Представление не монотонной не периодической финитной функции, подобно ряду Фурье Опции

[EUrry]

Известно, что периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье. Даже некоторые не периодические представляют, исскуственно создав им период, который устремляется к бесконечности. А не придумали ли математики подобное разложение для произвольной не периодической не монотонной финитной функции? Например, представление экспериментальной кривой на рисунке. Хоть какое-то приближение. Если существует что-то подобное, то где можно посмотреть? Понимаю, что замахнулся не на того, но что поделать!

Эскизы прикрепленных изображений

 

[mdmitry]

Существуют различные базисы для разложения (декартовы координаты, цилиндрические, сферические). Выбор базиса - дело сложное, один из возможных критериев - минимизация количества членов разложения. Про другие подходы (вейвлет, атомарные функции) уже сказали.

[EUrry]

Выбор базиса - дело сложное, один из возможных критериев - минимизация количества членов разложения.

Это всё понятно! Вопрос в том, что воможна ли модель с конечным числом параметров для абсолютно неизвестной априори зависимости во всем диапазоне изменения аргумента?

[Oldring]

Вот видите, какой прогресс. Раньше Вы спрашивали

Вопрос в том, что воможна ли модель с конечным числом параметров для абсолютно неизвестной априори зависимости во всем диапазоне изменения аргумента?

Теперь же уже дошли до осознания, что таблица является такой моделью, и хочется уменьшить количество параметров.

Ответ на последний вопрогс тоже хорошо известен. Если данные в таблице полностью случайны (например, каждый бит представления каждого числа сгенерирован генератором случайных чисел с энтропией 1 бит на бит) то уменьшить представление невозможно. Если же данные неслучайны - то используя то или иное априорное знание о данных, которые будут занесены таблицу, можно уменьшить размер описания. Но это также означает, что данные не будут уже "абсолютно неизвестной априори зависимостью".

[EUrry]

Теперь же уже дошли до осознания, что таблица является такой моделью, и хочется уменьшить количество параметров.

Безусловно, таблицу можно назвать моделью с числом параметров, равным числу отсчетов аргумента. Но эта модель имеет избыточное число параметров и не дает функциональной зависимости от аргумента, поэтому даже не рассматривается.

Это и есть полный туман. Хотелось бы иметь что-то поконкретнее. Например:

Имеются экспериментальные данные Xi, Yi, i=0..99. Есть модель этих данных Y(X)=F(f1(X), f2(X)). То есть экспериментальные данные описываются неизвестной функцией F(a, b ) двух других функций f1() и f2(). Однако, известно, что F(a, b ) - линейная функция, f1(X) - синусоида с неизвестной фазой и амплитудой, а f2(X) - многочлен 3-го порядка. Задача: подогнать параметры функций f1 и f2 (амплитуда, фаза, коэффициент многочлена) под экспериментальные данные с целью минимизировать метрику SUM|Yi-F(f1(Xi),f2(Xi))|.

Вот примерно так. Замечаете разницу в постановки задачи? Пока будет продолжаться туман про неизвестные функции от неизвестных функций, то и перспективы у этой задачи будут неизвестные. Нужны априорные знания, как сказал Oldring, а Вы их не предоставили. Вы знаете, сколько бывает неизвестных функций? Неизвестные функции бывают негладкими, разрывными, неинтегрируемыми по Риману (и, может быть, по Лебегу), и вообще очень страшными. Надо сужать область поиска.

В посте № 22 имеется более "вылизанный" вариант постановки задачи. Разницу замечаю! Предполагая, что одна функция синус, другая - полином, восстановить их параметры никаких проблем нет. В "окнах", пожалуйста, всё это прекрасно делается. Проблема в универсальной параметрической модели, которая может описать, как синус, так и полином или еще что-то. Специально настолько общно и поставил вопрос. Спросил бы конкретно - получил бы известный мне ответ, который Вы только что описали, например.
Повторюсь, что и не ожидал ответа, что есть такая модель - нет ее и вряд ли будет. Просто интересно, ведется ли работа в данном направлении, что наработано, быть может что-то придумали получше обработки в"окнах", например.
Насчет разрывности, думаю, что в моем случае ее нет. Единственное, на зависимости могут быть высокодобротные резонансы, которые при обработке могут быть сглажены, за счет применения того же полиномиального разложения, что приведет к ошибочному измерению, хотя ошибка оптимизации при этом может быть небольшой.

