Ортогональность роторов Опции

[Oldring]

Споткнулся на следующем интересном вопросе.

Допустим, решаем уравнения Максвелла, пусть даже в однородной области. Допустим, мы нашли для этой области решение уравнения Гельмгольца и легко выразили некоторую векторную компоненту поля как простую комбинацию скалярных решений, при этом ортогональность найденных решений векторного поля обычно очевидно следует из ортогональности скалярных решений. А вот откуда следует ортогональность роторов различных решений и ортогональность решений с несвоими роторами? Или не всегда следует?

[AlexeyW]

Ну да, я глючу.. представил себе сам ротор как матричный оператор, как он может быть ортогонален rot H=j

Но, кажется, для мод абсолютно не обязаны быть ортогональными соответствующие векторы - как в той же струне, при колебаниях разных гармоник (мод) скорости точек струны могут быть параллельны. Точнее будет сказать так - в случае соответствующей симметрии в каждой гармонике будет две ортогональных моды (в них, кажется, действительно Е и Н ортогональны), а между гармониками - ортогональности нет..

Сообщение отредактировал AlexeyW - Dec 8 2010, 09:53

[Oldring]

а между гармониками - ортогональности нет..

Есть, но как ортогональность полей. Понятие ортогональности следует из скалярного произведения. Рассматривая различные скалярные произведения получаем различные орнтогональности. Одно дело - скалярное произведение векторов в точке, и немного другое - скалярное произведение полей в некоторой области пространства.

чем не устраивает Вас?

Нельзя ли подробнее?

[AlexeyW]

Есть, но как ортогональность полей. Понятие ортогональности следует из скалярного произведения. Рассматривая различные скалярные произведения получаем различные орнтогональности. Одно дело - скалярное произведение векторов в точке, и немного другое - скалярное произведение полей в некоторой области пространства.

Ну, именно так, конечно. Ортогональны как собственные функции - на то они и моды, а векторы E и H не обязательно ортогональны, да и роторы тоже..

[Oldring]

Ну, именно так, конечно. Ортогональны как собственные функции - на то они и моды, а векторы E и H не обязательно ортогональны, да и роторы тоже..

Как ни странно, некоторые производные от этих собственных функций, которыми являются E и H мод, тоже образуют ортогональные базисы для E и H электромагнитных полей в этих областях. Возник второй вопрос: существуют ли геометрии, E и H мод которых не образуют ортогональные базисы, и если нет - то почему?

[AlexeyW]

существуют ли геометрии, E и H мод которых не образуют ортогональные базисы, и если нет - то почему?

Т.е., если конкретнее - правильно ли я понял, неортогональные - такие, где интеграл E1E2dV по рассматриваемому объему (даже, скорее, вообще по всему объему) не равен нулю?

[Tanya]

Т.е., если конкретнее - правильно ли я понял, неортогональные - такие, где интеграл E1E2dV по рассматриваемому объему (даже, скорее, вообще по всему объему) не равен нулю?

Скорее, - сумма двух членов - один Ваш, а второй такой же, только с H.

[Oldring]

Скорее, - сумма двух членов - один Ваш, а второй такой же, только с H.

Это было бы слишком просто. Нет, именно поотдельности получаются ортогональные базисы для E и H в интересных случаях.
Что можно доказать, воспользовавшись математическими свойствами полученных мод. Вот и интнресно, почему нет какой-нибудь общей теоремы? Задача, разумеется, гармоническая с комплексными полями, то есть зависимости от времени нет.

[Tanya]

Вот и интнресно, почему нет какой-нибудь общей теоремы?

А можете более простую общую теорему доказать, что для любой поверхности существует единственная функция распределения заряда на этой поверхности, которая дает нулевое поле в полупространстве. А в другом полупространстве произвольно расположен точечный заряд.

[Oldring]

А можете более простую общую теорему доказать, что для любой поверхности существует единственная функция распределения заряда на этой поверхности, которая дает нулевое поле в полупространстве. А в другом полупространстве произвольно расположен точечный заряд.

Не уверен, но, в любом случае, ваш вопрос задан неоднозначно. А для замкнутой поверхности решение будет зависеть от суммарного заряда этой поверхности.

А начало решения может быть таким. В векторном анализе существует теорема, что при наличии достаточно гладких условий векторное поле внутри замкнутой поверхности можно однозначно восстановить по дивергенции, ротору и нормальной составляющей на границе. То есть, обнулив нормальную составляющую E на границе мы обнуляем поле во всей области.

Что дальше - нужно думать.

[Tanya]

Не уверен, но, в любом случае, ваш вопрос задан неоднозначно. А для замкнутой поверхности решение будет зависеть от суммарного заряда этой поверхности.

Естественно, если упоминаются полупространства, - поверхность замкнутая. Иногда не бесконечности...
А от заряда не зависит. Точнее - будет суперпозиция двух решений - одно при отсутствии внешнего заряда - заряд только на поверхности. И второе - с нулевым интегральным зарядом на поверхности и произвольно расположенным точечным зарядом..

[Oldring]

Точнее - будет суперпозиция двух решений - одно при отсутствии внешнего заряда - заряд только на поверхности. И второе - с нулевым интегральным зарядом на поверхности и произвольно расположенным точечным зарядом..

И я об этом. Но не "единственно" значит.

[Tanya]

И я об этом. Но не "единственно" значит.

Если заряда у тела нет, то единственное. А если добавить заряд, добавится второе единственное решение для случая отсутствия внешних (внутренних) зарядов. В конечном итоге получается, что решение единственное.

[Oldring]

Если заряда у тела нет, то единственное. А если добавить заряд, добавится второе единственное решение для случая отсутствия внешних (внутренних) зарядов. В конечном итоге получается, что решение единственное.

Любое решение единственно при добавлении достаточного количества параметров.