нахождение средней площади Опции

[vLx0F]

Пусть на оси X в некотором диапазоне x1..xN задана ф-ция (не аналитически), значения которой F(xi) образуют кривую произвольной формы (i = 1..N). Все значения F(xi) отнормированны к максимальному, т.е. max(F(xi)) = 1. Необходимо найти точку xk (xk = x1..xN), относительно которой площадь равнялась бы половине всей площади под этой кривой. Вот нашел несколько методов:

1. Осреднить значения ф-ции - F1 = sum(F(xi))/N, (i = 1..N, N - число точек) и умножить на (xN-x1), т.е. найти площадь прямоугольника и взять его половину S2 = F1*(xN-x1)/2. Т.о. xk = x1 + S2, где S2 - некоторое искомое смещение относительно x1(Начала).

2. xk = sum(F(xi)*xi). Вот этот метод совсем не понимаю. Вроде с виду похоже на мат. ожидание , но вроде и нахождение площади... Но найденная таким способом xk'ая не попадает в диапазон x1..xN, как-то, наверное, хитро отнормировать надо ?

Просьба, прокомментировать методы, пояснить (особенно 2) что так, что нет и посоветовать другие какие-нибудь.

[scifi]

Пусть на оси X в некотором диапазоне x1..xN задана ф-ция (не аналитически), значения которой F(xi) образуют кривую произвольной формы (i = 1..N).

Почему так сложно? Если я правильно понял, есть функция F, заданная в точках x1...xN. Верно?

Все значения F(xi) отнормированны к максимальному, т.е. max(F(xi)) = 1.

Видимо, подразумевается, что функция принимает только положительные значения?

Необходимо найти точку xk (xk = x1..xN), относительно которой площадь равнялась бы половине всей площади под этой кривой.

Что такое площадь под кривой? Для себя я понимаю это так: между точками x1...xN как-то аппроксимируем функцию F(x). В результате получаем функцию, определённую на отрезке [x1,xN]. Берём интеграл по этому отрезку и получаем площадь. Главный вопрос: как аппроксимировать функцию? Кусочно-линейно? Сплайном (каким из нескольких видов)? Полиномом? Как-то ещё?
Что значит "относительно которой площадь равнялась бы половине всей площади под этой кривой"? Значит ли это, что площадь слева от этой точки равана площади справа от неё? Почему Вы думаете, что такая точка строго попадёт в набор x1...xN? В общем случае не попадёт.