Подскажите, пожалуйста, существует ли в природе алгоритм, который позволял бы вычислять, пусть даже грубо, дисперсию не по завершению накопления выборки, а в процессе накопления. Есть устройство на ПЛИС, которое вычисляет помимо прочего среднее значение разности фаз в двух каналах внутри импульса переменной длины (от 16 до 2^14 отсчетов). Теперь просят добавить туда вычисление дисперсии, но так чтобы значительных задержек с выдачей результата не было.

Подскажите, пожалуйста, существует ли в природе алгоритм, который позволял бы вычислять, пусть даже грубо, дисперсию не по завершению накопления выборки, а в процессе накопления.

Вычисление влоб - невозможно. Для вычисления оценки дисперсии по известной формуле требуется оценка мат. ожидания от всей выборки. Появление нового измерения заставляет вычислять новое значение мат.ожидания, а потом пересчитывать значение дисперсии с уже новым значением.

Выражение, которое привет TSerg, фактически, вычисляет оценки дисперсии по нескольким первым отсчетам, примерно по первым 20-ти. Обратите внимание, что множитель перед обновлением оценки дисперсии (квадрате разности) убывает обратно пропорционально номеру отсчета. Т.е. при каких-то значениях теущего номера обновления просто перестанут обновлять получившуюся оценку, в силу малости их весового коэффициента. Можно даже ввести эффективную длину входного потока, по которой вычисляется оценка лисперсии, сохранять это количество в буфер, а потом считать дисперсию по обычной формуле - так честнее получится

Не совсем так, формулы для вычисления текущей дисперсии и МО без полного пересчета для любой последовательности давно известны (используются даже в калькуляторах), но требуют повышенной точности вычислений. Есть в любом справочнике (Бронштейн, Выгодский, ну и Вентцель - тервер не забываем). Под рукой нет, если надо, откопаю (можно и вывести). Для ответа существенно, нужно ли "забывание" старых значений (нужна ли весовая функция) или получаемые СКО и МО должны относиться ко всей последовательности в равной мере.

Надо. "Откопайте", пожалуйста.

Не совсем так, формулы для вычисления текущей дисперсии и МО без полного пересчета для любой последовательности давно известны

Если о динамическом процессе известно лишь то, что он стационарен, приведенные мной формулы вполне решают поставленную задачу.
Если хочется сложностей - см. теорию оптимального оценивания, калмановскую фильтрацию (ФК) в рамках байевского подхода. ФК работает по рекуррентным формулам.

Действительно, щас заглянул в справичник - есть такие формулы. Я ошибка в утверждении невозможности оценки.
Так я и написал, что решают, но не полностью а на какой-то эффективной длине выборки. Если оценка дисперсии по нескольким десяткам отсчетов удовлетворяет - то задача решена. Если не удовлетворяет, то нужно либо считать точно, либо пользоваться рекуррентными формулами другого типа, по поводу которых меня уже поправили.

С КФ ситуация совершенно другая - при проектировании КФ заранее известны все дисперсии измерительного шума и шума процесса. И ФК рекурернтно рассчитывает дисперсию вектора состояния, не принимая во внимание фактическое значение вектора измерения. Т.е. рассчетные значения дисперсии никак не связаны с фактическими значениями. В поставленной задаче дисперсия измеряемой величины, она же - дисперсия измерительного шума, заранее неизвестна (ее требуется рассчитать)

Проблема только в одном. Несоответствие или плохое соответствие заявленному в сабже.

Действительно, щас заглянул в справичник - есть такие формулы. Я ошибка в утверждении невозможности оценки.

