|
Условие задачи:
Имеется полезный сигнал в виде дискретной числовой последовательности
V1, V2, V3, ..., Vn
из n элементов, которую мне приятнее называть вектором, но кому-то, возможно, будет приятнее воспринимать ее как равнопериодическую последовательность отсчетов АЦП, закладываемых в массив.
Эффект эха состоит из прибавления к полезному сигналу его самого, умноженного на некий ослабляющий коэффициент k и сдвинутого на несколько позиций вправо. Величина этого сдвига заранее известна и определять ее не надо! Скажем, пусть этот сдвиг равен двум.
Тогда измеряемая (известная) последовательность P, состоящая из смеси полезного сигнала с его эхом, будет выглядеть так:
V1, V2, V3+kV1, V4+kV2, V5+kV3, ... , Vi+kVi-2, ... , Vn+kVn-2, kVn-1, kVn
т.е. первые два элемента получаются чистыми, а начиная с третьего элемента начнет помешиваться ослабленный сигнал из прошлого. В самом же конце, когда сигнал закончится, еще дважды прозвучит чистое эхо. Итого в этой последовательности n+2 элемента, и все они известны, поскольку измеряемы.
Вопрос:
Возможно ли из известной последовательности P, представляющей собой сумму полезного сигнала с его эхом, выделить полезный сигнал в чистом виде? При этом коэффициент ослабления k тоже неизвестен. Решение подразумевается в смысле наименьших квадратов, поскольку достаточно очевидно, что задача переопределена.
Решаема ли такая задача в принципе? С карандашом и бумагой она легко решается для n=3, чуть потяжелее для n=4, и совсем непонятно как при n=5. Имеет ли эта задача решение хотя бы для n=10, а лучше при любом n? И если да, то как ее решать?
По крайней мере, к линейной матричной задаче мне ее свести не удалось, т.к. из-за неизвестности коэффициента ослабления k неизвестные не удается отделить от постоянных коэффициентов. Вот и вынуждена обратиться к коллективному разуму за помощью.
|
Очистка сигнала от эха, в математической постановке задачи
Dec 12 2012, 02:44
