Есть предположим простой сигнал периодический квадратного пульса: x(t) = {1, |t| < T1; 0, T1 <= |t| <= T/2}

есть общая формула преобразования Фурье данного сигнала: X(jw) = Sum[k=-Inf:k=Inf; (2 * sin(k * w0 * T1) / k) * q(w - k* w0) ]


Так вот, читаю одну книгу, там в кратце написано:

1) если Т1 = Т / 3, то расстояние между гармониками фурье равно 2пи/Т

2) если Т1 = Т / 4, то расстояние между гармониками фурье равно 4пи/Т


Не могу понять как они это определили?

В первом случае, если я в ту формулу подставлю значение Т1, то получу sin(k * w0 * T1) / k) = sin(k*2*pi/3)

Во втором случае, sin(k * w0 * T1) / k) = sin(k*2*pi/4)

Так как же они вывели что для 1) расстояние 2пи/Т а для 2) оно равно 4пи/Т ?

И такой вопрос, а что если Т1 = Т / 7 ? Выходит расстояние между гармониками вновь будет 2пи/Т?

Определение импульса неполное: чему он равен в остальных точках? Что такое T?

Если T — это период, и за пределами |t|<T сигнал периодически продолжается, то расстояние между гармониками будет соответствовать периоду сигнала, т.е. будет 2π/T. Это справедливо для любого периодического сигнала, а не только прямоугольного: спектр линейчатый.

Когда T1 = T/4, чётные гармоники имеют нулевую амплитуду, и остаются только нечётные. В этом случае можно сказать, что "расстояние" между нечётными гармониками равно 4π/T, хотя сигнал по-прежнему гармонический с основным тоном 2π/T.

Если T1 = T/8, то расстояния по-прежнему 2π/T, хотя некоторые гармоники в спектре и "выколоты" (4-я, 8-я, 12-я и т.д.)

Определение сигнала полное: он определен на интервале от -T/2 до T/2, где T - период повторения. T1 - половина длительности импульса, |t| - модуль значения t.

T1 — не половина, а произвольная длительность положительной части импульса.
См. ответ выше.

T1 - параметр произвольный, конечно, судя потому, что может принимать разные значения относительно периода. Однако, описание сигнала мне представляется однозначным. Он задан симметрично относительно нуля времени: в интервале (-T1,T1) он равен 1, а в течении остального периода нулю. Если называть длительностью импульса время между "фронтом" и "срезом", то она будет равна 2*T1. Спор о терминах?

Нет-нет, я уже понял, что однозначно. Я вам выше ответил про гармоники.

Вы отвечали про гормоники не мне.


Будет точнее сказать, что я не понял, что вы имели в виду. Ваше замечание об отсутствии четных гармоник при T1=T/4, говорит о том, что и вы понимаете этот случай, как меандр, тогда должны были бы согласиться, что T1 лишь половина длительности импульса .

Да, конечно.

спасибо за обсуждение и подробный ответ!


да..таким образом уменьшая Т1 в четное количество раз мы как бы растягиваем гармоники, скажем если Т1 = Т / 8, то расстояние уже 8пи/Т


А вот уменьшая Т1 в нечетное количество раз вроде как особой погоды не делает...ну кроме как "выколотых" гармоник... интерестно.. хотя вроде так и получается.

Периодическая последовательность П импульсов задается тремя параметрами: Амплитуда, период повторения и скважность (отношения длительности импульса к периоду повторения). Гармоники в спектре периодического сигнала (любого) всегда отстоят друг от друга на период повторения (за исключением синусов и косинусов, которые всегда содержат только одну гармонику). Огибающая спектра зависит от скважности и амплитуды.

Вы заблуждаетесь. У вас весьма смутное представление о природе "гармоник". Попробуйте разобраться самостоятельно, не решая ребус из выводов от разных источников (которые не врут, но говорят одно и то же разными словами), а анализируя первоисточник. Я имею в виду следующее:

Приведенная формула не есть формула преобразования. Точнее ее можно было бы назвать результатом преобразования конкретного сигнала. Попробуйте записать формулу преобразования Фурье в общем виде для одиночного импульса и получить свой результат. А потом для периодического той же длительности. Ну или хотя бы уже постройте график по формуле, которую вы привели из книжки, для разных значений T1 и T и проанализируйте результат. Все встанет на свои места - станет понятно, о какой огибающей спектра говорит bahurin, и что такое гармоники и специфичность случая T1=T/4.

P.S. "<...> лошадь должна пить сама"

Нет, гармоники не растягиваются, их частоты зависят только от T.


Я ошибся в верхнем посте, уже поправил. Там следовало написать T1 = T/8, а не T/7.
А для случая T1 = T/7 гармоники по-прежнему идут с тем же интервалом, но выколоты оказываются 7-я, 14-я и т.д.