Почему не работает теоремма Котельникова при F = 1/2Fs Опции

[Skaf]

Всем привет.

Я только приступаю к изучению ЦОС. Заметил такой факт- в теоремме написано, что частота дискретизации должны быть по крайней мере в 2 раза выше частоты спектра сигнала. Открываю матлаб, набираю там скриптик, где частота дискретизации ровно в 2 раза выше частоты сигнала

Код

t=0:1/8000:0.01;

f1=4000;

x = sin(2*pi*f1*t);

plot(t,x);

Получаю следующий график. Вопрос- почему сигнала практически нет? (10^-14)

Эскизы прикрепленных изображений

 

[Designer56]

Не пройдет. Нобелевский комитет математикой не занимается.

[mvb]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%...%BE%D0%B2%D0%B0 :

…если аналоговый сигнал x(t)\; имеет ограниченный спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой строго большей удвоенной максимальной частоты спектра

Всё строго и чётко. Восстановить можно при частоте строго большей.
Синус, дискретизированной с частотой равной его собственной частоте является просто рядом нулей. Естессно, если не добавлять сдвиг фазы.
Чем ближе подбирается полоса сигнала к частоте дискретизации, тем больше времени надо на переходные процессы при включении/выключении. Хорошее и простое объяснение: чем ближе полосу сигнала к частоте дискретизации вы хотите, тем более крутую переходную область у фильтра вам надо, тем длиннее его импульсная характеристика.

[729]

Хочу возразить всем, кто считает что в теореме Котельникова должно быть строгое неравенство.
1. Немного странно, но насколько мне известно, ни Котельников ни Шеннон свои первоначальные формулировки теоремы с равенством так и не скорректировали.
2. Теорема Котельникова для сигналов со спектром, содержащим ненулевые комплексные значения на F=1/2*Fs, работает. Возьмите отсчеты функции Котельникова с произвольным некратным 1/Fs смещением по времени (что дает отличный от нуля комплексный спректр в точках +-1/2*Fs) и подставьте в ряд Котельникова - после недолгих преобразований получите равномерно сходящийся ряд (сумма которого приведена в "Интегралы и ряды" Прудникова), суммой ряда будет исходная смещенная по времени функция Котельникова.
3. Очевидно, что дискретизация синуса частоты Fs/2 ведет к потере информации. Также очевидно, что такая потеря возникает из-за наложения спектров при дискретизации. К такому же эффекту приводит и дискретизация косинуса частоты Fs/2 - энергия отсчетов косинуса частоты Fs/2 ровно вдвое больше энергии отсчетов косинуса частоты, например, Fs/4. А если так, то ни синус частоты Fs/2 ни косинус частоты Fs/2 под условия теоремы не попадают. Почему - предлагаю подумать самостоятельно.

Сообщение отредактировал 729 - Oct 4 2010, 10:15

[тау]

Хочу возразить всем, кто считает что в теореме Котельникова должно быть строгое неравенство.

+1
Хотя местами далее не совсем согласен с Вами.

Комплексные отсчеты сигнала способны восстановить гармонику Fs/2, хотя бы по той простой причине что в спектре эта гармоника будет стоять только на одном краю (в отличие от вещественного сигнала) . А стало быть спектр получается чисто периодический и без алиасинга на краях. Математика просто обязана сработать, потому что главное в ней ( в теореме) - строгая периодичность спектров. С комплексными отсчетами она соблюдается.

[729]

Комплексные отсчеты сигнала способны восстановить гармонику Fs/2, хотя бы по той простой причине что в спектре эта гармоника будет стоять только на одном краю (в отличие от вещественного сигнала) . А стало быть спектр получается чисто периодический и без алиасинга на краях. Математика просто обязана сработать, потому что главное в ней ( в теореме) - строгая периодичность спектров. С комплексными отсчетами она соблюдается.

Я говорил про комплексность спектра дискретизируемой функции, но не про комплексность дискретизируемой функции.
Про периодичность спектра - это отдельная тема. Но даже в рамках модели, которая периодизирует спектр при дискретизации, в точках +-Fs/2 ничего страшного не будет - значения ДВПФ от отсчетов косинуса в точках +-Fs/2 будут стремиться к бесконечности в 2 раза быстрее, чем ДВПФ от отсчетов косинуса в точках +-Fs/4 или +-Fs/3. Но ряд Котельникова эту двойку съест и чистый неудвоенный по амплитуде косинус выдаст.

[Oldring]

Я говорил про комплексность спектра дискретизируемой функции, но не про комплексность дискретизируемой функции.

Мне кажется, вы заговариваетесь. Начнем с того, что если говорить про "спектр" как про энергетический спектр, то он действителен неизбежно. А если говорить про преобразование Фурье, то оно действительно только для четных действительных функций. Можете сформулировать свои утверждения четко?

[729]

Мне кажется, вы заговариваетесь. Начнем с того, что если говорить про "спектр" как про энергетический спектр, то он действителен неизбежно. А если говорить про преобразование Фурье, то оно действительно только для четных действительных функций. Можете сформулировать свои утверждения четко?

Под спектром всегда понимал спектральную функцию, но не модули и прочие производные от неё.
Утверждение простое. Спектр sin(pi*Fs*t)/(pi*Fs*t) - функции Котельникова - действителен. Спектр смещенной на тау функции Котельникова - sin(pi*Fs*(t-тау))/(pi*Fs*(t-тау)) уже комплексный в точках +-Fs/2, если тау не равно k*1/Fs.
Вы это утверждение имели в виду?

Так а в чём же тогда конструктивный вклад ваших постов в обсуждаемую тему?

В том, что:
1 Равенство в теореме есть и оно работает.
2 Что синус и косинус Fs/2 условиям теоремы не удовлетворяют.

Про Fs/2 речь не шла.

Ну вот... Извиняюсь. Я встрял в Ваш с fontp диалог.

[Oldring]

Под спектром всегда понимал спектральную функцию

Эту?
http://www.answers.com/topic/spectral-function

Я, например, привык под спектром понимать спектр стационарного случайного процесса. Называть "спектром" просто результат преобразование Фурье, наверное, не вполне корректно.

В том, что:
1 Равенство в теореме есть и оно работает.
2 Что синус и косинус Fs/2 условиям теоремы не удовлетворяют.

Так речь в теме шла про строгое неравенство в части границ частотного диапазона. Ваше второе утверждение и означает, что это неравенство строгое. А первое утверждение про какое-то другое равенство-неравенство, наверное.

Ссылку на текст работы Котельникова я привел выше. Давайте отталкиваться от него.

[729]

Я, например, привык под спектром понимать спектр стационарного случайного процесса. Называть "спектром" просто результат преобразование Фурье, наверное, не вполне корректно.

Давайте для определённости считать спектром просто непрерывное преобразование Фурье.

Так речь в теме шла про строгое неравенство в части границ частотного диапазона. Ваше второе утверждение и означает, что это неравенство строгое. А первое утверждение про какое-то другое равенство-неравенство, наверное.
Ссылку на текст работы Котельникова я привел выше. Давайте отталкиваться от него.

Моё утверждение просто до безобразия.
1. Если спектр функции отличен от нуля вне отрезка [-Fh,Fh] (точки +-Fh в этот отрезок входят), то частота дискретизации Fs>=1/(2Fh).
2. Функции синус и косинус Fs/2 дискретизируются со спектральными наложениями, следовательно спектры этих функций за отрезок [-Fh,Fh] "вылазят".

Сообщение отредактировал 729 - Oct 4 2010, 12:16