Представление не монотонной не периодической финитной функции, подобно ряду Фурье Опции

[EUrry]

Известно, что периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье. Даже некоторые не периодические представляют, исскуственно создав им период, который устремляется к бесконечности. А не придумали ли математики подобное разложение для произвольной не периодической не монотонной финитной функции? Например, представление экспериментальной кривой на рисунке. Хоть какое-то приближение. Если существует что-то подобное, то где можно посмотреть? Понимаю, что замахнулся не на того, но что поделать!

Эскизы прикрепленных изображений

 

[DRUID3]

2EUrry
Так любую функцию можно разложить в ряд Фурье. Вашу - тоже. Из-за того, что мы "в уме" предполагаем - разложение(по сути поиск корреляции) конечной функции происходит на бесконечные циклические - возникает неприятность в виде окна которая, в свою очередь, порождает АЧХ отдельного частотного отсчета - отсюда конечтая точность такого разложения. Но для технических целей - ее обчно с головой...

Но вобщем, да, вейвлеты - шаг вперед по направлению избавления от влияния окна. Но тоже не всегда, вейвлеты это целое семейство отображений, иногда довольно непохожих по свойствам(разный порядок "быстрых" форм, разные требования к ортогональности базиса(!) etc...). Есть еще и чирплеты и еще много всякой фигни выдумали... кстати, ноги у вейвлет-преобразования растут из попыток обойти парадоксы в корпусулярно-волновом дуализме теории волн Де-Бройля. Там все очень мутно и до сих пор.

Відомо, що незважаючи на чисельні експериментальні підтвердження підхід де Бройля, як аксіоматичної теорії зазнав історичної поразки... Справа в тому, що опис матеріальних часток у вигляді груп хвиль де Бройля має таку- собі неприємну властивість розпливання з часом (нагадує до деякої міри розмивання прямокутного імпульса в довгих лініях електротехніки та електроніки), позбутися якого нікому не вдалося до сих пір. Звичайно геній де Бройля може й вирішив би цю проблему, проте в свій час він приєднався до т.з. Копенгагенської конвенції і повернувся до себе лише на початку 50-х років. Проте поїзд пішов..., і проблема лишилася нерозв'язною. І всеж таки потенції лишилися, і є надія на відродження...

Сам "осциллятор" за хвост не ухвачен, причины циклического движения(что кружиЦЦо то?) и континуальной природы "амплитуды вероятности нахождения в точке(!)" так и не поняты. Некоторые с демонической ухмылкой на этом сильно спекулируют(особенно философы) по поводу утраты детерминизма в микромире и кризиса механистического подхода. Вейвлеты - были попыткой обойти саму математическую "порочность" такого подхода... Потому изучая их - трепещите, Вы прикасаетесь к великому...

[EUrry]

Так любую функцию можно разложить в ряд Фурье. Вашу - тоже. Из-за того, что мы "в уме" предполагаем - разложение(по сути поиск корреляции) конечной функции происходит на бесконечные циклические - возникает неприятность в виде окна которая, в свою очередь, порождает АЧХ отдельного частотного отсчета - отсюда конечтая точность такого разложения. Но для технических целей - ее обчно с головой...

Глянул мельком предложенную книгу, действительно труд солидный. Даже не знаю за чего браться сначала. С вэйвлетами сейчас не очень удобно, т. к. их надо либо самому программно генерировать, либо использовать специальные программные продукты с готовыми вэйвлетами. Ряд Фурье в этой связи более привлекателен. Начать можно и с него.
А вообще несколько уточню задачу. На самом деле аппроксимируемая функция мне неизвестна вообще. У меня есть результат эксперимента, куда входит эта функция, связанная некими известными математическими зависимостями с другими неизвестными функциями. Все неизвестные функции мне нужно аппроксимировать какими-либо разложениями. Имея модели функций в виде разложением с коэффициентами и экспериментальный результат необходимо решить оптимизационную задачу с целью нахождения коэффициентов разложения.