P. S. Зато чувствуете, как зацепила такая постановка задачи!? А конструктивная критика крайне полезна. Нет критики нет и развития.

[Oldring]

Безусловно, таблицу можно назвать моделью с числом параметров, равным числу отсчетов аргумента. Но эта модель имеет избыточное число параметров и не дает функциональной зависимости от аргумента, поэтому даже не рассматривается.

Не дает функциональной зависимости - только в том случае, если есть повторы аргумента. Но и в этом случае является самым подробным описанием результатов эксперимента, в ходе которого получена таблица. Не имеет значения, что область определения - дискретна, так как даже непрерывность функции - это априорное знание, которым мы не обладаем по Вашей постановке задачи.

"Имеет избыточное число параметров" - откуда это Вам известно? По постановке задачи функция произвольна. Следовательно, никакого избытка параметров нет. Если все же априорно известно, что именно функция, без всяких вероятностей - ну так выкиньте из таблицы повторы, и получите таблицу без избытка.

Мне кажется, Ваша главная проблема в том, что Вы подразумеваете некоторое интуитивно понимаемое Вами знание о классе представляемых функций, которое не можете формализовать и тем самым передать окружающим. Не понимаете - и пишиту всякую чушь про "абсолютно произвольную функцию".

PS Пытаетесь по одному внешнему измерению отделить S-параметры соединителей от S-параметров самого полупроводника? Имхо невозможно без жесткого ограничения моделей компонентов.

PPS. шутка, если что..

Спасибо - я уже было испугался

[EUrry]

"Имеет избыточное число параметров" - откуда это Вам известно?

Согласен, слово "избыточное", здесь, конечно, не корректно. Число параметров "в самый раз", но в сравнении с каким-либо представлением (в виде того же ряда), их намного больше.

Мне кажется, Ваша главная проблема в том, что Вы подразумеваете некоторое интуитивно понимаемое Вами знание о классе представляемых функций, которое не можете формализовать и тем самым передать окружающим. Не понимаете - и пишиту всякую чушь про "абсолютно произвольную функцию".

Можно предполагать примерную типичную зависимость характеристик тех или иных устройств и описывать их более-менее "определенной" моделью. Так и делается. Но в реальности, хотя быть может и редко, возможно какое-то резкое отклонение характеристики от типичной зависимости, когда примененная модель будет неадекватна, соответственно и полученный результат тоже (причем, можно этого не заметить). Отсюда такая общность вопроса и, соответственно, много критики, чем я, в принципе, доволен. Всё-таки удалось немного приоткрыть занавесы других направлений, хотя еще далеко не со всем ознакомился, т. к. кроме "возвышенных" проблем, имеются более важные и изученные насущные.

[Oldring]

Число параметров "в самый раз", но в сравнении с каким-либо представлением (в виде того же ряда), их намного больше.

Вы не сможете представить абсолютно произвольную табличную функцию в виде ряда, более короткого, чем сама таблица

PS Точнее, с меньшим количеством бит в представлении коэффициентов этого ряда

Можно предполагать примерную типичную зависимость характеристик тех или иных устройств и описывать их более-менее "определенной" моделью. Так и делается. Но в реальности, хотя быть может и редко, возможно какое-то резкое отклонение характеристики от типичной зависимости, когда примененная модель будет неадекватна, соответственно и полученный результат тоже (причем, можно этого не заметить).

Разумеется, если модель неадекватна - это полезно заметить, вставив проверку аппроксимации конкретной калибровочной таблицы
Если в природе встретилось что-то другое - нужно переходить к более общим моделям (таблицам) или звать на помощь программиста, чтобы он расширил модель