Элементы линейной алгебры в реальной жизни Опции

[marknb]

Как связать математику и жизнь, а именно линейную алгебру.

Предположим есть простая школьная задача

Известно
1 час со скоростью Х и 2 часа со скоростью У прошел 50 км
3 часа со скоростью Х и 4 часа со скоростью У прошел 120км
Требуется найти скорости Х и У

Теперь есть желание описать условие и решение этой задачи через разные понятия линейной алгебры.

Из условия задачи естественным способом вытекает математическая запись в виде системы линейных уравнений

1*Х+2*У=50
3*Х+4*У=120

С другой стороны также известно, что линейную комбинацию векторов можно записать в виде системы уравнений, и соответственно логично, что линейную систему можно интерпретировать как линейную комбинацию неких векторов. Оставаясь на абстрактном уровне математики связка линейная комбинация - линейная система понятны. Но как исходную формулировку, которая изначально относится к описанию задачи языком системой линейных уравнений можно описать уже тем языком, который задачу описывает через линейную комбинацию векторов, и опираясь не на некую абстрактную математику, а опять же что-то на исходную физическую интерпретацию, когда в качестве описания задачи мы используем скорости, расстояния. На первый взгляд получается какая-то тарабращина – мы складываем два вектора, координаты которых измеряются часами и вдруг в этой же системе координат получаем вектор, который уже описывается другой системой координат – расстоянием. Абстрактно сложить два вектора и получить третий понятно, при этом при абстрактном подходе не возникает вопроса про изменение размерности системы координат, а при рассмотрении конкретной простой школьной задачи получается непонятная подмена, трансформация.

Х*[1 3]'+ У*[2 4]'=[50 120]' линейная комбинация векторов

Вектор с координатами один час и три часа складываем с вектором с координатами 2 и 4 часа и получаем вектор с координатами 50 и 120 км.

То есть, как не теряя исходную физическую интерпретацию одну и ту же задачу непротиворечиво описать
и системой уравнений и линейной комбинацией векторов?

[agregat]

Вы можете представить свою систему линейных уравнений в матричной форме и там же в матрицах ее решить.
Но вектора здесь ни при чем. Когда Вы говорите о векторах, то каждой колонке соответствует вектор направления.
Какое у Вас направление движения для колонки X? А для колонки Y?
У Вас движение идет всегда в одном направлении, значит вектора в Вашем случае не работают.
А вот если Вас буквы X и Y наталкивают на мысль что тут есть связи с векторами, тогда замените их на буквы m и t.
И не парьтесь.
Или начинайте работать с векторами честно. То есть Ваш объект двигался со скоростью 50 в направлении X такое то время,
затем он двигался со скоростью 100 в направлении Y такое то время. Надо определить направление и среднюю скорость
результата. И заметьте нельзя просто сложить скорости 50 и 100 без учета времени, либо надо их нормировать.
И тем более нельзя их складывать без учета направления.

[marknb]

Вы можете представить свою систему линейных уравнений в матричной форме и там же в матрицах ее решить.

А что такое матрица, это разве не есть набор векторов, или по крайне мере одна из тождественных интерпретаций содержимого матрицы?
Есть одна запись части задачи (первое уравнение), есть запись другой части задачи (другое уравнение). Есть некий мат аппарат в виде матриц, векторов. А на основании чего мы говорим, что суть нашей задачи такова, что ее можно описать языком матрицы? Только на основании того, что мы условие записали в неком виде, который в учебниках предлагают записать в виде матрицы, но совершенно не поясняя, что матричная сущность потому и потому то полностью соответствует духу нашей задачи?

Но вектора здесь ни при чем. Когда Вы говорите о векторах, то каждой колонке соответствует вектор направления.
Какое у Вас направление движения для колонки X? А для колонки Y?

Ну это как раз и не понимаю - с одной стороны пока никто не сказал, что я не имею права записать рассматриваемый пример в виде комбинации векторов (чисто по формальным признакам, как пишут в учебниках, что если есть система, то ее можно интерпретиовать и записать как комбинацию векторов), а с другой стороны на самом деле, что это за вектора получаются, что и куда направляют?, я не понимаю.

Или начинайте работать с векторами честно.

А что в предложенных мной записях нечестно? Для такой задачи не правильно составил систему линейных уравнений? Не правильно составленную систему записал в виде линейной комбинации векторов (которые правда не понимаю как интерпретировать)? И в результате неправильности не получится найти правильного ответа (скорость Х и скорость У в нашем случае)?