Почему не работает теоремма Котельникова при F = 1/2Fs Опции

[Skaf]

Всем привет.

Я только приступаю к изучению ЦОС. Заметил такой факт- в теоремме написано, что частота дискретизации должны быть по крайней мере в 2 раза выше частоты спектра сигнала. Открываю матлаб, набираю там скриптик, где частота дискретизации ровно в 2 раза выше частоты сигнала

Код

t=0:1/8000:0.01;

f1=4000;

x = sin(2*pi*f1*t);

plot(t,x);

Получаю следующий график. Вопрос- почему сигнала практически нет? (10^-14)

Эскизы прикрепленных изображений

 

[thermit]

729:
Спектры функций (в смысле ПФ обобщенных функций по Колмогорову с Фоминым) синус Fh и косинус Fh отличны от нуля за пределами отрезка частот [-Fh,Fh]

С этого места можно подробнее? Каким образом спектры этих функций становятся отличны от 0 вообще при f != +- Fh?

[729]

С этого места можно подробнее? Каким образом спектры этих функций становятся отличны от 0 вообще при f != +- Fh?

При работе с объктами типа дельта-функции Дирака (лучше бы с ней вообще не работать) эту самую функцию нужно всегда определять очень четко. Иначе обязательно попадется въедливый математик, который "закопает" все выводы, и будет прав.
Все спецы по анализу 3 (функциональный анализ), с которыми довелось общаться на эту тему, рассказывают про эту дельту разное - нету у них единого мнения. И в основном весь сыр-бор из-за возможности или невозможности интегрировать её в конечных пределах. Но все в один голос говорят, что если её определить через предел (в ЦОС лучше всего синка), то всё становится на свои места. И тут, как мне кажется, тот самый случай.
Посчитаем спектр радиоимпульса ограниченной длительности с частотой заполнения Fs/2, посчитаем интеграл от спектра в пределах -inf, -Fs/2. Интеграл имеет место быть и конечен. Равен (при правильной нормировке синка) примерно 1/2*1/2. При этом интеграл в приделах -inf,0 равен примерно 1/2. Загоним длительность импульса в бесконечносмть - получим предел первого интеграла точно 1/4, а второго точно 1/2. Вот и всё - половина площади того, что мы называем дельта-функция в спектре синуса или косинуса Fs/2, лежит левее Fs/2, а вторая половина правее Fs/2.
По крайней мере такой подход в данном вопросе всё ставит на свои места.

Теперь гораздо лучше, но теперь очевидно и легко доказуемо, что ваше утверждение ошибочно. ПФ чистого синуса с частотой Fh в смысле обобщенных функций есть обобщенная функция с точечным носителем D={-Fh,+Fh}, и на всём остальном открытом множестве R-D равно нулю в смысле определения, данного на стр. 23 в книге Владимирова "обобщенные функции в математической физике" 1976 года издания. D является подмножеством отрезка [-Fh,Fh], поэтому на R-[-Fh,Fh] ПФ от рассматриваемого синуса (а равно и косинуса) равно нулю, что заканчивает опровержение вашего утверждения.

ГДЕ у Владимирова написано, что носитель обобщенной функции есть точечное множество?

[Oldring]

посчитаем интеграл от спектра в пределах -inf, -Fs/2.

"от спектра" в каком именно смысле?

ГДЕ у Владимирова написано, что носитель обобщенной функции есть точечное множество?

Не всякой обобщенной функции, но некоторого класса обобщенных функций с точечным носителем, которые, в соответствии с написанным у Владимирова на страницу 49, однозначно представимы в виде суммы некоторого счетного количества дельта-функций и их производных с некоторыми константными коэффициентами. А где написано у Владимирова определение равенства нулю обощенной функции на открытом множестве я написал чуть выше.

[729]

"от спектра" в каком именно смысле?

В прямом - интеграл от спектра по частоте в указанных пределах.

Не всякой обобщенной функции, но некоторого класса обобщенных функций с точечным носителем, которые, в соответствии с написанным у Владимирова на страницу 49, однозначно представимы в виде суммы некоторого счетного количества дельта-функций и их производных с некоторым коэффициентами. А где написано у Владимирова определение равенства нулю обощенной функции на открытом множестве я написал чуть выше.

Это там, где (у меня издание Владимирова другое - 1979г.) в ряд Фурье раскладывается периодическая последовательность дельта-функций? Но не вижу там точечности носителя дельта-функции, а вижу как раз обратное - дельта-функция разрывов не имеет.

[Oldring]

Это там, где (у меня издание Владимирова другое - 1979г.) в ряд Фурье раскладывается периодическая последовательность дельта-функций? Но не вижу там точечности носителя дельта-функции, а вижу как раз обратное - дельта-функция разрывов не имеет.

У меня раздел называется "обобщенные функции с точечным носителем". Последний раздел параграфа 2 "дифференцирование обощенных функций". ПФ обощенных функций начинается у меня с гравы 2, страница 100.

В прямом - интеграл от спектра по частоте в указанных пределах.

От ПФ по частоте? И при этом только с одной стороны? Он же комплексным в общем случае будет?

[729]

У меня раздел называется "обобщенные функции с точечным носителем". Последний раздел параграфа 2 "дифференцирование обощенных функций". ПФ обощенных функций начинается у меня с гравы 2, страница 100.

Сейчас буду искать.

От ПФ по частоте? И при этом только с одной стороны? Он же комплексным в общем случае будет?

Да и не важно, а важно, что нулю он не будет равен.

[Oldring]

Да и не важно, а важно, что нулю он не будет равен.

Всё равно не понимаю. А сходимость при этом доказуема? Или вы предлагаете устремить края радиоимпульса в бесконечность строго симметрично?

[729]

Всё равно не понимаю. А сходимость при этом доказуема? Или вы предлагаете устремить края радиоимпульса в бесконечность строго симметрично?

Именно так. Сходится в точках +-Fs/2 будет к бесконечности, собственно, как и все дельта последовательности.

Но из доказанной у Владимирова теоремы о разложении функции с точечным носителем в сумму с дельта-функцией совсем не следует, что носитель дельты точечный.

[Oldring]

Именно так. Сходится в точках +-Fs/2 будет к бесконечности, собственно, как и все дельта последовательности.

То есть в терминах матанализа, расходиться?
Ну и мне очень не нравится требование симметричности устремления в бесконечность. Потому что если устремлять несимметрично - интегралы будут умножаться на какие-то фазовые множители, то есть рассматриваемый предел на самом деле не существует.

Но из доказанной у Владимирова теоремы о разложении функции с точечным носителем в сумму с дельта-функцией совсем не следует, что носитель дельты точечный.

Верно, только намекает на то, что носитель дельта-функции есть точечное множество. На самом деле то, что носитель дельта-функции есть одна нулевая точка, легко доказывается из определения носителя обощенной функции, так как у любой другой точки есть окрестность, в которой дельта-функция равна нулю.