Нелинейность функии, никак не соображу...конец рабочего дня видимо:) Опции

[Kris2007]

Есть f(1) , f(4), f(16), f(64). Рассчитать нелинейность функци f(x) x от 1 до 64. В %.

Не помню как не линейность считается и все тут

[UMP]

 LIN_D.rar ( 17.18 килобайт ) Кол-во скачиваний: 147
В продолжение темы. Прежде чем говорить о нелинейности таблично заданной функции необходимо сформулировать, так называемую "интерполяционную гипотезу", т. е. предположение о поведении функции при значениях аргумента в промежутках между табулированными значениями. Это, пожалуй наиболее тонкий момент, так как для формулировки гипотезы необходимо привлекать дополнительные сведения. Затем необходимо проанализировать данные на предмет случайной погрешности. Если случайная составляющая погрешности пренебрежимо мала, то для аппроксимации применяется наилучшее равномерное приближение. Примеры для этого случая в прикрепленном архиве. Если же случайная составляющая погрешности существенна, то применяют статистические методы аппроксимации, например метод наименьших квадратов, метод наименьших модулей, конфлюентные методы.

[Stanislav]

В продолжение темы. Прежде чем говорить о нелинейности таблично заданной функции необходимо сформулировать, так называемую "интерполяционную гипотезу", т. е. предположение о поведении функции при значениях аргумента в промежутках между табулированными значениями.

Об этом, собственно, и речь.
Только я бы назвал эту гипотезу "аппроксимационной". Потому, как интерполяционный полином существует, и только один (в данном случае, 3-го порядка).

Здесь неплохо было бы понимать что представляет собой например f(3),f(7),f(32) т.е f(n).
Если например f(1),f(2),f(3),f(4),..f(64) имеют линейный характер,но вы ,берете только f(1) , f(4), f(16), f(64),то это отдельный подход.

И в чём же его уникальность?

[Santy]

И в чём же его уникальность?

f(64)-f(16) более точно чем f(16)-f(4), а f(16)-f(4) более точно чем f(4)-f(1).

[Stanislav]

f(64)-f(16) более точно чем f(16)-f(4), а f(16)-f(4) более точно чем f(4)-f(1).

М-да?
А что Вы понимаете под точностью, в таком случАе?

Вроде бы автор не говорил ничего об области определения функции... А Вы про интерполяцию.
Может быть, она задана на конечном множестве целых числел? Для ответа на поставленный вопрос надо сначала дать определение расстояния между функциями (метрику) и определение нелинейности...

Tanya, прочитайте ещё раз условие и не вносите дополнительной путаницы, пожалуйста.
Если ставится именно интерполяционная задача, то она в свете определения из поста №4 (хотя, как мне кажется, оно нуждается в уточнении для реальных физических задач) решение имеет, и оно единственно.

[Tanya]

М-да?
А что Вы понимаете под точностью, в таком случАе?
Tanya, прочитайте ещё раз условие и не вносите дополнительной путаницы, пожалуйста.
Если ставится именно интерполяционная задача, то она в свете определения из поста №4 (хотя, как мне кажется, оно нуждается в уточнении для реальных физических задач) решение имеет, и оно единственно.

Ваш приказ выполнен. Докладываю:
Похоже, Вы забыли, что такое интерполяция... Автор недвусмысленно заявил, именно в 5-ом посте, что ЕГО функция определена на множестве 4 целых чисел.

[Stanislav]

Ваш приказ выполнен. Докладываю:
Похоже, Вы забыли, что такое интерполяция...

Отнюдь, помню. Вам же рекомендую освежить.
Функция задана множеством своих значений в 4-х опорных точках. Если речь идёт о именно о нелинейности, функция обязана быть определена и непрерывна на отрезке, по моему разумению. Границы отрезка даны - [1, 64]. По-моему, здесь всё ясно. Интерполяционная задача заключается в нахождении многочлена степени (не более) 3, имеющего значения в узловых точках, равные опорным значениям функции.
В противном случае, дайте своё определение нелинейности. А также свою постановку задачи интерполяции.

...Автор недвусмысленно заявил, именно в 5-ом посте, что ЕГО функция определена на множестве 4 целых чисел.

Ничего подобного он не писал. Более того, он сообщил, что ему нужно найти её значения на всём данном отрезке. Как именно это нужно делать - собственно, и суть вопроса.

Сообщение отредактировал Stanislav - Jan 16 2008, 09:39

[Tanya]

Отнюдь, помню. Вам же рекомендую освежить.
Функция задана множеством своих значений в 4-х опорных точках. Если речь идёт о именно о нелинейности, функция обязана быть определена и непрерывна на отрезке, по моему разумению. Границы отрезка даны - [1, 64]. По-моему, здесь всё ясно. Интерполяционная задача заключается в нахождении многочлена степени (не более) 3, имеющего значения в узловых точках, равные опорным значениям функции.
В противном случае, дайте своё определение нелинейности. А также своё определение задачи интерполяции.

Ничего подобного он не писал. Более того, он сообщил, что ему нужно найти её значения во всех точках {1,2,...,64} данного отрезка. Как именно это нужно делать - собственно, и суть вопроса.

