Hale]

да нет никаких обоснований. я же дилетант и делаю все в лоб и неправильно через неопределенные интегралы

INT(sin(x)/(x*(w-x)), dx)=
INT( sin(x)/(w*x) + sin(x)/(w*(w-x)) , dx)

С первой частью все понятно, откладываем до взятия пределов.
Далее

INT( sin(x)/(w-x) , dx): замена u=w-x (пределы все равно останутся плюсминус бесконечность; чи не контур и не вектор, направления нет)

INT( sin(w-u)/u , du)= sin(w)*INT(cos(u)/u, du)-cos(w)*INT(sin(u)/u,du)

Опять, SI(±∞) и CO(±∞), значения приведены ранее. Т.е. интегральный косинус можно отбросить сразу с его множителем. Останется косинус параметра при интегральном синусе, и удвоенный инт. синус в добавке. Все это поделено на параметр в общем знаменателе.

Может грубо и неверно, но результат должен получиться ранее указанный.

[blackfin]

Опять, SI(±∞) и CO(±∞), значения приведены ранее.

Что такое "CO(±∞)" ? Определение приведите, плиз..

[Дмитрий_Б]

да нет никаких обоснований. я же дилетант и делаю все в лоб и неправильно через неопределенные интегралы

INT(sin(x)/(x*(w-x)), dx)=
INT( sin(x)/(w*x) + sin(x)/(w*(w-x)) , dx)

С первой частью все понятно, откладываем до взятия пределов.
Далее

INT( sin(x)/(w-x) , dx): замена u=w-x (пределы все равно останутся плюсминус бесконечность; чи не контур и не вектор, направления нет)

INT( sin(w-u)/u , du)= sin(w)*INT(cos(u)/u, du)-cos(w)*INT(sin(u)/u,du)

Опять, SI(±∞) и CO(±∞), значения приведены ранее. Т.е. интегральный косинус можно отбросить сразу с его множителем. Останется косинус параметра при интегральном синусе, и удвоенный инт. синус в добавке. Все это поделено на параметр в общем знаменателе.

Может грубо и неверно, но результат должен получиться ранее указанный.

Браво!
Красивый и простой вывод!

[Hale]

Что такое "CO(±∞)" ? Определение приведите, плиз..

Вы правы. Это мое дилетантство, забыл уже университетский курс. Правильно интегральный косинус обозначают Ci(x). Ну а плюсминусбесконечность, думаю понятно.