Устойчивость фильтра, Не понятно терминологически Опции

[alexast]

Уважаемые коллеги!
"Важное замечание. Для физически реализуемого устойчивого фильтра необходимо чтобы все его полюсы лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости . При этом если - передаточная функция устойчивого и физически реализуемого фильтра, т.е. все полюса лежат в левой полуплоскости, то все полюса функции лежат в правой полуплоскости и фильтр с передаточной характеристикой не представляет интереса, так как он неустойчив или физически не реализуем" (http://www.dsplib.ru/content/filters/ch1/ch1.html).
Не могли прояснить вопрос, что понимается под устойчивостью? Поясню вопрос- речь идёт для начала о пассивном фильтре. Что будет происходит для активного фильтра если он окажется не устойчивым - могу предположить перейдёт в режим автогенерации. А вот что имеется ввиду под устойчивостью для пассивного фильтра?
Заранее спасибо с уважением Алексей.

[Alexashka]

Для физически реализуемого устойчивого фильтра необходимо чтобы все его полюсы лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости . При этом если - передаточная функция устойчивого и физически реализуемого фильтра, т.е. все полюса лежат в левой полуплоскости, то все полюса функции лежат в правой полуплоскости и фильтр с передаточной характеристикой не представляет интереса, так как он неустойчив или физически не реализуем"
Не могли прояснить вопрос, что понимается под устойчивостью?

Легко понять если посмотреть что делает преобразование Лапласа. По сути это преобразование Фурье, только более мощное: если Фурье использует в качестве ортогонального разложения набор гармонических функций (грубо говоря синусоид с постоянной амплитудой и разной частотой), то у Лапласа уже и амплитуда может меняться, поскольку кроме jw в аргументе есть еще альфа. Вынося ее наружу можно записать как exp(alpha*t)*exp(jw*t). Второй множитель как и у Фурье -это гармонический сигнал, а первый определяет его амплитуду - нарастающую или спадающую по экспоненте с течением времени.
Комплексная экспонента (w=100)

Так вот если взять самый простой фильтр с передаточной х-кой с 1 полюсом: H(s)=1/(s-sp) и допустим полюс у нас на нулевой частоте (sp = alpha0), т.е. H(s) = 1/(s-alpha0). Обратное преобразование Лапласа для такой передаточной функции даст его импульсную х-ку: h(t) = exp(alpha*t). Отсюда видно, что при альфа<0 переходная х-ка фильтра спадает со временем к нулю, а при альфа>0 неограниченно возрастает, т.е. такой фильтр неустойчив.
Поэтому действительные части полюсов (альфы) должы быть отрицательны, т.е на комплексной плоскости полюсы должны находиться в левой полуплоскости.

[alexast]

Легко понять если посмотреть что делает преобразование Лапласа. По сути это преобразование Фурье, только более мощное: если Фурье использует в качестве ортогонального разложения набор гармонических функций (грубо говоря синусоид с постоянной амплитудой и разной частотой), то у Лапласа уже и амплитуда может меняться, поскольку кроме jw в аргументе есть еще альфа. Вынося ее наружу можно записать как exp(alpha*t)*exp(jw*t). Второй множитель как и у Фурье -это гармонический сигнал, а первый определяет его амплитуду - нарастающую или спадающую по экспоненте с течением времени.
Комплексная экспонента (w=100)

Так вот если взять самый простой фильтр с передаточной х-кой с 1 полюсом: H(s)=1/(s-sp) и допустим полюс у нас на нулевой частоте (sp = alpha0), т.е. H(s) = 1/(s-alpha0). Обратное преобразование Лапласа для такой передаточной функции даст его импульсную х-ку: h(t) = exp(alpha*t). Отсюда видно, что при альфа<0 переходная х-ка фильтра спадает со временем к нулю, а при альфа>0 неограниченно возрастает, т.е. такой фильтр неустойчив.
Поэтому действительные части полюсов (альфы) должы быть отрицательны, т.е на комплексной плоскости полюсы должны находиться в левой полуплоскости.

Коллеги, всем преогромнейшее спасибо. Особенно Alexashke. Беру тайм аут на обдумывание математики. Но по большому счёту я получил ответы на свои вопросы.
Ещё раз огромнейшее спасибо.
С уважением Алексей.