Вопрос про ДПФ и шум, нужно для вычисления СПМ Опции

[Шаманъ]

Приветствую всех!

Интересует такой вопрос. Имеется два сигнала (сигнал действительный) - гармоническое колебание и белый шум.

Как я понимаю, если входной сигнал имеет вид A*sin(wt) (и, для простоты попадает точно в i-й бин), то, если нормализовать наше ДПФ под амплитуду гармонического сигнала (как традиционно делается), значение i-го бина будет равно амплитуде A, т.е. мощность по такому спектру можно определить, как A^2/2.

Если входной сигнал это широкополосный белый шум с нормальным распределением, то в результате вычисления ДПФ получим две последовательности случайных величин I(i) и Q(i) (для i-го бина). Вопрос, если входной шум имел СКО sigma, какое будет CKO у этих последовательностей и закон распределения, при такой же нормализации ДПФ, как в примере выше (как я предполагаю, закон распределения останется нормальный, а СКО наверное будет sigma/sqrt(N) )?

Заранее спасибо! Извиняюсь, если что-то описал криво или не совсем понятно

[Шаманъ]

У Марпла приведено другое, более сложное выражение для дисперсии (см. "Цифровой спектральный анализ...", приложение 4.А).

Спасибо за наводку - интресно Но я не вел речь о периодограмме - меня интересовали именно значения I и Q. Ибо после вычисления модуля распределение изменится (например, если исходные последовательности имели нормальное распределение, то модуль будет иметь распределение Рэлея)...

То что I() и Q() будут распределены по нормальному закону тоже далеко не очевидно

По идее свойство "гауссовости" процесса сохраняется при линейных преобразованиях. Это означает, что если на вход линейной системы воздействует гауссовский процесс, то наблюдаемый на выходе системы процесс также будет гауссовским, ну а ДПФ вроде линейное преобразование?

Santy
Спасибо за ответ, но я не про периодограмму...

[AndeyP]

Загадка в том, что по Марплу дисперсия амплитуды не уходит в ноль с ростом N (во введении у него есть исторический экскурс на эту тему), значит и CKO I/Q тоже не должно уменьшаться с ростом N. Парадокс возникает из-за разной нормировки DFT. Для сохранения амплитуды синуса используется нормировка на N, при этом СКО суммы тоже делится на N, а для сохранения энергии (длины вектора) - надо нормировать на корень из N, и СКО суммы при этом уменьшается всего на корень из N. Если рассматривать DC, оно же I(0), то СКО суммы - это СКО входа умножить на корень из N (для амплитуд других частот - см сложную формулу в Марпле).
Т.е. если нормировать на N, то СКО уменьшается не только за счет уменьшения неопределенности, но и за счет того, что сам сигнал ослабляется.

[Oldring]

Что за загадки обсуждаем?

Отсчеты DFT - это взвешенные суммы отсчетов сигнала. Если шум аддитивный белый гауссов - дисперсии отсчетов сигнала суммируются с весами, равными квадратам весов в суммах. Веса - синусоиды, квадрат их в среднем 1/2, что дает просто равномерное распределение энергии шума между I и Q. Для нулевого отсчета I вес в энергии равен единице по очевидным причинам. Ну и нормировка. Если мы оценивам спектральную плотность шума и хотим воспользоваться равенством Парсеваля - то нормируем на корень из N. Квадрат из корня из N даёт просто N, то есть просуммировали N равных дисперсий со средним весом 1/2 и поделили сумму на N, то есть получили дисперсию I и Q равную половине дисперсии отсчетов сигнала. Если же делим на N - то веса дисперсии пропорциональны N^-2, и дисперсии сумм равны дисперсиям отсчетов сигнала делить на 2N, то есть в пределе нуль. При этом если в сигнале была одна синусоида, которую мы хотим измерить - то её энергия в отсчетах Фурье при такой нормировке не изменяется при увеличении N, ради чего и нормируют так, а в исходном сигнале её энергия возрастает пропорционально N.

Ну и ввиду ортогональности Фурье-базиса и некоррелированности исходного шума все отсчеты DFT независимы.

Что касается Гауссовости: ввиду Цертральной Предельной Теоремы, I и Q будут почти наверняка (в нематематическом смысле ) более нормальны, чем исходные отсчеты.

В общем, всё тривиально.