Представление не монотонной не периодической финитной функции, подобно ряду Фурье Опции

[EUrry]

Известно, что периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье. Даже некоторые не периодические представляют, исскуственно создав им период, который устремляется к бесконечности. А не придумали ли математики подобное разложение для произвольной не периодической не монотонной финитной функции? Например, представление экспериментальной кривой на рисунке. Хоть какое-то приближение. Если существует что-то подобное, то где можно посмотреть? Понимаю, что замахнулся не на того, но что поделать!

Эскизы прикрепленных изображений

 

[mdmitry]

Существуют различные базисы для разложения (декартовы координаты, цилиндрические, сферические). Выбор базиса - дело сложное, один из возможных критериев - минимизация количества членов разложения. Про другие подходы (вейвлет, атомарные функции) уже сказали.

[EUrry]

Выбор базиса - дело сложное, один из возможных критериев - минимизация количества членов разложения.

Это всё понятно! Вопрос в том, что воможна ли модель с конечным числом параметров для абсолютно неизвестной априори зависимости во всем диапазоне изменения аргумента?

[xemul]

Это всё понятно! Вопрос в том, что воможна ли модель с конечным числом параметров для абсолютно неизвестной априори зависимости во всем диапазоне изменения аргумента?

Конечно возможна! Вопрос только в адекватности модели - один период синуса можно смоделировать и прямой, и параболой.
Как Вы справедливо заметили, основная головная боль - выбор базиса (или базисов). После этого f1, f2, ...,fn становятся известными.
Фраза "для абсолютно неизвестной априори зависимости" мне непонятна - Вы же имеете "экспериментальные данные MEAS", по которым можно оценить удобство использования различных базисов (хотя бы на уровне периодические/непериодические) или просто какого-либо безбазисного набора функций (который можно предположить, исходя из физики процесса). А дальше уточнять коэффиценты всякими корреляциями и ковариациями до достижения требуемой точности модели.
Ваша задача в частной постановке - веселая многоходовочка (типа, шаг вперед, два назад), на которой люди (не я) в 80-х легко диссеры писали (благо, хватало желающих с экспериментальными данными и народнохозяйственной важностью), а в общей - тема для серьезных мужей, в математике премногосведущих (тоже не я).

[EUrry]

Конечно возможна! Вопрос только в адекватности модели - один период синуса можно смоделировать и прямой, и параболой.
Фраза "для абсолютно неизвестной априори зависимости" мне непонятна - Вы же имеете "экспериментальные данные MEAS", по которым можно оценить удобство использования различных базисов

В том то и дело, что не MEAS надо аппроксимировать, а входящие туда зависимости, которые могут себя вести произвольно: могут быть и более менее периодичны, могут иметь резонанстный характер (хотя, это пока лучше вообще не трогать!!! ) и т. д.

Ваша задача в частной постановке - веселая многоходовочка (типа, шаг вперед, два назад), на которой люди (не я) в 80-х легко диссеры писали (благо, хватало желающих с экспериментальными данными и народнохозяйственной важностью), а в общей - тема для серьезных мужей, в математике премногосведущих (тоже не я).

Да вот и я тоже с такими разделами математики не знаком особо, поэтому и решил у сообщества спросить.

[xemul]

В том то и дело, что не MEAS надо аппроксимировать, а входящие туда зависимости, которые могут себя вести произвольно: могут быть и более менее периодичны, могут иметь резонанстный характер (хотя, это пока лучше вообще не трогать!!! ) и т. д.

Бр-р-р... Что же в таком случае MEAS? Я решил, что это набор(ы) измерений нескольких величин, для одной части которых нужно придумать модели, зависящие от другой части. Сколькомерный у Вас MEAS, и сколько моделей Вы по нему хотите придумать?
Если двумерный (как на первой картинке), то получается, что Вам нужно придумать всего-то y = U(F_i(x, a, b, c,...)) (через U я обозначил набор функций F_i с коэффициентами a, b, c,..., аргументом которых является единственная переменная x). Курс численных методов, для которого это стандартная задача, проходят, по-моему, на 3-ем курсе. Решение задачи сводится к определению набора функций и вычислению их коэффициентов. Или, н-р, иначе - к исключению незначащих функций (которые не улучшают корреляцию модели с экспериментальными данными) из заданного набора.
А с периодическими и резонансными как раз проще всего.

[EUrry]

Бр-р-р... Что же в таком случае MEAS? Я решил, что это набор(ы) измерений нескольких величин, для одной части которых нужно придумать модели, зависящие от другой части. Сколькомерный у Вас MEAS, и сколько моделей Вы по нему хотите придумать?
Если двумерный (как на первой картинке)...

Да, зря я эту картинку прилепил! Она наводит на мысль, что ее и нужно аппроксимировать, в чём, в принципе, нет проблем.
Давайте еще так попробуем:
Имеется некая система A, описываемая матрицей [A(x)] с коэффициентами, зависящими от аргумента x. Система окружена некими "мешающими", а, может, и вспомогательными (тут как метод поставить) подсистемами, описываемыми матрицами [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)]. Результат измерений MEAS(х) содержит в себе параметры как системы А, так и параметры "мешающих" подсистем. Измерение представляется моделью MOLEL(х) = F{[A(x)], [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)]}, где F - известное соотношение между элементами указанных матриц. Собственно, неизвестными как априори, так и апостериори являются зависимости от х элементов матриц [A(x)], [B1(x)], [B2(x)], ..., [Bn(x)], которые и нужно представить параметрическими моделями. Далее в пространстве этих параметров минимизируется оптимизационная функция OPT(x)=MEAS(x) - MOLEL(х). И, если всё проходит удачно, то находятся, как параметры самой системы A, так и параметры окружающих "мешающих"/вспомогательных подсистем.
P. S. Кстати, в сообщении №9 ошибка была (надо запретить злую комбинацию ctrl+с -> ctrl+v!!! ). Было так (зачеркнутое не нужно!) OPT=MEAS - MODEL=F(f1, f2, ...,fn). Удалось исправить!

Сообщение отредактировал EUrry - Apr 16 2009, 18:31