Второй приказ выполнен. Освежите и Вы... Вот тут очень доступно написано. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%...%86%D0%B8%D1%8F
Ваши разумения про непрерывность и о том, что функция должна... наивны.... Автор писал, что имеется только 4 значения. Его функция определена на конечном множестве и не может быть непрерывной. И ни про какую интерполяцию не спрашивал. Это Вы придумали. Но неправильно. А спрашивал автор про аппроксимацию ЕГО функции линейной функцией, которая может рассматриваться также определенной только на этом множестве 4 чисел. И она тоже не обязана никому быть непрерывной. И не надо это тоже никому.
А надо автору определиться с метрикой, сначала..., которая и может рассматриваться как мера нелинейности. Только она (метрика) ведь может быть разной... от вкуса зависит...
А определение (степени) нелинейности можно давать самое разное... Вот можно через метрику. А Вы разве свое дали? Или есть общепринятый термин? Перечитайте пятый пост... Внимательно...

[Stanislav]

Второй приказ выполнен. Освежите и Вы... Вот тут очень доступно написано. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%...%86%D0%B8%D1%8F

Приводящий википедию в качестве аргумента, должен хотя бы разобраться в том, что там написано, дабы не прослыть невеждой.
Раскрываем, к примеру, Семендяева с Бронштейном (М. Наука, 1981).
На странице 663 (п.7.1.2.6. Интерполяция), читаем определение:

"Пусть на сегменте [a,b] заданы n+1 опорных (узловых) точек, a<=x0<x1<x2<...<xn<=b. Пусть, кроме того, заданы n+1 действительных чисел yj (о=0,1,...,n) (например, как значения функции f(x) в узловых точках. Тогда имеем следующую задачу интерполяции.
Найти многочлен In(x) степени не больше n такой, что In(xj)=yj для 0<=j<=n."

Интересно, что здесь может быть непонятного, и что в моих постах противоречит данному определению?

...Ваши разумения про непрерывность и о том, что функция должна... наивны....

Пожалуйста, не нужно о наивности, когда идёт речь идёт об элементарной математической грамотности.

...Автор писал, что имеется только 4 значения. Его функция определена на конечном множестве и не может быть непрерывной.

Tanya, не нужно домыслов. Где автор об этом писал?
Повторяю ещё раз: можно говорить только о нелинейности непрерывной на отрезке [1,64] функции, о чём и написал автор в посте №1. Которую можно найти, в частности, путём решения интерполяционной задачи.

...И ни про какую интерполяцию не спрашивал. Это Вы придумали.

Ничего я не придумывал. Просто предложил как один из подходов.
Автор же, как мне кажется, ещё не определился с тем, что же ему на самом деле нужно.

Но неправильно.

Правильно. См. в справочники.

А спрашивал автор про аппроксимацию ЕГО функции линейной функцией,

Игде спрашивал?
Может, прочитав мой пост №2, Вы скажете, что аппроксимацию я тоже "придумал"?

которая может рассматриваться также определенной только на этом множестве 4 чисел. И она тоже не обязана никому быть непрерывной. И не надо это тоже никому.
А надо автору определиться с метрикой, сначала..., которая и может рассматриваться как мера нелинейности. Только она (метрика) ведь может быть разной... от вкуса зависит...

Я об этом тоже спрашивал. Если хотите - предложите свою метрику. Потому, как с определением нелинейности дискретных функций мне встречаться не приходилось.

...А определение (степени) нелинейности можно давать самое разное... Вот можно через метрику.

Думаю, автор темы будет Вам чрезвычайно признателен. Только, упаси бог, никаких "выдумок".

А Вы разве свое дали? Или есть общепринятый термин? Перечитайте пятый пост... Внимательно...

Прочитал. И что же там не понятого мной содержится?
Вам же порекомендую прочитать ещё раз пост №1.

Лично мне определение из поста №4 нравится - нелинейность определяется как "мера неравномерности" при равномерном приближении функции полиномом 1-й степени на отрезке.
Для практических целей (например, чтобы выразить нелинейность датчика безотносительно его чувствительности) полученную таким образом нелинейность можно нормировать на величину диапазона измеряемых величин. После этого её можно выразить в относительных единицах (%), что гораздо удобнее.
В данной задаче нелинейность можно нормировать модулем разности |F(64) - F(1)|, где F(x) - аппроксимирующая линейная функция. Вырожденный случай F(64)=F(1) при этом не рассматриваем.

Правильно, потому что под нелинейностью понимается отклонение от линейного закона (первая степень). При этом используются только 2 точки.

Ничего не понятно.
Функция задана на множестве из 4-х чисел. Как Вы собираетесь разлагать её в ряд Тейлора?

...А если говорить о точности апросиксимации, а не о нелинейности, то можно для 4 точек использовать полином 3 степени (все 4 точки используются).

Вах-вах...
С помощью интерполяции или аппроксимации мы, грубо говоря, находим недостающие значения функции на отрезке. Которые потом используем для вычисления нелинейности.
Какой способ лучше - решать автору.