Элементы линейной алгебры в реальной жизни Опции

[marknb]

Как связать математику и жизнь, а именно линейную алгебру.

Предположим есть простая школьная задача

Известно
1 час со скоростью Х и 2 часа со скоростью У прошел 50 км
3 часа со скоростью Х и 4 часа со скоростью У прошел 120км
Требуется найти скорости Х и У

Теперь есть желание описать условие и решение этой задачи через разные понятия линейной алгебры.

Из условия задачи естественным способом вытекает математическая запись в виде системы линейных уравнений

1*Х+2*У=50
3*Х+4*У=120

С другой стороны также известно, что линейную комбинацию векторов можно записать в виде системы уравнений, и соответственно логично, что линейную систему можно интерпретировать как линейную комбинацию неких векторов. Оставаясь на абстрактном уровне математики связка линейная комбинация - линейная система понятны. Но как исходную формулировку, которая изначально относится к описанию задачи языком системой линейных уравнений можно описать уже тем языком, который задачу описывает через линейную комбинацию векторов, и опираясь не на некую абстрактную математику, а опять же что-то на исходную физическую интерпретацию, когда в качестве описания задачи мы используем скорости, расстояния. На первый взгляд получается какая-то тарабращина – мы складываем два вектора, координаты которых измеряются часами и вдруг в этой же системе координат получаем вектор, который уже описывается другой системой координат – расстоянием. Абстрактно сложить два вектора и получить третий понятно, при этом при абстрактном подходе не возникает вопроса про изменение размерности системы координат, а при рассмотрении конкретной простой школьной задачи получается непонятная подмена, трансформация.

Х*[1 3]'+ У*[2 4]'=[50 120]' линейная комбинация векторов

Вектор с координатами один час и три часа складываем с вектором с координатами 2 и 4 часа и получаем вектор с координатами 50 и 120 км.

То есть, как не теряя исходную физическую интерпретацию одну и ту же задачу непротиворечиво описать
и системой уравнений и линейной комбинацией векторов?

[adnega]

Для начало нужно отличать "векторные" и "не векторные величины".
Яблоки, как и длина пути - это не векторные величины. Зачем их складывать как вектора? В надежде на что?
Сложите модули и получите правильный ответ. И помните, что базис у вас в общем случае не нормированный.

[marknb]

Для начало нужно отличать "векторные" и "не векторные величины".
Яблоки, как и длина пути - это не векторные величины. Зачем их складывать как вектора? В надежде на что?
Сложите модули и получите правильный ответ. И помните, что базис у вас в общем случае не нормированный.

Для озвученной в качестве примера система правильная?
1*Х+2*У=50
3*Х+4*У=120

Если система составлена правильно, то мы имеем право представить ее альтернативным тождественным способом в виде
Х*[1 3]'+ У*[2 4]'=[50 120]' ?

Если имеем право так представить, то математически записав задачу в таком виде как ее можно можно озвучить с учетом именно этой формы записи?

Если в случае row звучит понятно (общий путь равен сумме двух путей с разными скоростями ), то в случае column получается, что складываем некий вектор [1 3]' и вектор [2 4]'. Если вектор скорости, силы понятно что, то что могут означать эти вектора, чьи координаты в данном случае просто время?

Аналогично эту же задачу (исходную систему) можно описать в виде (матрица на вектор)

1 2 Х 50
3 4 У 120

что в итоге говорит о том, что dot произведение векторов [1 2] и [х у] равно 50 и [3 4] и [х у] равно 120, то есть находим угол между некими векторами, которые сформированы из времени и векторами из скорости. Как в этом случае будет звучать исходная задача? Когда в качестве матрицы у нас отсчеты комплексной экспоненты, а в качестве вектора отсчеты сигнала, то физика процесса вроде бы понятна - находим проекции входного сигнала на вектора, базис, представленный в матрице, то есть раскладываем сигнал в том или ином базисе (или просто в неком наборе векторов). А здесь находим проекцию вектора скорости на вектор времени?, что-то не то, а как то - не понимаю.

В целом и общем речь не идет о скорости, времени, расстоянии, просто выбрано в качестве некого простого примера, на котором можно было бы посмотреть, что несмотря на то, что исходная задача может быть представлена в различной форме, при этом физическая, логическая сущность задачи не меняется.