Элементы линейной алгебры в реальной жизни Опции

[marknb]

Как связать математику и жизнь, а именно линейную алгебру.

Предположим есть простая школьная задача

Известно
1 час со скоростью Х и 2 часа со скоростью У прошел 50 км
3 часа со скоростью Х и 4 часа со скоростью У прошел 120км
Требуется найти скорости Х и У

Теперь есть желание описать условие и решение этой задачи через разные понятия линейной алгебры.

Из условия задачи естественным способом вытекает математическая запись в виде системы линейных уравнений

1*Х+2*У=50
3*Х+4*У=120

С другой стороны также известно, что линейную комбинацию векторов можно записать в виде системы уравнений, и соответственно логично, что линейную систему можно интерпретировать как линейную комбинацию неких векторов. Оставаясь на абстрактном уровне математики связка линейная комбинация - линейная система понятны. Но как исходную формулировку, которая изначально относится к описанию задачи языком системой линейных уравнений можно описать уже тем языком, который задачу описывает через линейную комбинацию векторов, и опираясь не на некую абстрактную математику, а опять же что-то на исходную физическую интерпретацию, когда в качестве описания задачи мы используем скорости, расстояния. На первый взгляд получается какая-то тарабращина – мы складываем два вектора, координаты которых измеряются часами и вдруг в этой же системе координат получаем вектор, который уже описывается другой системой координат – расстоянием. Абстрактно сложить два вектора и получить третий понятно, при этом при абстрактном подходе не возникает вопроса про изменение размерности системы координат, а при рассмотрении конкретной простой школьной задачи получается непонятная подмена, трансформация.

Х*[1 3]'+ У*[2 4]'=[50 120]' линейная комбинация векторов

Вектор с координатами один час и три часа складываем с вектором с координатами 2 и 4 часа и получаем вектор с координатами 50 и 120 км.

То есть, как не теряя исходную физическую интерпретацию одну и ту же задачу непротиворечиво описать
и системой уравнений и линейной комбинацией векторов?

[marknb]

физическое явление корректно переводится на язык математики

Согласен, но в том то и фокус, как именно корректно перевести. Для этого надо понимать ключевую идею, заложенную в тот или иной аппарат, а вот с этим, по крайне мере в области линейной алгебры мне не всегда все ясно. Очень часто при рассмотрении того или иного вопроса авторы сперва как то описывают задачу «простыми» выражениями, потом говорят – а давайте теперь это запишем в векторном, матричном виде, потом из этой матрицы то выдергивают столбцы, то строки, что-то на их базе считают, начинают исследовать какие-то свойства шаманским способом полученной матрицы, находить проекции на какие то искусственно полученные вектора, которые непонятно что отражают в твоей исходной задаче и делать на основании этого какие-то выводы, решения. Или ситуации наоборот. Ты что-то решаешь, но тебе даже в страшном сне не приходит мысль, что это можно и даже удобно представить в виде матрицы, векторов и т.д.
Поэтому через некоторые простые примеры и пытаюсь разобраться.

Рассмотрим пример




В этом примере и один и другой вектор есть одна сущность – скорости, представление задачи в виде суммы двух векторов понятно. Есть два вектора, их можно сложить и получить третий вектор, опять же скорость. Если взять скалярное произведение этих векторов, то получим некое значение, которое будет говорить нам о том, что один вектор будет оказывать на итоговый результат действия другого вектора, то есть есть некая связь. Тоже логично и интерпретубельно. Но так же известно, что вектора можно умножать и векторно, когда на выходе не скаляр, а вектор. В данном примере что можно ожидать от векторного произведения, оно вообще допустимо? Если допустимо, то потенциально чем оно может быть полезно в данном случае?

Другой пример.




Это как раз ситуация, когда ну вообще не видится никаких предпосылок, чтоб задачу не то чтобы имеет смысл, удобно описать через вектора, а что вообще можно представить это через векторы и далее применять те или иные способы работы с векторами. Здесь один вектор получается точка в пространстве цена, другой вектор точка в пространстве количество. Чисто с формальной точки зрения, если я доверился тому, кто задачу представил векторами и для нахождения ответа применил скалярное произведение. Но если я вижу есть два вектора, то опять же чисто формально я говорю, что их можно сложить и получить третий вектор. Можно складывать эти вектора и если можно, то какую информацию будет нести получившийся суммарный вектор? А если эти вектора складывать низя (что вроде бы как разумно, так как их координаты имеют разные единицы измерений), то почему тогда их можно скалярно перемножать если каждый из них существует где-то в своем пространстве, которые непонятно как относительно друга ориентированы? И опять же, если можно их векторно перемножать, то какую информацию я могу ожидать получить через векторное умножение? И если в этом примере опять вернуться к скалярному умножению, то во всех учебниках тебя учат геометрической интерпретации скалярного умножения – дает представление об угловой ориентации исходных векторов. Но если в примере про скорости важность, сущность этого угла понятна, то в данном случае, что суммарный доход на самом деле есть какой-то угол совершенно не укладывается в голове.

[AndreyVN]

У Вас исходная задача одномерная, Вы искуственно ввели двухмерное пространство описания и мучаетесь с его интерпретацией - зачем?