Очистка сигнала от эха, в математической постановке задачи Опции

[Xenia]

Условие задачи:
Имеется полезный сигнал в виде дискретной числовой последовательности
V₁, V₂, V₃, ..., V_n
из n элементов, которую мне приятнее называть вектором, но кому-то, возможно, будет приятнее воспринимать ее как равнопериодическую последовательность отсчетов АЦП, закладываемых в массив.

Эффект эха состоит из прибавления к полезному сигналу его самого, умноженного на некий ослабляющий коэффициент k и сдвинутого на несколько позиций вправо. Величина этого сдвига заранее известна и определять ее не надо! Скажем, пусть этот сдвиг равен двум.

Тогда измеряемая (известная) последовательность P, состоящая из смеси полезного сигнала с его эхом, будет выглядеть так:

V₁, V₂, V₃+kV₁, V₄+kV₂, V₅+kV₃, ... , V_i+kV_i-2, ... , V_n+kV_n-2, kV_n-1, kV_n

т.е. первые два элемента получаются чистыми, а начиная с третьего элемента начнет помешиваться ослабленный сигнал из прошлого. В самом же конце, когда сигнал закончится, еще дважды прозвучит чистое эхо. Итого в этой последовательности n+2 элемента, и все они известны, поскольку измеряемы.

Вопрос:
Возможно ли из известной последовательности P, представляющей собой сумму полезного сигнала с его эхом, выделить полезный сигнал в чистом виде? При этом коэффициент ослабления k тоже неизвестен. Решение подразумевается в смысле наименьших квадратов, поскольку достаточно очевидно, что задача переопределена.

Решаема ли такая задача в принципе? С карандашом и бумагой она легко решается для n=3, чуть потяжелее для n=4, и совсем непонятно как при n=5. Имеет ли эта задача решение хотя бы для n=10, а лучше при любом n? И если да, то как ее решать?

По крайней мере, к линейной матричной задаче мне ее свести не удалось, т.к. из-за неизвестности коэффициента ослабления k неизвестные не удается отделить от постоянных коэффициентов. Вот и вынуждена обратиться к коллективному разуму за помощью.

[DRUID3]

Я не такой образованный и умный как fontp, но, думаю вижу как это можно решить "в лоб" ...

Вопрос:
Возможно ли из известной последовательности P, представляющей собой сумму полезного сигнала с его эхом, выделить полезный сигнал в чистом виде? При этом коэффициент ослабления k тоже неизвестен. Решение подразумевается в смысле наименьших квадратов, поскольку достаточно очевидно, что задача переопределена.

Как я уже упомянула выше, пропустить тестовый сигнал через данный канал связи я не в силах. Будь иначе, то задача решалась бы много проще посредством выявления у системы переходной функции. Кроме того, это не "канал связи" порождает эхо, а эхо возникает внутри самого излучателя сигнала, будучи производимым чем-то вроде внутреннего отражателя, сопутствующего природе излучателя.

...тогда мостовая(компенсирующая) схема включения с моделью и даже не оптимизация(генетические там или градиентные алгоритмы) - полуслепой поиск модели, одномерный подбор k. По-сути Вам то нужно подобрать один единственный коэффициент - задержка то задана.