Интеграл, Решение интеграла..помогите.. Опции

[Саша Z]

Буду благодарен за помощь в решении интеграла (в присоединенном файле).
Решение по идее должно содержать интеграл от Vin(t) (как описано в файле) (т.е. функция Vin(t) неизвеста, но достаточно присутствие ее интеграла в решении первичного интеграла).

Прикрепленные файлы

 Integral.doc ( 26.58 килобайт ) Кол-во скачиваний: 142

 

[Саша Z]

Спасибо.
По частям пробовал уже - не получил точного решения. Крутишься вокруг да около, но не приходишь в решению.
Я принципе мне достаточно решения где будет интеграл V(t), т.е. скажем для общей функции V(t). Тогда, зная конкретно-заданую V(t) получаем конечное решение.

Вообщем на данный момент, V(t) представляет собой сигнал прямоыгольных pulse train с определеной частотой и duty cycle.

[Oldring]

По частям пробовал уже - не получил точного решения. Крутишься вокруг да около, но не приходишь в решению.

Вы как-то не так сформулировали задачу.
Если речь идет про неопределенные интегралы, как у Вас написано - то по частям тривиально. Правда, там будет справа требуемый неопределенный интеграл в частности под другим неопределенным интегралом.

Если все-таки речь идет о выражении решения как функции от определенного интеграла от Vin с бесконечными пределами - то, очевидно, такое решение не существует. Рассмотрите Vin - дельта-функцию в какой-то координате времени. Тогда от изменения её положения интеграл от Vin не изменяется и любая функция от него будет оставаться постоянной. Но значение исходного интеграла, очевидно, при этом изменяется - если только a не равно 0.

[Саша Z]

Вы как-то не так сформулировали задачу.
Если речь идет про неопределенные интегралы, как у Вас написано - то по частям тривиально. Правда, там будет справа требуемый неопределенный интеграл в частности под другим неопределенным интегралом.

Если все-таки речь идет о выражении решения как функции от определенного интеграла от Vin с бесконечными пределами - то, очевидно, такое решение не существует. Рассмотрите Vin - дельта-функцию в какой-то координате времени. Тогда от изменения её положения интеграл от Vin не изменяется и любая функция от него будет оставаться постоянной. Но значение исходного интеграла, очевидно, при этом изменяется - если только a не равно 0.

Наснем с начала:
речь идет о простой цепочке RC (LPF) при том что Vin(t) подается на один конец резистора, Vo(t) сниаместя с конденсатора. Решая дифф. уравнение (уравнение первой степени) сей цепочки, под конец получил такой интеграл к решению.
Vin(t) в данном случае есть train прямоугольных пульсов с данной частотой и duty cycle.
Вы имеет ввиду наверно что решение может быть для конкретрного случая только, т.е. под конкретный Vin(t) и в заданных пределах, так ? Но не ввиде закрытого бесконечного интеграла Vin(t) ?

[Oldring]

Наснем с начала:
речь идет о простой цепочке RC (LPF) при том что Vin(t) подается на один конец резистора, Vo(t) сниаместя с конденсатора. Решая дифф. уравнение (уравнение первой степени) сей цепочки, под конец получил такой интеграл к решению.
Vin(t) в данном случае есть train прямоугольных пульсов с данной частотой и duty cycle.
Вы имеет ввиду наверно что решение может быть для конкретрного случая только, т.е. под конкретный Vin(t) и в заданных пределах, так ? Но не ввиде закрытого бесконечного интеграла Vin(t) ?

Ну так задача ведь классичаская, обсосанная во всех учебниках по теории цепей. Что может быть проще RC-цепи? Решение хорошо известно - это свертка входного сигнала с импульсной характеристикой линейной цепи. Эту свертку можно нередко вычислить через преобразование Лапласа. Но просто функцией от интеграла напряжения она в общем случае не является. Для конуретных входных сигналов её часто можно вычислить аналитически.

Что касается прямоугольных импульсов... решение тривиально. Если на входе RC-цепи - постоянное напряжение, то на выходе будет экспонента с постоянной времени, равной RC, стремящаяся к входному напряжению, и с некоторым начальным напряжением V0. Это решение находится тривиально решением дифура.

Vout = Vin - (Vin - V0) * exp( - t / RC )

На положительном и отрицательном фронтах выходное напряжение остается постоянным - оно не может имзмениться мгновенно. Vout в конце интервала постоянного напряжения равно V0 в начале следующего. Через полный период (два фронта) напряжение конденсатора должно прийти к первоначальному, если режим установившийся. То есть это "почти меандр" - с сильно заваленными фронтами. Из этого можно тривиально записать два неоднородных линейных уравнения с двумя неизвестными. И найти точное решение без всякого интегрирования.