Вычисление дисперсии на лету, Возможно ли Опции

[hobgoblin]

Подскажите, пожалуйста, существует ли в природе алгоритм, который позволял бы вычислять, пусть даже грубо, дисперсию не по завершению накопления выборки, а в процессе накопления. Есть устройство на ПЛИС, которое вычисляет помимо прочего среднее значение разности фаз в двух каналах внутри импульса переменной длины (от 16 до 2^14 отсчетов). Теперь просят добавить туда вычисление дисперсии, но так чтобы значительных задержек с выдачей результата не было.

[vladv]

Интересно, а насколько несмещенная такая оценка дисперсии?
Вот, например, для накопленных n выборок несмещенной оценкой дисперсии будет:
D = sum((X[n]-m)^2) / (n-1)
а не, что кажется естественным:
D = sum((X[n]-m)^2) / n

[SIA]

Интересно, а насколько несмещенная такая оценка дисперсии?
Вот, например, для накопленных n выборок несмещенной оценкой дисперсии будет:
D = sum((X[n]-m)^2) / (n-1)
а не, что кажется естественным:
D = sum((X[n]-m)^2) / n

Не вопрос, просто вводится поправочный множитель n/(n-1)

[vladv]

Не вопрос, просто вводится поправочный множитель n/(n-1)

Не, вопрос в том, смещена эта оценка или не смещена (я имею ввиду формулы, которые NickNich в посте #10 привел).

Это асимтотически несмещенная оценка, т.е. при вычислении диспрерсии по конечной выборке результат имеет смещение, которое стремится к нулю при учеличении длины выборки. При больших длинах разницы между множителями 1/N и 1/(N-1) практически нет...

Ну так и "D = sum((X[n]-m)^2) / n" "асимптотически несмещенная"... А как насчет смещения (или несмещения) для конкретного N?

Выражение, которое привет TSerg, фактически, вычисляет оценки дисперсии по нескольким первым отсчетам, примерно по первым 20-ти. Обратите внимание, что множитель перед обновлением оценки дисперсии (квадрате разности) убывает обратно пропорционально номеру отсчета. Т.е. при каких-то значениях теущего номера обновления просто перестанут обновлять получившуюся оценку, в силу малости их весового коэффициента. Можно даже ввести эффективную длину входного потока, по которой вычисляется оценка лисперсии, сохранять это количество в буфер, а потом считать дисперсию по обычной формуле - так честнее получится

...

А я - нет. Я присал про убывание обновляющей поправки к дисперсии, т.е. вот об этой формуле

D[i]=((j-1)/j)*D[i-1] + (1/j)*(X[i] - m[i])^2

К выражению для мат.ожидания у меня вопросов нет.

Если внимательно проследить "судьбу" первого "отсчета" (X[k] - m[k])^2, то для i-й оценки дисперсии он войдет с коффициентом 1/j - как и для последнего отсчета (X[k] - m[k])^2. Это верно вообще для всех отсчетов. I.e. в D[i] ВСЕ отсчеты (X[k]-m[k])^2 войдут с коэффициентом 1/j.

Впрочем, даже в формуле D[i]=D[i-1] + (1/i)*(X[i] - m[i])^2 нельзя пренебрегать последними отсчетами, поскольку ряд 1/i расходится.

Сообщение отредактировал vladv - Jan 25 2008, 23:25

[NickNich]

Не, вопрос в том, смещена эта оценка или не смещена (я имею ввиду формулы, которые NickNich в посте #10 привел).
Ну так и "D = sum((X[n]-m)^2) / n" "асимптотически несмещенная"... А как насчет смещения (или несмещения) для конкретного N?

Тут нужно точно понимать смысл употребляемых терминов. "Смещение" оценки это разность между мат.ожиданием оценки и мат.ожиданием оцениваемой величины. Если эта разность равна нулю, то оценка несмещенная. Если эта разность не равна нулю - оценка смещенная. Если ненулевая разность убывает до нуля с увеличением числа обрабатываемых отсчетов - оценка асимтотически несмещенная. Вот в этих терминах, оценка дисперсии с множителем 1/(N-1) - несмещенная, оценка с множителем 1/N - асимтотически несмещенная. Случайная составляющая ошибки оценки дисперсии для конкретного N описываются дисперсией оценки дисперсии. Формулы из книжки - если истинное значение дисперсии равно D, то дисперсия оценки дисперсии для формулы с множителем 1/N: D1 = 2*(N-1)*D^2/N^2, для формулы с множителем 1/(N-1): D2 = 2*D^2/(N-1).
...

Если внимательно проследить "судьбу" первого "отсчета" (X[k] - m[k])^2,

Вот и проследите - полностью распишите формулу и удивитесь. Дело в том, что первый отсчет очитывается с оценкой мат.ожидания по одному отсчету, второй отсчет - с мат.ожиданием по двум отсчетам и т.д.

[vladv]

Тут нужно точно понимать смысл употребляемых терминов. "Смещение" оценки это разность между мат.ожиданием оценки и мат.ожиданием оцениваемой величины. Если эта разность равна нулю, то оценка несмещенная. Если эта разность не равна нулю - оценка смещенная. Если ненулевая разность убывает до нуля с увеличением числа обрабатываемых отсчетов - оценка асимтотически несмещенная. Вот в этих терминах, оценка дисперсии с множителем 1/(N-1) - несмещенная, оценка с множителем 1/N - асимтотически несмещенная. Случайная составляющая ошибки оценки дисперсии для конкретного N описываются дисперсией оценки дисперсии. Формулы из книжки - если истинное значение дисперсии равно D, то дисперсия оценки дисперсии для формулы с множителем 1/N: D1 = 2*(N-1)*D^2/N^2, для формулы с множителем 1/(N-1): D2 = 2*D^2/(N-1).

Ну хорошо. С опередением "смещение оценки" и "асмиптотическое смещение оценки" разобрались. И с формулой из книжки несмещенной оценки для накопленных N выборок тоже все ясно. Но вот интересно понять, формула вычисления дисперсии на лету, которую Вы привели, дает смещенную или не смещенную оценку?

...

Вот и проследите - полностью распишите формулу и удивитесь. Дело в том, что первый отсчет очитывается с оценкой мат.ожидания по одному отсчету, второй отсчет - с мат.ожиданием по двум отсчетам и т.д.

Чему удивиться? То, что каждый отсчет со своей оценкой матожидания обсчитывается - это очевидно. Только при чем здесь это? Мой комментарий относился исключительно к Вашей фразе, которая не верна:

"Выражение, которое привет TSerg, фактически, вычисляет оценки дисперсии по нескольким первым отсчетам, примерно по первым 20-ти. Обратите внимание, что множитель перед обновлением оценки дисперсии (квадрате разности) убывает обратно пропорционально номеру отсчета. Т.е. при каких-то значениях теущего номера обновления просто перестанут обновлять получившуюся оценку, в силу малости их весового коэффициента.".

Сообщение отредактировал vladv - Jan 27 2008, 23:08