Корреляционная матрица, Технология расчета, получение из корр матрицы корр функции Опции

[AMih]

Народ, добрый день. Вопрос по корреляционным матрицам.
Есть матрица наблюдений : столбцы ( N штук) - наблюдаемые параметры (или объекты), строки (M штук)- выборки значений по этим параметрам. Моменты получения отсчетов здесь не рассматриваем, интересует собственно технология расчета коэффициентов корреляции.
Итак: берем 1 столбец и последовательно считаем выборочный коэффициент корреляции со всеми остальными столбцами, получили первую строку корреляционной матрицы, N штук коэффициентов с индексами от [1,1] до [1,N].
2 столбец: повторяем то же самое, получаем (N-1) коэффициентов с индексами [2,2]....[2,N] . Коэфф корреляции для сочетания факторов 2,1 записываем на место [2,1], R[2,1]=R[1,2]
И так далее - тут все понятно.
Теперь надо посчитать матрицу автокорреляции для выборки размером 1..N (серия временных отсчетов параметра). Матрица должна быть N x N :
[1,1] = X1*X1 + X2*X2+...Xn*Xn
[1,2]= X1*X2 + X2*X3+...Xn-1*Xn
....................................................
[1,N]= X1*Xn
И вот здесь вопрос - как считать 2 и последующие строки ?
Можно ли (и как?) из корр матрицы получить корр функцию?

[Xenia]

Есть матрица наблюдений : столбцы (N штук) - наблюдаемые параметры (или объекты), строки (M штук)- выборки значений по этим параметрам. Моменты получения отсчетов здесь не рассматриваем, интересует собственно технология расчета коэффициентов корреляции.

Если ваша матрица наблюдений размером NxM, то умножьте ее на себя саму транспонированную и получите продукт размерностью NxN, который и будет искомой корреляционной матрицей (а если не знаете, как перемножаются матрицы, то можете справиться о том в Википедии). Хотя я полагаю, что такую матрицу положено называть ковариационной, а чтобы получить корреляционную, нужно предварительно модифицировать матрицу наблюдений, вычтя из каждой строки среднее по это строке (т.е. искусственно приведя каждую строку к нулевому среднему).

Можно ли (и как?) из корр матрицы получить корр функцию?

А вот этого я себе как-то не представляю . На мой взгляд, корреляционная функция относится к конкретной паре параметров, у вас их много. Поэтому ответить на эту часть вопроса я предоставлю кому-нибудь другому.

[AMih]

то можете справиться о том в Википедии).

Ребяты, не будем уходить от заявленной темы - основной вопрос : автокорреляционная матрица по выборке размером N. Чуть предъистории - речь об оптимальном обнаружении сигнала на фоне коррелированной помехи.
В литературе (Левин, Стат. радиотехника, Ван-Трис) пользуют корреляционную матрицу помехи (я понимаю - все-таки автокорреляционную). Бывает, что говорят об усредненной корреляционной матрице. По варианту, предлагаемом Вами, расчет матрицы ведется по набору N выборок размером 1 x N. То есть, на другом наборе, скорее всего, результат будет отличаться от первого. И ценность всего действа - чуток.Я полагал, что расчет матрицы ведется по каждой реализации, а затем проводится их усреднение (уходим от доказательства стационарности процесса). Это - предистория. Вопрос прежний - как считать автокорреояционную матрицу по выборке 1 х N ? Или я не правильно понимаю, что имеется в виду под корреляционной матрицей помехи ?

[Xenia]

Ребяты, не будем уходить от заявленной темы - основной вопрос : автокорреляционная матрица по выборке размером N.

Ах, вам не корреляционная матрица нужна, а автокорреляционная! Сами виноваты, когда писали в топовом собщении "Народ, добрый день. Вопрос по корреляционным матрицам" и "получили первую строку корреляционной матрицы". Коореляционная и автокорреляционная матрица - разные вещи. Оттого и мой ответ вам оказался невпопад. Исправляюсь.

Если при переходе к следующему элементу первой строки вы увеличивали индекс при втором сомножителе:

[1,1] = X1*X1 + X2*X2 + ... + Xn*Xn
[1,2] = X1*X2 + X2*X3 + ... + Xn-1*Xn
....................................................
[1,N] = X1*Xn

то при переходе к следующей строке, надо увеличивать индекс еще при ПЕРВОМ сомножителе:

[2,1] = X2*X1 + X3*X2 + ... + Xn*Xn-1
[2,2] = X2*X2 + X3*X3 + ... + Xn*Xn
....................................................
[2,N] = X2*Xn

А в общем случае:

[i,j] = X_i*X_j + X_i+1*X_j+1 + X_i+2*X_j+2 + ... + и т.д. до тех пор (включительно), пока любой из индексов не достигнет n

При этом для всех диагональных элементов автокорреляционной матрицы индексы сомножителей будут совпадать. Например:

[5,5]= X5*X5 + X6*X6 + ... + Xn*Xn

Именно поэтому с увеличением доли белого шума автокорреляционная матрица получает всё большее диагональное преобладание. А для чистого белого шума она должна стать близкой к диагональной.