Почему не работает теоремма Котельникова при F = 1/2Fs Опции

[Skaf]

Всем привет.

Я только приступаю к изучению ЦОС. Заметил такой факт- в теоремме написано, что частота дискретизации должны быть по крайней мере в 2 раза выше частоты спектра сигнала. Открываю матлаб, набираю там скриптик, где частота дискретизации ровно в 2 раза выше частоты сигнала

Код

t=0:1/8000:0.01;

f1=4000;

x = sin(2*pi*f1*t);

plot(t,x);

Получаю следующий график. Вопрос- почему сигнала практически нет? (10^-14)

Эскизы прикрепленных изображений

 

[Designer56]

Не пройдет. Нобелевский комитет математикой не занимается.

[mvb]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%...%BE%D0%B2%D0%B0 :

…если аналоговый сигнал x(t)\; имеет ограниченный спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой строго большей удвоенной максимальной частоты спектра

Всё строго и чётко. Восстановить можно при частоте строго большей.
Синус, дискретизированной с частотой равной его собственной частоте является просто рядом нулей. Естессно, если не добавлять сдвиг фазы.
Чем ближе подбирается полоса сигнала к частоте дискретизации, тем больше времени надо на переходные процессы при включении/выключении. Хорошее и простое объяснение: чем ближе полосу сигнала к частоте дискретизации вы хотите, тем более крутую переходную область у фильтра вам надо, тем длиннее его импульсная характеристика.

[729]

Хочу возразить всем, кто считает что в теореме Котельникова должно быть строгое неравенство.
1. Немного странно, но насколько мне известно, ни Котельников ни Шеннон свои первоначальные формулировки теоремы с равенством так и не скорректировали.
2. Теорема Котельникова для сигналов со спектром, содержащим ненулевые комплексные значения на F=1/2*Fs, работает. Возьмите отсчеты функции Котельникова с произвольным некратным 1/Fs смещением по времени (что дает отличный от нуля комплексный спректр в точках +-1/2*Fs) и подставьте в ряд Котельникова - после недолгих преобразований получите равномерно сходящийся ряд (сумма которого приведена в "Интегралы и ряды" Прудникова), суммой ряда будет исходная смещенная по времени функция Котельникова.
3. Очевидно, что дискретизация синуса частоты Fs/2 ведет к потере информации. Также очевидно, что такая потеря возникает из-за наложения спектров при дискретизации. К такому же эффекту приводит и дискретизация косинуса частоты Fs/2 - энергия отсчетов косинуса частоты Fs/2 ровно вдвое больше энергии отсчетов косинуса частоты, например, Fs/4. А если так, то ни синус частоты Fs/2 ни косинус частоты Fs/2 под условия теоремы не попадают. Почему - предлагаю подумать самостоятельно.

Сообщение отредактировал 729 - Oct 4 2010, 10:15

[fontp]

3. Очевидно, что дискретизация синуса частоты Fs/2 ведет к потере информации. Также очевидно, что такая потеря возникает из-за наложения спектров при дискретизации. К такому же эффекту приводит и дискретизация косинуса частоты Fs/2 - энергия отсчетов косинуса частоты Fs/2 ровно вдвое больше энергии отсчетов косинуса частоты, например, Fs/4. А если так, то ни синус частоты Fs/2 ни косинус частоты Fs/2 под условия теоремы не попадают. Почему - предлагаю подумать самостоятельно.

3. Авторы возражали в практическом смысле - что восстановить сигнал в действительности не получится, поскольку потребуется и бесконечное время и идеальные прямоугольные фильтры. И они не поспеют за real-time.
Вы же ссылаетесь на математическую формулировку, что какой-то там бесконечный ряд не сходится (или сходится) равномерно

А почему если дискретизация косинуса частоты Fs/2 - энергия отсчетов косинуса частоты Fs/2 ровно вдвое больше энергии отсчетов косинуса частоты, например, Fs/4 - то они под условие теоремы не попадают?
Или это просто так сказано, для красоты и ничего из этого не следует? Энергия косинуса частоты, например, Fs/4 или ещё лучше Fs/3 тоже зависит от фазы дискретизации и с физической энергией не совпадает. Да и в условиях теоремы о них не сказано ничего, как не напрягайся.

[729]

3. Авторы возражали в практическом смысле - что восстановить сигнал в дествительности не получится, поскольку потребуется и бесконечное время и идеальные прямоугольные фильтры. Вы же ссылаетесь на математическую формулировку, что какой-то там бесконечный ряд не сходится равномерно

Я ссылаюсь на математическую формулировку, ибо речь шла о ней (формулировке теоремы). Практический смысл только упоминался иногда. Согласитесь, что практического смысла и сам ряд Котельникова не имеет, ибо в общем случае он бесконечный.

Энергия косинуса частоты, например, Fs/4 или ещё лучше Fs/3 тоже зависит от фазы дискретизации и с физической энергией не совпадает.

Имелась в виду энергия отсчетов косинуса частоты Fs/4 и косинуса частоты Fs/2 на интервале, где укладывается целое число периодов обеих частот. А привел только по тому, что удвоение энергии есть результат спектральных наложений при дискретизации косинуса частоты Fs/2. При дискретизации косинуса частоты Fs/4 или Fs/3 спектральных наложений нет. Физическая энергия здесь вообще не причем.

[fontp]

Согласитесь, что практического смысла и сам ряд Котельникова не имеет, ибо в общем случае он бесконечный.

Не соглашусь.
Ряд Котельникова имеет практический физический смысл повсеместно. Там, где с нужной точностью можно приблизить сигнал конечной суммой членов ряда. Бесконечности вообще имеют практический смысл только в смысле предельного перехода, да и то хорошо бы всегда знать как любое епсилон зависит от того N,что когда-то найдётся)) Иначе бесконечности полностью бесполезны

Энергию для чистой гармоники сравнивать вообще нельзя, так как она бесконечна. А вот мощность неизбежно совпадает, так как базис Котельникова ортонормирован.

Это зависит смотря на каком интервале, как объяснил автор.
Практически зависит во всех трёх ваших предложениях)) Не отвлекайте

[729]

Не соглашусь.
Ряд Котельникова имеет практический физический смысл повсеместно. Там, где с нужной точностью можно приблизить сигнал конечной суммой членов ряда. Бесконечности вообще имеют практический смысл только в смысле предельного перехода, да и то хорошо бы всегда знать как любое епсилон зависит от того N,что когда-то найдётся)) Иначе бесконечности полностью бесполезны

В такой трактовке и я с Вами соглашусь - имеет, конечно. Но сами бесконечности интересны только для теоретических выкладок.