Фурье преобразование квадратного пульса, Как узнать расстояние между гармониками? Опции

[BlackOps]

Есть предположим простой сигнал периодический квадратного пульса: x(t) = {1, |t| < T1; 0, T1 <= |t| <= T/2}

есть общая формула преобразования Фурье данного сигнала: X(jw) = Sum[k=-Inf:k=Inf; (2 * sin(k * w0 * T1) / k) * q(w - k* w0) ]


Так вот, читаю одну книгу, там в кратце написано:

1) если Т1 = Т / 3, то расстояние между гармониками фурье равно 2пи/Т

2) если Т1 = Т / 4, то расстояние между гармониками фурье равно 4пи/Т


Не могу понять как они это определили?

В первом случае, если я в ту формулу подставлю значение Т1, то получу sin(k * w0 * T1) / k) = sin(k*2*pi/3)

Во втором случае, sin(k * w0 * T1) / k) = sin(k*2*pi/4)

Так как же они вывели что для 1) расстояние 2пи/Т а для 2) оно равно 4пи/Т ?

И такой вопрос, а что если Т1 = Т / 7 ? Выходит расстояние между гармониками вновь будет 2пи/Т?

[Alexey Lukin]

Определение импульса неполное: чему он равен в остальных точках? Что такое T?

Если T — это период, и за пределами |t|<T сигнал периодически продолжается, то расстояние между гармониками будет соответствовать периоду сигнала, т.е. будет 2π/T. Это справедливо для любого периодического сигнала, а не только прямоугольного: спектр линейчатый.

Когда T1 = T/4, чётные гармоники имеют нулевую амплитуду, и остаются только нечётные. В этом случае можно сказать, что "расстояние" между нечётными гармониками равно 4π/T, хотя сигнал по-прежнему гармонический с основным тоном 2π/T.

Если T1 = T/8, то расстояния по-прежнему 2π/T, хотя некоторые гармоники в спектре и "выколоты" (4-я, 8-я, 12-я и т.д.)

Сообщение отредактировал Alexey Lukin - Aug 27 2011, 14:29

[BlackOps]

спасибо за обсуждение и подробный ответ!

Когда T1 = T/4, чётные гармоники имеют нулевую амплитуду, и остаются только нечётные. В этом случае можно сказать, что "расстояние" между нечётными гармониками равно 4π/T, хотя сигнал по-прежнему гармонический с основным тоном 2π/T.

да..таким образом уменьшая Т1 в четное количество раз мы как бы растягиваем гармоники, скажем если Т1 = Т / 8, то расстояние уже 8пи/Т

Если T1 = T/7, то расстояния по-прежнему 2π/T, хотя некоторые гармоники в спектре и "выколоты" (4-я, 8-я, 12-я и т.д.)

А вот уменьшая Т1 в нечетное количество раз вроде как особой погоды не делает...ну кроме как "выколотых" гармоник... интерестно.. хотя вроде так и получается.

[Signal]

..таким образом уменьшая Т1 в четное количество раз мы как бы растягиваем гармоники, скажем если Т1 = Т / 8, то расстояние уже 8пи/Т

Вы заблуждаетесь. У вас весьма смутное представление о природе "гармоник". Попробуйте разобраться самостоятельно, не решая ребус из выводов от разных источников (которые не врут, но говорят одно и то же разными словами), а анализируя первоисточник. Я имею в виду следующее:

есть общая формула преобразования Фурье данного сигнала: X(jw) = Sum[k=-Inf:k=Inf; (2 * sin(k * w0 * T1) / k) * q(w - k* w0) ]

Приведенная формула не есть формула преобразования. Точнее ее можно было бы назвать результатом преобразования конкретного сигнала. Попробуйте записать формулу преобразования Фурье в общем виде для одиночного импульса и получить свой результат. А потом для периодического той же длительности. Ну или хотя бы уже постройте график по формуле, которую вы привели из книжки, для разных значений T1 и T и проанализируйте результат. Все встанет на свои места - станет понятно, о какой огибающей спектра говорит bahurin, и что такое гармоники и специфичность случая T1=T/4.

P.S. "<...> лошадь должна пить сама"