[scifi]

А вообще несколько уточню задачу. На самом деле аппроксимируемая функция мне неизвестна вообще. У меня есть результат эксперимента, куда входит эта функция, связанная некими известными математическими зависимостями с другими неизвестными функциями. Все неизвестные функции мне нужно аппроксимировать какими-либо разложениями. Имея модели функций в виде разложением с коэффициентами и экспериментальный результат необходимо решить оптимизационную задачу с целью нахождения коэффициентов разложения.

Ух, сколько тумана напустили! Много функций, ни одна из них неизвестна, и все надо аппроксимировать какими-нибудь разложениями.
Излагайте подробнее, так совсем непонятно.

[EUrry]

Ух, сколько тумана напустили! Много функций, ни одна из них неизвестна, и все надо аппроксимировать какими-нибудь разложениями.
Излагайте подробнее, так совсем непонятно.

Да вот думаю, как это описать!!!
Давайте попробуем так:
Имеются экспериментальные данные MEAS. Также имеется модель этих данных MODEL. Модель представляется известной зависимостью F неизвестных функций f1, f2, ...,fn (MODEL=F(f1, f2, ...,fn)). Если функции f1, f2, ...,fn представлены какими-либо конечными рядами, то задача их аппроксимации сводится к минимизации целевой функции OPT=MEAS - MODEL в пространстве коэффициентов разложения функций f1, f2, ...,fn.
Таким образом, основная головная боль - какими моделями описать неизвестные априори функции, чтобы оптимизация имела сходимость?

Сообщение отредактировал EUrry - Apr 16 2009, 18:18

[scifi]

Имеются экспериментальные данные MEAS. Также имеется модель этих данных MODEL. Модель представляется известной зависимостью F неизвестных функций f1, f2, ...,fn (MODEL=F(f1, f2, ...,fn)). Если функции f1, f2, ...,fn представлены какими-либо конечными рядами, то задача их аппроксимации сводится к минимизации целевой функции OPT=MEAS - MODEL=F(f1, f2, ...,fn) в пространстве коэффициентов разложения функций f1, f2, ...,fn.
Таким образом, основная головная боль - какими моделями описать неизвестные априори функции, чтобы оптимизация имела сходимость?

Другими словами, нужно упростить модель, чтобы она свелась к конечному набору числовых параметров. Тогда оптимизация сведётся к подбору этих параметров с целью минимизации метрики |MEAS-MODEL|.
Если так, то без подробного описания модели не обойтись.

[EUrry]

Другими словами, нужно упростить модель, чтобы она свелась к конечному набору числовых параметров. Тогда оптимизация сведётся к подбору этих параметров с целью минимизации метрики |MEAS-MODEL|.
Если так, то без подробного описания модели не обойтись.

Можно разбить исследуемую функцию на "окна" и в каждом из них аппроксимировать входящие в нее составляющие, например полиномиальным разложением. Это всё реально, а вот во всём диапазоне изменения аргумента?
Проблема в том, что при разложении тех же сигналов в ряд Фурье, по вэйвлетам или еще как, для нахождения коэффициентов разложения используются отсчеты самого известного априори сигнала. А в моем случае эти неизвестные сигналы переплетены друг с другом и известна только их, скажем так, "суперпозиция". Скорее всего это "заоблачная" задача, но всё-таки может есть какие наработки в этой области? Сам я даже не знаю куда "сходить на экскурсию".

[scifi]

Скорее всего это "заоблачная" задача, но всё-таки может есть какие наработки в этой области? Сам я даже не знаю куда "сходить на экскурсию".

А что, эта "модель" секретная? Хотя бы какой масштаб бедствия? Может быть, у Вас постановка задачи вообще некорректна (это как версия)... Кстати, и саму постановку задачи я так и не нашёл. Понял только, что хочется что-то как-то аппроксимировать, но вот с какой целью - непонятно.