Интересно, а насколько несмещенная такая оценка дисперсии?
Вот, например, для накопленных n выборок несмещенной оценкой дисперсии будет:
D = sum((X[n]-m)^2) / (n-1)
а не, что кажется естественным:
D = sum((X[n]-m)^2) / n

Выражение, которое привет TSerg, фактически, вычисляет оценки дисперсии по нескольким первым отсчетам, примерно по первым 20-ти. Обратите внимание, что множитель перед обновлением оценки дисперсии (квадрате разности) убывает обратно пропорционально номеру отсчета. Т.е. при каких-то значениях теущего номера обновления просто перестанут обновлять получившуюся оценку, в силу малости их весового коэффициента. Можно даже ввести эффективную длину входного потока, по которой вычисляется оценка лисперсии, сохранять это количество в буфер, а потом считать дисперсию по обычной формуле - так честнее получится
..
Так я и написал, что решают, но не полностью а на какой-то эффективной длине выборки. Если оценка дисперсии по нескольким десяткам отсчетов удовлетворяет - то задача решена. Если не удовлетворяет, то нужно либо считать точно, либо пользоваться рекуррентными формулами другого типа, по поводу которых меня уже поправили.
..
В моих обозначениях, N - это текущиее дискретное время, оно же - число входных отсчетов, прошедших через систему к этому времени.
..
Но в теме обсуждается рекуррентное вычисление дисперсии, а не математического ожидания.

Интересно, а насколько несмещенная такая оценка дисперсии?
Вот, например, для накопленных n выборок несмещенной оценкой дисперсии будет:
D = sum((X[n]-m)^2) / (n-1)
а не, что кажется естественным:
D = sum((X[n]-m)^2) / n

"Как тебя понимать, Саид ?"

Если Вам что-то непонятно, просто спросите об этом...

Мне - понятно
Вы же пришли к тому, что и я написал.
Если N - номер отсчета, т.е. N это мое i, то и в Вашем случае последующие значения Xi убывают по весу.
Собственно - я об этом.

Не вопрос, просто вводится поправочный множитель n/(n-1)

Это асимтотически несмещенная оценка, т.е. при вычислении диспрерсии по конечной выборке результат имеет смещение, которое стремится к нулю при учеличении длины выборки. При больших длинах разницы между множителями 1/N и 1/(N-1) практически нет...

Выражение, которое привет TSerg, фактически, вычисляет оценки дисперсии по нескольким первым отсчетам, примерно по первым 20-ти. Обратите внимание, что множитель перед обновлением оценки дисперсии (квадрате разности) убывает обратно пропорционально номеру отсчета. Т.е. при каких-то значениях теущего номера обновления просто перестанут обновлять получившуюся оценку, в силу малости их весового коэффициента. Можно даже ввести эффективную длину входного потока, по которой вычисляется оценка лисперсии, сохранять это количество в буфер, а потом считать дисперсию по обычной формуле - так честнее получится

А я - нет. Я присал про убывание обновляющей поправки к дисперсии, т.е. вот об этой формуле

D[i]=((j-1)/j)*D[i-1] + (1/j)*(X[i] - m[i])^2

К выражению для мат.ожидания у меня вопросов нет.

Не, вопрос в том, смещена эта оценка или не смещена (я имею ввиду формулы, которые NickNich в посте #10 привел).
Ну так и "D = sum((X[n]-m)^2) / n" "асимптотически несмещенная"... А как насчет смещения (или несмещения) для конкретного N?

Если внимательно проследить "судьбу" первого "отсчета" (X[k] - m[k])^2,

Тут нужно точно понимать смысл употребляемых терминов. "Смещение" оценки это разность между мат.ожиданием оценки и мат.ожиданием оцениваемой величины. Если эта разность равна нулю, то оценка несмещенная. Если эта разность не равна нулю - оценка смещенная. Если ненулевая разность убывает до нуля с увеличением числа обрабатываемых отсчетов - оценка асимтотически несмещенная. Вот в этих терминах, оценка дисперсии с множителем 1/(N-1) - несмещенная, оценка с множителем 1/N - асимтотически несмещенная. Случайная составляющая ошибки оценки дисперсии для конкретного N описываются дисперсией оценки дисперсии. Формулы из книжки - если истинное значение дисперсии равно D, то дисперсия оценки дисперсии для формулы с множителем 1/N: D1 = 2*(N-1)*D^2/N^2, для формулы с множителем 1/(N-1): D2 = 2*D^2/(N-1).

Вот и проследите - полностью распишите формулу и удивитесь. Дело в том, что первый отсчет очитывается с оценкой мат.ожидания по одному отсчету, второй отсчет - с мат.ожиданием по двум отсчетам и т.д.